Gaston Darboux: Biographie, Bibliographie analytique des écrits

GRADES. FONCTIONS. TITRES HONORIFIQUES. PRIX. DÉCORATIONS.

Jean-Gaston DARBOUX,
Né à Nîmes le 13 août 1842.

• Élève au Lycée de Nîmes, du mois d'octobre 1853 au mois d'août 1859.
• Élève au Lycée de Montpellier, du mois d'octobre 1859 au mois d'août 1861.
• Bachelier ès Sciences, reçu le 22 juillet 1859.
• Admis le premier à l'École Polytechnique, le 15 octobre 1861, et à l'École Normale supérieure, section des Sciences, le 25 octobre 1861.
• Élève à l'École Normale supérieure, du 25 octobre 1861 au mois d'août 1864.
• Licencié ès Sciences mathématiques, reçu le 9 juillet 1863.
• Licencié ès Sciences physiques, reçu le 7 août 1863.
• Agrégé des Sciences mathématiques, reçu le premier le 20 septembre 1864.
• Docteur ès Sciences mathématiques de la Faculté des Sciences de Paris, reçu le 14 juillet 1866.

• Préparateur pour les Sciences mathématiques et Sous-Bibliothécaire à l'École Normale supérieure, nommé le 26 septembre 1864.
• Professeur suppléant en Mathématiques spéciales au Lycée Saint-Louis, à Paris, de 1864 à 1865.
• Professeur suppléant en Mathématiques spéciales au Lycée Louis-le-Grand, à Paris, nommé le 31 octobre 1867.
• Professeur de Mathématiques spéciales au Lycée Louis-le-Grand (ou Descartes), à Paris, du 10 septembre 1868 au 26 septembre 1872.

• Professeur remplaçant de M. J. Bertrand au Collège de France, pour le Cours de Physique mathématique, pendant l'année scolaire 1866-1867.
• Chargé de Conférences de Calcul différentiel et de Calcul intégral à l'École Normale supérieure, le 1^er octobre 1872; Maître de Conférences de Mathématiques à cette École, du 18 septembre 1873 au 30 juillet 1881.
• Professeur suppléant de M. Liouville à la Faculté des Sciences de Paris, pour le Cours de Mécanique rationnelle, du 24 janvier 1873 jusqu'à la fin de l'année scolaire 1877-1878.
• Professeur suppléant de M. Chasles à la Faculté des Sciences de Paris, pour le Cours de Géométrie supérieure, du 18 septembre 1878 au 18 décembre 1880.
• Chargé du Cours de Géométrie supérieure à la Faculté des Sciences de Paris, le 28 décembre 1880.
• Professeur de Géométrie supérieure à la Faculté des Sciences de Paris, depuis le 9 avril 1881.
• Membre du Comité de patronage de l'École pratique des Hautes Études, depuis le 20 novembre 1882; Vice-Président de la Section des Sciences mathématiques de ce Comité, nommé le 16 janvier 1901; Président de cette Section depuis le 16 janvier 1905.
• Doyen de la Faculté des Sciences de l'Université de Paris, du 12 novembre 1889 au 4 mars 1903.
• Doyen honoraire de la Faculté des Sciences de l'Université de Paris, nommé le 4 mars 1903.

• Chargé de Conférences de Mathématiques à l'École Normale d'Enseignement secondaire pour les jeunes filles, à Sèvres, depuis le 31 octobre 1881.

• Membre de l'Académie des Sciences (Institut national de France), à Paris, élu, dans la Section de Géométrie, le 3 mars 1884.
• Secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences pour les Sciences mathématiques, élu le 21 mai 1900.
• Président de la première Assemblée générale de l'Association internationale des Académies, à Paris, du 16 au 20 avril 1901.
• Membre du Bureau national des Longitudes, à Paris, nommé le 1^er décembre 1902.

• Membre correspondant de l'Académie des Sciences de l'Institut royal de Bologne, élu le 1^er mai 1873.
• Membre correspondant de la Société royale de Liége, élu le 19 mai 1873.
• Membre correspondant de l'Institut royal Lombard de Sciences et de Lettres, élu le 7 février 1878.
• Membre étranger de la Société royale des Sciences de Gœttingue, élu le 6 juillet 1901; élu Membre correspondant le 1^er décembre 1883.
• Membre étranger de la Société royale des Sciences de Danemark, à Copenhague, élu le 5 avril 1889.
• Membre étranger de l'Académie royale des Lincei, à Rome, élu le 13 février 1890.
• Membre étranger de l'Académie royale des Sciences de Turin, élu le 14 juin 1903; élu Membre correspondant le 9 mars 1890.
• Membre correspondant de l'Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg, élu le 29 décembre 1895 (v. s.).
• Membre correspondant de l'Académie royale des Sciences de Prusse, à Berlin, élu le 11 février 1897.
• Membre étranger de la Société royale des Sciences de Bohême, à Prague, élu le 11 janvier 1899.
• Membre correspondant de l'Académie royale des Lettres et des Sciences de Bavière, à Munich, élu le 19 juillet 1899.
• Membre ordinaire de la Société royale des Sciences d'Upsal, élu le 2 novembre 1900.
• Membre étranger de l'Académie royale des Sciences de Suède, à Stockholm, élu le 10 avril 1901.
• Membre étranger de l'Académie royale des Sciences d'Amsterdam, élu le 20 avril 1901.
• Membre correspondant de l'Académie royale des Sciences de Hongrie, à Budapest, élu le 9 mai 1902.
• Membre honoraire de la Société royale d'Édimbourg (Societas Regia Edinensis), élu le 7 juillet 1902.
• Membre étranger de la Société royale de Londres, élu le 27 novembre 1902.
• Membre de la Société royale des Sciences de Christiania, élu le 23 mars 1906.
• Associé étranger de l'Académie royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique, à Bruxelles, élu le 14 décembre 1906.
• Membre correspondant étranger de l'Académie royale des Sciences de Vienne, élu le 28 mai 1907.
• Membre correspondant de l'Institut royal Vénitien des Sciences, Lettres et Arts, à Venise, élu le 13 juin 1909.

• Membre honoraire de la Société philomathique de Paris, depuis le 23 décembre 1881; élu Membre titulaire le 23 décembre 1871.
• Membre honoraire de l'Académie de Nîmes, élu le 5 décembre 1896.

• Membre honoraire de l'Université impériale de Kasan, élu le 28 mai 1893 (v. s.).
• Docteur honoris causâ en Sciences de l'Université de Cambridge, élu le 2 juin 1899.
• Docteur honoris causâ en Mathématiques de l'Université royale Frédéricienne de Christiania, élu le 6 septembre 1902.
• Docteur honoris causâ en Philosophie naturelle de l'Université de Heidelberg, élu le 8 août 1903.

• Vice-Président du Conseil supérieur de l'Instruction publique, nommé le 4 juillet 1908; Membre de ce Conseil du 11 mai 1888 au 31 mai 1904 et depuis le 6 mai 1907; Membre de la Section permanente de ce Conseil du 2 juin 1896 au 31 mai 1904 et depuis le 5 décembre 1908.
• Membre du Conseil académique de Paris, à titre de Doyen de la Faculté des Sciences, du 12 novembre 1888 au 4 mars 1903.
• Président du Congrès des Sociétés savantes tenu à Montpellier en avril 1906, sous les auspices du Ministère de l'Instruction publique.

• Au Ministère de l'Instruction publique:
  • Président du Comité des Travaux historiques et scientifiques, nommé le 3 décembre 1908; Vice-Président de ce Comité, nommé le 20 novembre 1907; Membre de ce Comité depuis le 4 novembre 1877;
  • Président du Comité consultatif de l'Enseignement public, Commission des Sciences, depuis le 18 mars 1907; Membre de ce Comité depuis le 4 juin 1880;
  • Vice-Président de la Commission des Bibliothèques populaires, nommé le 3 avril 1903; Membre de cette Commission depuis le 11 avril 1882;
  • Membre de la Commission chargée d'examiner l'opportunité et les conséquences de l'extension du système décimal aux mesures de l'espace angulaire et du temps, nommé le 12 janvier 1885;
  • Membre du Conseil d'administration et Président de la seconde Section de la Commission technique de la Caisse des recherches scientifiques, depuis le 6 décembre 1902;
  • Membre, à titre de Secrétaire perpétuel, du Conseil des Observatoires de province, depuis sa création le 15 février 1907.

• Président du Conseil de l'Observatoire national de Paris, nommé le 20 mars 1908 et le 25 février 1909; Vice-Président de ce Conseil de 1903 à 1908; nommé Membre de ce Conseil le 9 novembre 1892.
• Vice-Président du Conseil du Bureau central météorologique de France, à Paris, depuis le 13 janvier 1899; nommé Membre de ce Conseil le 11 décembre 1896.
• Membre du Conseil de l'Observatoire national d'Astronomie physique de Meudon, nommé le 20 décembre 1899.
• Président du Conseil de l'Institut Pasteur, depuis le 24 juillet 1907; Membre de ce Conseil, depuis le 23 mai 1900.
• Membre du Bureau national des Poids et Mesures, nommé le 30 mars 1907.
• Membre du Conseil du Muséum d'Histoire naturelle, nommé le 9 février 1908.
• Membre du Conseil supérieur des Beaux-Arts, nommé le 15 juin 1908.
• Membre du Conseil d'administration de l'Institut Océanographique, depuis le 18 octobre 1908.
• Membre du Comité international des Poids et Mesures, élu le 27 février 1909.
• Membre du Conseil d'administration de la Fondation Carnegie, élu par l'Académie des Sciences le 10 janvier 1910.

• Délégué permanent de l'Académie des Sciences auprès de l'Association Internationale des Académies depuis le 31 juillet 1900; a assisté aux Sessions de Paris en 1900 et 1901, de Londres en 1903 et 1904, de Vienne en 1906 et 1907, de Rome en 1909.
• Délégué permanent du Gouvernement Français auprès de l'Association géodésique internationale le 16 juin 1903.
• Délégué permanent du Gouvernement Français auprès de l'Association internationale de Sismologie le 23 mai 1908.
• Délégué par le Gouvernement français pour le représenter aux Fêtes organisées par la Ville et l'État de New York en l'honneur de Hudson et de Fulton, du 25 septembre au 9 octobre 1909.

• Par le Ministère de l'Instruction publique:
  • Nommé Membre de la Commission de publication des Œuvres de Fermat le 28 juillet 1882;
  • Chargé de publier les Œuvres de Fourier le 29 mars 1885;
  • Chargé de continuer la publication des Œuvres de Lagrange le 29 mars 1885.

• Fondateur en janvier 1870, et premier Rédacteur depuis cette époque, du Bulletin des Sciences mathématiques et astronomiques.
• Directeur de la publication des Annales scientifiques de l'École Normale supérieure, depuis janvier 1901; Secrétaire de la Publication de janvier 1885 à janvier 1901.
• Directeur, à partir de 1894, de la publication d'un Cours complet de Mathématiques élémentaires (dont les Auteurs sont MM. Andoyer, Bourlet, Hadamard, Tannery, Tisserand).
• Membre du Comité de rédaction du Journal des Savants, de janvier 1900 à décembre 1902, du 22 avril 1907 au 31 décembre 1908.
• Président du Bureau régional Français pour la publication de l'International Catalogue of scientific Literature, nommé le 16 novembre 1900.

• Membre honoraire de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, élu le 17 février 1881; élu Membre correspondant le 10 février 1870.
• Président de la Société mathématique de France en 1878; Vice-Président en 1877.
• Membre honoraire de la Société scientifique et littéraire d'Alais, élu le 9 janvier 1886.
• Membre honoraire de la Société d'études des Sciences naturelles de Nîmes, élu le 14 avril 1893.
• Membre du Grand Conseil du Musée social, à Paris, depuis 1900.
• Président du Conseil d'administration de la Société de secours des amis des Sciences, élu en avril 1900.
• Vice-Président d'honneur du Congrès d'Arts et de Science tenu à Saint Louis (États-Unis) du 19 au 24 septembre 1904.

• Membre honoraire de la Société mathématique de Londres, élu le 9 mai 1878.
• Membre honoraire de la Société de Littérature et de Philosophie de Manchester, élu le 26 avril 1892.
• Membre de la Société mathématique de Moscou, élu le 17 mars 1896 (v. s.).
• Membre honoraire de la Société des Sciences de Finlande (Societatis Scientiarum Fennicæ), à Helsingfors, élu le 13 avril 1896.
• Membre étranger de la Société Hollandaise des Sciences, à Harlem, élu le 16 mai 1896.
• Membre de la Société philosophique Américaine, à Philadelphie, élu le 4 avril 1902.
• Membre de la Société des Sciences mathématiques et physiques de Budapest, élu le 12 octobre 1905.
• Membre honoraire de la Société mathématique de Kharkow, élu le 12 novembre 1906 (v. s.).
• Membre étranger de la Société Italienne des Sciences (dite des XL), à Rome, élu le 10 mai 1908.
• Membre pour les Mathématiques et l'Astronomie de l'Académie Léopoldine-Caroline des naturalistes Allemands, à Halle, élu le 4 août 1908.
• Membre honoraire de la Société helvétique des Sciences naturelles, à Genève, élu le 31 août 1908.

• Décerné par l'Académie des Sciences de l'Institut national de France:
  • Prix Poncelet, pour l'ensemble de ses Travaux mathématiques, le 27 décembre 1875;
  • Grand Prix des Sciences mathématiques, le 23 avril 1877;
  • Prix Petit d'Ormoy, pour les Sciences mathématiques, le 5 mai 1884.

• Officier d'Académie, nommé le 10 janvier 1872.
• Officier de l'Instruction publique, nommé le 10 janvier 1877.

• Chevalier de la Légion d'honneur, nommé le 27 juillet 1879.
• Officier de la Légion d'honneur, promu le 5 janvier 1892.
• Commandeur de la Légion d'honneur, promu le 10 août 1899.

• Commandeur du Sauveur de Grèce, nommé le 24 février 1893.
• Grand-Officier de la Couronne de Roumanie, nommé le 31 mai 1893.
• Commandeur de l'Étoile Polaire de Suède, nommé le 16 février 1896.

Les progrès remarquables accomplis depuis quelques années, et notamment en France, dans le domaine des Mathématiques pures, ont déterminé la Commission à proposer à l'Académie de fixer son choix sur un géomètre. Plusieurs auraient été dignes de cet honneur; mais nous avons dû prendre celui que l'étendue de sa réputation, la maturité de son talent, le nombre et la variété de ses travaux désignaient plus particulièrement à nos suffrages.

L'œuvre de M. Gaston Darboux est trop étendue pour que nous essayions de l'analyser en détail, car elle se compose de plus de 100 Mémoires, dont le cercle embrasse presque toutes les branches du Calcul intégral et de la Géométrie, diverses parties de l'Algèbre et de la Mécanique. Tous ces travaux se distinguent par une extrême lucidité, par une profonde connaissance de toutes les ressources de l'Analyse, par une rare habileté à relier entre elles des questions en apparence distinctes, et à remonter aux véritables principes des théorèmes, pour leur donner toute la généralisation dont ils sont susceptibles; ils contiennent un grand nombre de résultats nouveaux et importants, dont nous ne pouvons signaler ici qu'un petit nombre....

Nous signalerons tout d'abord un Mémoire important sur les fonctions discontinues, où M. Darboux soumet à une analyse approfondie les principes de la théorie des fonctions, et établit, entre autres, une proposition remarquable, qui permet de définir de la manière la plus nette la condition d'intégrabilité d'une fonction.

Plusieurs autres Mémoires sont consacrés aux développements en série. M. Darboux y donne une démonstration nouvelle de la convergence des développements suivant les fonctions de Laplace, ou les polynomes de Legendre. Il a établi un peu plus tard d'autres développements plus généraux suivant les polynomes de Jacobi, en se fondant sur l'expression asymptotique qu'il avait trouvée pour ces polynomes.

Les équations différentielles où les variables se trouvent mêlées, et qui ne se ramènent pas à la forme homogène ou linéaire, ont été jusqu'à ce jour peu étudiées. Une équation remarquable, intégrée par Jacobi, était restée jusque-là isolée. M. Darboux a montré qu'elle constitue le premier terme d'une classe étendue d'équations différentielles, dont on pourra écrire l'intégrale générale toutes les fois qu'on aura réussi à obtenir des intégrales particulières algébriques en nombre suffisant. Cette importante proposition permet de construire une foule d'équations différentielles dont l'intégrale générale s'obtienne, pour ainsi dire, à la simple vue.

M. Darboux a fait cette remarque simple, mais importante, qu'une équation différentielle n'admet d'intégrale singulière que dans des cas exceptionnels, et que la méthode indiquée avant lui pour déterminer l'intégrale singulière en partant de l'équation différentielle fournit en général le lieu des points singuliers des courbes intégrales, et non leur enveloppe.

Il a encore montré que, si un système d'équations linéaires admet une intégrale algébrique, il admettra également comme intégrale tous ses covariants.

L'Académie avait proposé, il y a quelques années, comme sujet du grand prix de Mathématiques, l'étude des solutions singulières des équations aux dérivées partielles du premier ordre. Le Mémoire transmis par M. Darboux en réponse à cette question et couronné par l'Académie est une œuvre considérable. Il contient, entre autres résultats, la fixation précise des caractères des solutions singulières; la détermination des règles qui permettent de les déduire directement de l'équation différentielle; l'étude des relations de contact qui existent entre cette solution et les autres intégrales complètes ou générales; enfin l'extension aux équations aux dérivées partielles de la méthode d'intégration par différentiation.

Dans un travail antérieur, sur les équations aux dérivées partielles du second ordre, M. Darboux avait indiqué un procédé nouveau d'intégration qui supplée à la méthode de Monge lorsque celle-ci n'est pas applicable, et permet de déterminer l'intégrale, toutes les fois qu'elle ne contient pas de signe d'intégration....

• C R, t. 98, 5 mai 1884, p. 1159, 1160-1162.

OUVRAGES.

1. Notice sur les Travaux scientifiques de M. GASTON DARBOUX.

Rédigée par lui-même à l'appui de sa candidature comme membre de l'Académie des Sciences, dans la Section de Géométrie.

• Paris, G.-V., in-4; 1881, 46 p.; 2^e édit., 14 oct. 1884, 69 p.

2. Sur le Problème de PFAFF.

La première Partie de ce Mémoire a été écrite en 1876 par M. G. Darboux et exposée en janvier 1877 par M. J. Bertrand au Collège de France.

• Paris, G.-V., 1882; gr. in-8, IV-42p.
• C R, t. 94, 27 mars 1882, p. 835-837.
• B S M, 2^e s., t. 6, 1^re p., janv., fév. 1882, p. 14-36, 49-68.
• Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 294-298.

MÉMOIRES. NOTES.

Analyse pure.

1. Sur la série de Laplace.

Lagrange a donné une importante série servant au développement en série convergente des racines d'une certaine équation. Laplace a exposé une formule plus générale, mais moins simple que celle de ce géomètre. M. G. Darboux est parvenu à simplifier la formule de Laplace et a ainsi trouvé un résultat analogue à celui de Lagrange.

• C R, t. 68, 8 fév. 1869, p. 323-327.

2. Sur les séries dont le terme général dépend de deux angles et qui servent à exprimer des fonctions arbitraires entre des limites données.

• J L, 2^e s., t. 19, janv. 1874, p. 1-18.
• Analyse par Hoppe: J F M, Bd. 6, J. 1874, S. 290-294.
• Titre sans développement: Sur les séries trigonométriques. Sur les séries ordonnées suivant les fonctions Y_n de Laplace et X_n de Legendre: B S P, 6^e s., 22 mars 1873, p. III.

3. 4. Mémoire sur l'approximation des fonctions de très grands nombres et sur une classe étendue de développements en série.

• C R, t. 82, 7, 14 fév., 1876, p. 365-368, 404-406.
• J L, 3^e s., t. 4, janv., fév. 1878, p. 5-56, 377-416.
• Analyse par F. Müller: J F M, Bd. 8, J. 1876, S. 304-305;—Bd. 10, J. 1878, S. 279-280.
• Analyse: B S M, 2^e s., t. 3, 2^e p., janv. 1879, p. 5-6, 18-19.

5. Sur les développements en série des fonctions d'une seule variable.

• J L, 3^e s., t. 2, sept. 1876, p. 291-312.
• Analyse par Stolz: J F M, Bd. 8, J. 1876, S. 124-127.
• Analyse par J. Tannery: B S M, 2^e s., t. 1, 2^e p., déc. 1877, p. 333-335.

6. Sur les différentielles des fonctions de plusieurs variables indépendantes.

• B S M, 2^e s., t. 5, 1^re p., sept., oct. 1881, p. 376-384, 395-417.

7. Note sur une fonction numérique.

• B S M, 2^e s., t. 5, 1^re p., oct. 1881, p. 417-424.

8. Sur les différentielles successives des fonctions de plusieurs variables indépendantes.

• C R, t. 93, 26 déc. 1881, p. 1123-1125.

9. Sur les différentielles successives des fonctions de plusieurs variables et sur une propriété des fonctions algébriques.

• C R, t. 94, 27 fév. 1882, p. 575-577.

10. 11. Mémoire sur les fonction discontinues.

• A S E N, 2^e s., t. 4, 1875, 20 janv. 1874, p. 57-112.
• A S E N, 2^e s., t. 8, juin 1879, p. 195-202.
• Analyse par Stolz: J F M, Bd. 7, J. 1875, S. 243-247;—Bd. 11, J. 1879, S. 274-275.
• Analyse: B S M, t. 10, fév. 1876, p. 76-82;—2^e s., t. 4, 2^e p., janv. 1880, p. 21-24.
• Titres sans développements: Sur les fonctions discontinues et sur les fonctions continues qui n'ont pas de dérivées; Sur la théorie des fonctions: B S M F, t. 1, 1872-1873, 19 mars 1873, p. 121;—t. 2, 1873-1874, 28 janv. 1874, p. 66.

12. 13. Sur les solutions singulières des équations aux dérivées ordinaires du premier ordre.

Dans le second Mémoire, M. G. Darboux complète les résultats indiqués dans le premier, et donne un théorème précis faisant connaître dans quelles circonstances une équation différentielle peut admettre une intégrale ou solution singulière.

• I, n. s., 1^re a., n^o 6, 5 fév. 1873, p. 49-50.—B S P, 6^e s., 23 nov. 1872, p. 180-186.
• B S M, t. 4, mars 1873, p. 158-173.

14. Mémoire sur les solutions singulières des équations aux dérivées partielles du premier ordre.

• M S A S, t. 27, n^o 2, 1880, 243 p.

Ce Mémoire, présenté au Concours pour le grand prix des Sciences mathématiques (Géométrie), a été couronné.

• Rapport de M. J. Bertrand: C R, t. 84, 23 avr. 1877, p. 804.

15. Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre.

• C R, t. 70, 28 mars 1870, p. 675-678.

16. Sur la théorie des équations aux dérivées partielles.

• C R, t. 70, 4 avr. 1870, p. 746-749.

17. Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre.

Dans ce Mémoire, qui contient les Notes n^os 15 et 16, M. G. Darboux développe une troisième application de la méthode qu'il a proposée.

• A S E N, t. 7, 1870, p. 163-173.
• Appréciation par Émile Picard: R O, t. 1, 30 nov. 1890, p. 705.
• Ce Mémoire a été traduit en allemand et forme la Note III de l'Ouvrage intitulé Theorie der Partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung von Dr. M. Paul Mansion, Herausgegeben von H. Maser: Berlin, Julius Springer, 1892, gr. in-8, S. 471-482.

18. Sur l'existence de l'intégrale dans les équations aux dérivées partielles d'ordre quelconque.

• C R, t. 80, 1^er fév. 1875, p. 317-319.

19. 20. Sur les équations aux dérivées partielles.

M. G. Darboux montre que l'on peut adjoindre à une équation quelconque aux dérivées partielles une équation auxiliaire, linéaire, dont l'étude conduit à des résultats très importants se rapportant à l'équation proposée; puis il applique cette méthode à deux problèmes de Géométrie: l'un se rapporte à une famille d'un système triple orthogonal, l'autre à la recherche des surfaces applicables sur une surface donnée.

• C R, t. 96, 19 mars 1883, p. 766-769.
• L T S D, IV^e P., n. X, 1896, p. 497-504.
• Analyse par J. Hadamard: R O, t. 7, 15 oct. 1896, p. 835.

21. Sur l'équation auxiliaire.

• Voir n^os 19 et 20.
• L T S D, IV^e P., n. XI, 1896, p. 505-516.
• Analyse par G. Kœnigs: B S M, 2^e s., t. 22, 1^re p., juin 1898, p. 157-158.
• Analyse par J. Hadamard: R O, t. 7, 15 oct. 1896, p. 835.

22. 23. Sur une équation différentielle du quatrième ordre.

• C R, t. 141, 28 août 1905, p. 415-417.
• C R, t. 141, 11 sept. 1905, p. 483-484.

24. Application d'une méthode de M. Hermite à l'équation linéaire à coefficients constants avec second membre.

• B S M, 2^e s., t. 3, 1^re p., juil. 1879, p. 325-328.

25. 26. Sur les systèmes formés d'équations linéaires à une seule variable indépendante.

• C R, t. 90, 8 mars 1880, p. 524-526.
• C R, t. 90, 15 mars 1880, p. 596-598.
• Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 12., J. 1880, S. 271-273.

27. Remarque sur une Lettre de Laplace à Condorcet.

M. G. Darboux rectifie une règle pour l'intégration des équations différentielles linéaires, donnée par Laplace dans une Lettre à Condorcet.

• B S M, 2^e s., t. 3, 1^re p., mai 1879, p. 209-216.

28. Sur une proposition relative aux équations linéaires.

• C R, t. 94, 29 mai 1882, p. 1456-1459.
• Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 264-266.

29. Sur une équation linéaire.

• C R, t. 94, 19 juin 1882, p. 1645-1648.

30. Sur une équation linéaire aux dérivées partielles.

• C R, t. 95, 10 juil. 1882, p. 69-72.

31. Sur les équations linéaires à deux variables indépendantes.

• C R, t. 105, 25 juil. 1887, p. 199-201.

32. Sur certains systèmes d'équations différentielles linéaires.

• C R, t. 148, 4 janv. 1909, p. 16-22.

33. 34. Sur les systèmes d'équations différentielles homogènes.

• C R, t. 148, 15 mars 1909, p. 673-679.
• C R, t. 148, 22 mars 1909, p. 745-754.
• Reproduction des Notes n^os 32, 33 et 34: A S E N, 3^e s., t. 25, 1909, p. 449-472.

35. Sur la première méthode donnée par Jacobi pour l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre.

• C R, t. 79, 21 déc. 1874, p. 1488-1489;—t. 80, 18 janv. 1875, p. 160-164.—B S M, t. 8, mai 1875, p. 249-255.

36. Mémoire sur l'existence de l'intégrale dans les équations aux dérivées partielles contenant un nombre quelconque de fonctions et de variables indépendantes.

• C R, t. 80, 11 janv. 1875, p. 101-104.

37. Note sur deux intégrales elliptiques qui se présentent sous forme indéterminée.

• M S S B, 2^e s., t. 3, 1880, 13 nov. 1879, p. 373-376.

38. Remarque sur une Note de M. Ch. Méray,

Intitulée Sur des systèmes d'équations aux dérivées partielles qui sont dépourvues d'intégrales, contrairement à toute prévision.

• C R, t. 106, 5 mars 1888, p. 651-652.

39. Sur les équations différentielles du premier ordre et du premier degré.

• C R, t. 86, 25 fév. 1878, p. 533-536.

40. Mémoire sur les équations différentielles algébriques du premier ordre et du premier degré.

• B S M, 2^e s., t. 2, 1^re p., fév., mars, avr. 1878, p. 60-96, 123-144, 151-200.

41. De l'emploi des solutions particulières d'une équation différentielle du premier ordre et du premier degré dans la recherche de l'intégrale générale.

• C R, t. 86, 4 mars 1878, p. 584-586.
• Analyse par Tœplitz des Notes n^os 40 et 41: J F M, Bd. 10, J. 1878, S. 214-219.

42. De l'emploi des solutions particulières algébriques dans l'intégration d'un système d'équations différentielles algébriques.

• C R, t. 86, 22 avr. 1878, p. 1012-1014.

43. Sur l'intégration de l'équation dx² + dy² = dz² et de quelques équations analogues.

• J L, 2^e s., t. 18, juil. 1873, p. 236-240.

44. Sur la résolution de l'équation dx² + dy² + dz² = ds² et de quelques équations analogues.

Dans ce Mémoire, M. G. Darboux complète les résultats qu'il a indiqués en 1873 (n^o 43) et en déduit de nouvelles conséquences.

• J L, 4^e s., t. 3, f. 3, 1887, p. 305-325.
• Analyse par Hamburger: J F M, Bd 19, J. 1887, S. 343-344.

45. Sur l'équation de Riccati.

Ce Mémoire est inséré dans In Memoriam Dominici Chelini Collectanea Mathematica.

• C M C, Paris, juin 1880, p. 199-204.
• Analyse: B S M, 2^e s., t. 5, 1^re p., nov. 1881, p. 433.
• Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 273.

46. Sur l'application du théorème fondamental d'Abel relatif aux intégrales algébriques à la recherche de systèmes complètement orthogonaux dans un espace à n dimensions.

Ce Mémoire est inséré dans le premier des deux Tomes des Acta mathematica imprimés Niels Henrik Abel in Memoriam.

• A M, t. 26, 30 juin 1902, p. 227-240.
• Analyse par Hessenberg: J F M, Bd. 33, J. 1902, S. 640-641.

Analyse appliquée à l'Algèbre.

1. Sur la résolution de l'équation du quatrième degré.

• J L, 2^e s., t. 18, juil. 1873, p. 220-235.
• Analyse par F. Müller: J F M, Bd. 5, J. 1873, S. 80-81.

2. Mémoire sur la théorie algébrique des formes quadratiques.

• J L, 2^e s., t. 19, oct., nov. 1874, p. 347-396.
• Analyse par Netto: J F M, Bd. 6, J. 1874, S. 68-70.
• Titre sans développement: Sur divers points relatifs aux formes quadratiques, sur leur décomposition en carrés la plus générale, et sur les questions de même nature relatives à deux formes quadratiques. Application à la démonstration du théorème fondamental de l'Algèbre: B S P, 6^e s., 28 fév., 14 mars 1874, p. III.

La première, intitulée: Étude d'un système remarquable de coordonnées orthogonales, contient différentes propriétés des coordonnées curvilignes formées par le triple système orthogonal auquel l'auteur et M. Moutard ont été conduits, chacun de son côté. La seconde Partie renferme des Recherches sur les surfaces orthogonales en général. M. Darboux, prenant pour point de départ le théorème de M. Dupin, d'après lequel dans tout système triple de surfaces orthogonales les courbes d'intersection des surfaces sont leurs lignes de courbure, auquel il ajoute comme complément l'énoncé suivant: Quand deux systèmes de surfaces orthogonales se coupent suivant les lignes de courbure de ces surfaces, il existe un troisième système orthogonal aux deux premiers, donne d'abord une démonstration simple de ce théorème de M. Ossian Bonnet, que la recherche de tous les systèmes orthogonaux revient à l'intégration complète d'une équation aux différences partielles du troisième ordre à trois variables indépendantes. Puis il fait connaître une Nouvelle méthode de recherche des systèmes orthogonaux, fondée sur l'emploi d'une certaine fonction auxiliaire V. La troisième Partie contient des Applications de la méthode exposée dans la deuxième Partie. L'auteur considère d'abord une classe particulière de systèmes orthogonaux dans lesquels les surfaces d'un même système s'obtiennent en déplaçant l'une d'elles parallèlement à elle-même par une simple translation sans altération de forme. La détermination de la fonction V dépend alors de l'intégration d'une équation aux différences partielles du troisième ordre à deux variables indépendantes. Le second cas traité par M. Darboux est celui des surfaces pour lesquelles les lignes de courbure sont planes dans les trois systèmes. Les intégrations s'effectuent alors complètement, et le résultat, d'une forme très simple, contient trois fonctions arbitraires; ces surfaces sont, dans certains cas, un exemple des systèmes orthogonaux étudiés dans le paragraphe précédent, c'est-à-dire que chacun des trois systèmes est formé par une surface de forme invariable qui se déplace parallèlement à elle-même. Le troisième et dernier cas se rapporte aux systèmes pour lesquels chaque surface peut être partagée en carrés infiniment petits par ses lignes de courbure. M. Darboux avait déjà observé, dans la première Partie, que les surfaces du triple système orthogonal antérieurement découvert par M. Moutard et par lui jouissent de la propriété dont il s'agit. Par une analyse savante et extrêmement ingénieuse, il fait voir maintenant que ce dernier système est le seul qui réponde à la question.

• R P G C, 1870, p. 363-364.

Analyse par JULES HOÜEL de l'Ouvrage intitulé «Sur une Classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques et sur la Théorie des imaginaires», lue a la séance du 13 juin 1870 de la Société scientifique de Bordeaux.

Dans le travail actuel, notre Correspondant s'est proposé d'étudier une classe remarquable de courbes et de surfaces du quatrième ordre, qui se rapprochent par leurs propriétés des courbes et des surfaces du second degré. Ces propriétés ont fait l'objet des études de plusieurs géomètres; M. Darboux les soumet à une revision d'ensemble, dans laquelle il expose, en même temps que des propriétés nouvelles, des propriétés connues et qui ont déjà été publiées soit par d'autres géomètres, soit par lui.

Ces courbes et ces surfaces jouissent de la propriété de se transformer les unes dans les autres quand on les soumet à une transformation par rayons vecteurs réciproques. Aussi l'Auteur a-t-il consacré la première Partie de son travail à l'étude analytique et détaillée de cette transformation dans ses rapports avec la théorie des imaginaires et avec celle des focales des surfaces, qui lui est due pour les surfaces du degré supérieur, et qu'il a développée pour la première fois dans un travail inséré aux Annales de l'École Normale en 1865. Nous signalerons dans cette Partie la définition des foyers des courbes planes et sphériques, celle des focales des courbes gauches et des surfaces, et la théorie complète d'une classe importante de surfaces développables imaginaires circonscrites au cercle de l'infini, et que l'Auteur a appelées développables focales. On remarquera, dans cette Partie du travail, un moyen simple de trouver l'équation différentielle des surfaces applicables sur une surface donnée, et l'explication des solutions singulières de cette équation, la démonstration du théorème que, lorsque les lignes de courbure d'une surface ont une enveloppe, cette enveloppe, en laissant de côté un cas exceptionnel, se compose d'une suite de droites isotropes, etc.

Dans la deuxième et la troisième Partie de cette étude, se trouve comprise l'étude détaillée des cycliques. C'est ainsi que l'Auteur nomme les courbes sphériques, intersections de la sphère et d'une surface du second degré, et les courbes planes qui en sont les transformées par rayons vecteurs réciproques. Les classifications de ces courbes, leur mode de génération, leurs propriétés métriques et focales sont successivement examinés. Il est facile de comprendre l'intérêt qui s'attache à cette étude, si l'on remarque que les coniques sphériques, les ovales de Descartes, la cissoïde de Dioclès, les spiriques de Perseus, les ovales et l'ellipse de Cassini, les podaires de coniques, le limaçon de Pascal, la fenêtre de Viviani font partie de cette classe très générale de courbes, et sont réunis ici dans une étude commune. Quelques-unes d'entre elles, analogues à l'ellipse de Cassini, ont des propriétés semblables à celles du cercle, et l'Auteur donne pour toutes des propriétés analogues à celle de l'angle inscrit dans le cercle. En même temps l'étude de ces courbes fournit à l'Auteur une occasion d'appliquer des principes généraux relatifs à la transformation des relations où entrent les imaginaires. Je signalerai en particulier un procédé nouveau pour déduire, des théorèmes généraux sur les coniques planes et sphériques, les propriétés focales de ces courbes.

Les cycliques sont, après les courbes du troisième degré, les courbes les plus simples, dont l'étude se ramène à celle des fonctions elliptiques. L'Auteur signale rapidement ce lien, qui a été déjà étudié complètement à un point de vue général par M. Clebsch.

Les surfaces analogues aux courbes cycliques sont les surfaces du quatrième ordre, ayant le cercle de l'infini pour ligne double, et les surfaces du troisième ordre qui contiennent le cercle.

Elles ont d'abord été étudiées en 1864 par M. Moutard, mais déjà en 1863 M. Kummer avait étudié d'une manière générale les surfaces du quatrième ordre à ligne double, qui comprennent les précédentes comme cas particulier. On sait que ces surfaces donnent lieu à un système de coordonnées curvilignes orthogonales tout à fait analogue au système des coordonnées elliptiques, qui a rendu à la Science de si grands services entre les mains de Lamé et de Jacobi.

L'Auteur étudie les propriétés analytiques et géométriques, la classification des sections planes des surfaces que nous venons de définir, et qu'il appelle des cyclides, parce qu'elles comprennent comme cas très particulier la cyclide de M. Dupin qu'on pourra distinguer sous le nom de cyclide à lignes de courbure circulaires. En un mot, on a un exposé complet de la théorie de ces surfaces si importantes, qui trouveront sans aucun doute de belles applications, et qui paraissent être en quelque sorte l'intermédiaire par lequel on étendra aux surfaces de degré supérieur une foule de propositions de la théorie des surfaces du second degré.

• M S S B, t. 8, 13 juin 1870, p. CXX-CXXII.

Extrait du Rapport lu par M. CAMILLE JORDAN, en décernant a M. GASTON DARBOUX, au nom de l'Académie des Sciences, le Prix PETIT D'ORMOY pour les Sciences mathématiques, le 5 mai 1884.

Les premières recherches de M. Darboux ont eu pour objet la théorie des surfaces orthogonales, question sur laquelle les beaux théorèmes de Dupin et les travaux de MM. Bonnet et Serret avaient fortement attiré l'attention des géomètres. On connaissait depuis longtemps un système de ce genre, formé de surfaces homofocales du second ordre. La découverte d'un système analogue, faite simultanément par M. Darboux et par M. Moutard, excita un vif intérêt. Un peu plus tard, M. Darboux, généralisant le problème pour l'étendre aux fonctions d'un nombre quelconque de variables, forma les équations aux dérivées partielles analogues à celle que M. Bonnet avait donnée pour le cas des surfaces, et qui sont la condition nécessaire et suffisante pour que la question admette une solution. Il fit voir en outre que d'un système orthogonal à n variables on peut déduire un système analogue à n – 1 variables; théorème important, qui permettait de tirer du système déjà connu à cette époque une infinité de systèmes nouveaux. Enfin, comme corollaire de ces recherches, il détermina les lignes de courbure des surfaces tétraédrales de Lamé.

Dans un autre Mémoire, Sur les systèmes linéaires de coniques et de surfaces de second ordre, il a également déterminé les lignes asymptotiques d'un grand nombre de surfaces (surfaces de Steiner, surface des centres de l'ellipsoïde, surfaces tétraédrales, etc.).

Les théorèmes célèbres de Poncelet et de Chasles sur les polygones inscrits et circonscrits à des coniques ont été pour M. Darboux l'occasion d'une nouvelle et importante série de recherches. Il en donne une démonstration nouvelle, montre leur liaison avec la théorie de la transformation des fonctions elliptiques, et enfin les étend aux polygones inscrits dans un ellipsoïde.

Nous devons citer encore, parmi les travaux géométriques de M. Darboux, un Mémoire justement remarqué sur les groupes de points, de cercles et de sphères; une élégante application des fonctions elliptiques à l'étude des déformations d'un quadrilatère articulé; un Ouvrage sur les théorèmes d'Ivory; un autre Livre plus étendu, intitulé: Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques et sur la théorie des imaginaires. Ce dernier Ouvrage et les notes qui l'accompagnent ont été très favorablement appréciés par les géomètres les plus éminents, et contiennent une foule de résultats remarquables. Nous nous bornerons à signaler une méthode nouvelle et très simple pour former l'équation différentielle des surfaces applicables sur une surface donnée, et cette proposition que les coordonnées d'une surface du troisième ordre (et plus généralement d'une surface cyclide) peuvent s'exprimer par des fonctions hyperelliptiques de deux paramètres variables. L'analogie de ce dernier résultat avec le célèbre théorème de Clebsch sur les courbes du troisième ordre suffit à en faire ressortir l'importance.

Enfin, M. Darboux a publié récemment de nombreuses recherches sur la théorie des surfaces, et notamment sur la détermination des surfaces qui admettent une représentation sphérique donnée....

• C R, t. 98, 5 mai 1884, p. 1159-1160.

OUVRAGES.

1. Sur les théorèmes d'IVORY relatifs aux surfaces homofocales du second degré.

Je me propose d'exposer, dans ce travail, certaines propriétés focales des surfaces du second ordre, et aussi des surfaces du quatrième ordre ayant le cercle de l'infini pour ligne double.  G. D.

• Paris, G.-V., 1872, gr. in-8, IV-84 p.
• M S S B, t. 8, 1870, 12 janv. 1872, p. 197-280.
• Analyse par J. Hoüel: M S S B, t. 8. 1870, 25 janv. 1872, p. CIII-CIV.
• Analyse par August: J F M, Bd. 4, J. 1872, S. 392, 398, 420-422.

2. Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques et sur la théorie des imaginaires.