Die perspectivische Grösse von Figuren oder irgend welchen Linien, welche auf unregelmässigem Terrain in verschiedener Tiefe sich wiederholen, kann nicht genau berechnet werden.
§ 68. Wie auf dieselbe oder ähnliche Weise wagrechte Parallellinien von gleicher Länge in verschiedener Tiefe zu zeichnen sind, ist in Fig. 68–70 gezeigt.
Es sei die Aufgabe gestellt, 2 Rechtecke von gleicher Grösse und in gleicher Stellung wie A B C D, Fig. 68, zu zeichnen, so, dass die linke vordere Ecke des einen in E, die des andern in e liegt. Zieht man von E eine unverkürzte Wagrechte nach r, so ist r s = A B und kann mit dem Zirkel von E nach F übertragen werden. Die Richtung der verkürzten Seiten ist durch P gegeben, ihre Länge durch eine Linie von E nach z, dem Fluchtpunkt der Diagonale A C und folglich auch der mit A C parallelen E G. Ebenso kann e f = a b gemacht und die Länge f g durch die Diagonale e g bestimmt werden.
Wären die Fluchtpunkte beider Diagonalen des gegebenen Rechtecks A B C D unzugänglich, so könnten A B, E F und e f halbiert werden, um y als Fluchtpunkt von o C wie oben z behufs Berechnung der Länge F G und f g zu benüzen. e h könnte auch = F G gemacht werden mittels einer von F durch e nach dem Horizont und einer zweiten von G nach y gezogenen Linie. Sollte auf diesem Wege die Länge E H = B C bestimmt werden, so müsste, da eine Linie von B durch E den Horizont ausserhalb der Zeichnung trifft, eine näher bei E liegende Linie, z. B. m n = B C gezeichnet werden, um m E y und n H y ziehen zu können.
§ 69. In Fig. 69 ist von a aus ein Rechteck = E F G H gezeichnet, indem von E eine Linie durch a nach dem Horizont gezogen und hierauf die Lage von b, c und d durch die Linien F P, G P, H P und die nach den betreffenden Fluchtpunkten gezogenen a b, b c, a d bestimmt wurde. Wäre statt a der Punkt A als vordere Ecke des zweiten Rechtecks gegeben, welcher in gleicher Tiefe mit E liegt, so könnte man von E, F, G und H unverkürzte Wagrechte nach links ziehen, in welchen auch die Punkte B, C und D liegen müssen und hierauf die Lage der lezteren ohne Hilfe ihrer Fluchtpunkte dadurch näher bestimmen, dass man nach einem beliebigen Punkt des Horizonts, z. B. nach P, Linien von E, F, G, H und A zieht, und hierauf f g = i k, f C = i G, f e = i h macht u. s. w. Ebenso ist m n = x y, n o = y a u. s. w.
Wäre A B C D und der Punkt a gegeben, somit der Fluchtpunkt einer von A durch a gezogenen Linie unzugänglich, so könnte auf die zulezt angegebene Weise das erstere Rechteck leicht soweit als nötig zur Seite gerückt werden, wie oben die Linie B C, Fig. 68 nach m n.
§ 70. Aus dem Vorangegangenen ergibt sich ein weiteres in vielen Fällen bequemes Mittel, die Richtung verkürzter Parallellinien, deren Fluchtpunkt unzugänglich ist, zu berechnen. Wenn in Fig. 70 E die vordere Ecke eines Rechtecks = A B C D sein soll und wie oben eine Wagrechte durch A sowie die Linien A E z, B z, C z und D z gezogen sind, so bilde man mit einer aus einem beliebigen Punkt des Horizonts z. B. aus y durch B gezogenen Linie ein Dreieck a c B und ziehe c z. b d ist nun = a c, eine Linie von d nach y macht b F = a B, somit sind die Dreiecke a c B und b d F oder A a B und E b F einander gleich und ist E F perspectivisch gleich gross und parallel mit A B. Die Lage der Ecke G ist durch C z und die Diagonale E y gegeben, könnte aber gleichfalls dadurch berechnet werden, dass auf die angegebene Weise F h g = B f e gemacht und eine unverkürzte Wagrechte von h nach G gezogen würde. Um K zu erhalten, ist schliesslich D m gezogen, durch m z G n = C m gemacht, und durch eine Wagrechte von n nach D z der Punkt K bestimmt.
Da sowohl Richtung als Länge einer schrägen Linie durch die senkrechte und wagrechte Linie ihres Massdreiecks gegeben ist, so gilt das Gesagte auch für verkürzte gleich grosse schräge Parallellinien in verschiedener Tiefe.
Teilung einer verkürzten Linie nach bestimmten Verhältnissen.
§ 71. Die einfachste und häufigste Art einer solchen Teilung ist die Halbierung mittels der Diagonalen eines Rechtecks, dessen eine Seite die zu halbierende Linie bildet. Die vorangehenden Figuren, z. B. 38–41, bieten hievon mehrfache Beispiele. Ebenso von der Verdopplung einer Linie: in Fig. 48 z. B. ist, nachdem E h gegeben, die zweite Hälfte h F = E h gemacht mittels eines Rechtecks E h e c und einer Linie aus c durch die Mitte von e h nach F.
Soll in Fig. 71 die Länge e f auf der Fortsezung dieser Linie wiederholt werden, so bilde man mit e f ein beliebiges Rechteck e f b a, ziehe von a eine Linie durch die Mitte von b f nach g, von b durch die Mitte von c g nach h u. s. w. Auf dieselbe Weise ist in Fig. 72 die Länge a b nach c u. s. w. übertragen. In Fig. 71 ergibt sich f n als Hälfte von e f, wenn m (vom Schnittpunkt der Diagonalen a f und e b aus) als Hälfte von a b bestimmt und von da eine Linie durch d gezogen wird.
In der Mitte des Rechtecks a b c d Fig. 73 kann ein Fenster gezeichnet werden, indem die senkrechte Mittellinie e f gezogen, m n o p als nähere Hälfte angenommen und n z durch die Mitte von m p gezogen wird, vgl. die beigefügte geometrische Figur.
Soll auf der Linie B P Fig. 68 von b aus ein Stück = B C abgeschnitten werden, so bilde man ein Rechteck C b a D, ziehe D b und C a und durch i eine Linie von A nach c.
§ 72. Die Teilung einer verkürzten Linie in eine grössere Anzahl von Teilen, welche in einem bestimmten geometrischen Verhältnis zu einander stehen, geschieht gewöhnlich zufolge dem Geseze, dass in einem Dreieck Linien, welche parallel mit einer Seite zwischen den beiden andern gezogen werden, auf lezteren Teile von gleichem Verhältnis ergeben.
In Fig. 74 ist z. B. die Linie a b so geteilt, dass a d und e f gleich gross und je die Hälfte von d e und f b sind. Zieht man nun von f, e und d Linien parallel mit b c nach a c, so erhält man auf lezterer Linie Teile von demselben Verhältnis. Ist die Aufgabe gestellt, die Linie D C Fig. 75 so zu teilen, dass die Fenster je halb so gross als die Zwischenräume sein sollen, so wird durch D eine unverkürzte Wagrechte gezogen, mit dem Zirkel, nachdem D a als erster Teil beliebig angenommen ist, a b = 2 mal D a, b c = D a u. s. w. gemacht und eine Linie von f, dem Endpunkt des letzten Teilabschnitts, durch C nach dem Horizont gezogen, worauf die Linien a p, b p, c p u. s. w. auf D C die gewünschten Verhältnisse ergeben.
Statt auf D f könnten die Teile auch auf einer höher gelegenen Linie, z. B. von m aus in der Weise angetragen werden, dass eine Linie von m durch D nach dem Horizont, eine zweite von p durch C nach n gezogen und m n mit dem Zirkel nach den gewünschten Verhältnissen geteilt würde.
Auch in Fig. 72 könnte auf diese Weise die perspectivische Weite der Zwischenräume berechnet werden, wie auf der Linie a d angedeutet ist.
Dasselbe Verfahren ist in Fig. 42 angewandt, um die verkürzte schräge Linie b d in eine Anzahl gleicher Teile zu teilen und so die perspectivische Höhe der Stufen zu bemessen, mit dem Unterschied, dass die senkrechte Linie b e hier die Stelle der unverkürzten Wagrechten in Fig. 75 vertritt.
§ 73. Ein anderes Verfahren ist das folgende: Wenn in Fig. 73 das Rechteck a b c d gegeben ist und die Breite eines in der Mitte davon zu zeichnenden Fensters ⅕ der Linie a d betragen soll, so wird a b in 5 gleiche Teile geteilt und die Diagonale a c oder b d gezogen. Zieht man nun von g und h Linien parallel mit a d und b c, so erhält man da, wo dieselben die Diagonalen schneiden, die Punkte, welche die Breite des Fensters bestimmen, vergl. die geometrische Figur. Auch die perspectivische Breite der Fenster und der Zwischenräume in Fig. 75 könnte dadurch bestimmt werden, dass A D mit dem Zirkel in 9 gleiche Teile geteilt würde (vorausgesezt, dass das oben angegebene Verhältnis massgebend sein soll). Die Punkte, in welchen die von 1, 3, 4, 6 und 7 aus gezogenen Parallelen die Diagonale D B schneiden, ergeben, wie die Figur zeigt, dasselbe Verhältnis wie die obige Berechnung.
Perspectivisches Grössenverhältnis nicht paralleler Linien.
§ 74. Wenn wir uns von unserem Auge eine Linie nach dem Augpunkt und 2 andere nach den beiden Diagonalpunkten (§ 18) gezogen denken, so entstehen 2 gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke. Denn eine Linie vom Auge nach dem Augpunkt steht zum Horizont in einem rechten Winkel und die Entfernung der Diagonalpunkte vom Augpunkt ist gleich der Entfernung des Auges vom Augpunkt. Wenn in Fig. 76 D unser Auge, P der Augpunkt ist, so sind Dp und Dg Diagonalpunkte.
Die beiden Linien vom Auge nach den Diagonalpunkten – D Dp und D Dg – stehen zum Horizont in einem halben rechten Winkel, wie die Diagonalen eines Quadrats zu dessen Seiten, vergl. a b c d. Steht eine Linie unseres Gegenstands in einem halben rechten Winkel zu einer unverkürzten Wagrechten, so steht sie auch zum Horizont in einem halben rechten Winkel, sie ist also parallel mit einer Linie von unserem Auge nach einem der beiden Diagonalpunkte und dieser muss ihr Fluchtpunkt sein. Die Diagonalpunkte sind also die Fluchtpunkte aller wagrechten Linien, welche zu einer unverkürzten Wagrechten in einem halben rechten Winkel stehen.
Umgekehrt, jede Linie des Bildes, deren Fluchtpunkt ein Diagonalpunkt ist, stellt eine Linie dar, welche zum Horizont und zu den unverkürzten Wagrechten derselben Zeichnung in einem halben rechten Winkel steht.
Ist also in Fig. 77 die Distanz = 2 mal A P = P Dg, so ist Dg ein Diagonalpunkt und stellt A C eine Linie dar, welche in einem halben rechten Winkel zu A B steht; die Linie B C, welche ihren Fluchtpunkt im Augpunkt hat, ist demnach eine rechtwinklig zu A B stehende Linie und A B C ist die perspectivische Form eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks = a b c Fig. 76. B C Fig. 77 ist = A B, wie in Fig. 76 b c = a b ist.
§ 75. Demgemäss kann die Länge einer unverkürzten Wagrechten auf eine rechtwinklig zu ihr stehende, d. h. nach dem Augpunkt gehende Wagrechte übertragen werden, indem entweder von einem Endpunkt der gegebenen unverkürzten Wagrechten eine Linie nach einem der beiden Diagonalpunkte gezogen wird, welche die nach dem Augpunkt gehende Linie schneidet: B C Fig. 77 wird = A B gemacht durch eine Linie von A nach Dg, welche die Linie B P in C schneidet; oder indem man eine Linie von einem Diagonalpunkte durch einen Endpunkt der gegebenen unverkürzten nach der verkürzten Wagrechten zieht: so wird E A = C E mittels einer Linie von Dg durch C nach A. A B C E ist somit die perspectivische Form eines wagrecht liegenden Quadrats.
Ebenso kann die Länge einer nach dem Augpunkt gehenden Linie auf eine anstossende unverkürzte Wagrechte übertragen werden: durch Dg C A wird A B = B C, durch A C Dg wird C E = A E gemacht.
§ 76. Ist in Fig. 77 die Distanz = 2 mal P A, so ist D/2 die Hälfte, D/3 ein Drittel, D/4 ein Viertel der Distanz. Ebenso ist B a die Hälfte, B b oder B e ein Drittel und B c ein Viertel von A B. Ziehen wir, statt von A nach Dg, eine Linie von a nach D/2 oder von b nach D/3 oder von c nach D/4, so wird von der aus B nach P gehenden Linie dieselbe Länge B C abgeschnitten; gehen wir von der verkürzten Linie B C aus, so erhalten wir durch eine aus D/2, D/3 oder D/4 durch C gezogene Linie auf der durch B gehenden Wagrechten die Hälfte, ein Drittel oder ein Viertel von B C.
Da ein Diagonalpunkt stets ausserhalb der Zeichnung liegt, so bedarf man eines Ersazmittels, welches durch jene Teilpunkte gegeben ist: soll B C = A B gemacht werden, so zieht man eine Linie von a nach D/2, von b nach D/3 oder von c nach D/4, soll A B = B C gemacht werden, so erhält man durch eine Linie von D/2 nach a, D/3 nach b u. s. w. zunächst die Hälfte, ein Drittel oder Viertel von A B und kann hienach mit dem Zirkel die ganze Länge A B leicht ergänzt werden. Statt der Linie b D/3 könnte auch eine Linie von e nach dem rechts vom Augpunkt liegenden Drittel der Distanz gezogen werden, sowie man statt der rechtsseitigen Punkte D/2 und D/4 die entsprechenden Teilpunkte links vom Augpunkt benüzen und mittels derselben rechts von B die Hälfte oder ein Viertel von A B abschneiden könnte.
§ 77. Hienach ist es leicht, auch einer nach einem Distanzpunkt gehenden Linie jedes beliebige Grössenverhältnis zu einer anstossenden unverkürzten Wagrechten zu geben oder umgekehrt. Wird z. B. in Fig. 77 die Senkrechte B F = A B gemacht, so ist das Dreieck A B F = A B C (da auch B C = A B ist); A C ist = A F = A g; A f ist = A d = A n, A h = A i. Es kann also ein beliebiger Teil der Linie A z mit dem Zirkel auf A F oder ihre Verlängerung und von hier mittels einer Senkrechten und einer nach dem Augpunkt gehenden Linie auf die Linie A Dg übertragen werden.
Soll die Länge der nach einem Distanzpunkt gehenden Linie A C auf die durch A gezogene Wagrechte übertragen werden, so zieht man eine Linie von P durch C nach B, eine Senkrechte B F = A B und macht mit dem Zirkel A g = A F = A C.
Das unverkürzte Dreieck kann natürlich ebensowohl oberhalb als unterhalb der Linie A B gebildet werden. Um z. B. A o auf A B zu übertragen, kann P o g gezogen, die Senkrechte g p = A g errichtet und A z = A p gemacht werden.
Oder sei in Fig. 78 A B die zuerst gegebene Linie, D/2 die Hälfte, D/3 ein Drittel der Distanz. B e ist die Hälfte, B d ein Drittel von A B; somit wird B C = A B mittels einer Linie von D/2 durch e, oder von D/3 durch d. B f ist = A B, also ist A B f = A B C; A f ist = A C; A h ist = A B, also erhält man auf A C den Teil A i = A B, indem man eine Senkrechte von h nach A B, und durch den Punkt, in welchem sie A B trifft, eine Linie von P aus zieht.
§ 78. Mit Hilfe desselben Verfahrens kann nun das perspectivische Grössenverhältnis jeder verkürzten wagrechten Linie zu einer andern bemessen werden. Nehmen wir an, dass in Fig. 79 D/2 als Hälfte der Distanz, die perspectivische Richtung der (nicht nach einem Diagonalpunkt gehenden) Linien A B und A C, sowie die perspectivische Länge A B gegeben und die Aufgabe gestellt sei, leztere auf A C zu übertragen, so wird durch A eine unverkürzte Wagrechte und nach dieser aus dem Augpunkt eine Linie durch B gezogen. B b steht somit rechtwinklig zu A b; da D/2 die Hälfte der Distanz ist, so ist b f = die Hälfte von B b; b c ist = 2 mal b f, also = B b, folglich ist A c = A B. Hierauf ist durch einen beliebigen Punkt o der zweiten Linie gleichfalls eine Linie aus P und aus D/2 gezogen und hiedurch gefunden, dass o n = m n (= 2 mal n p) ist; A d wird nun = A c gemacht und schliesslich eine Senkrechte von d nach a und eine Linie von hier nach P gezogen, wodurch sich die Länge A C = A B ergibt.
Wäre A F statt A B als Mass gegeben, so dass eine von D/2 durch F gezogene Linie die durch A gehende Wagrechte nicht mehr innerhalb der Zeichenfläche treffen würde, so können 2 Senkrechte A g und F h bis zum Horizont und die Diagonalen F g und A h gezogen und kann von ihrem Schnittpunkt aus durch eine Senkrechte der perspectivische Halbierungspunkt von A F gefunden werden, um auf dem angegebenen Wege zunächst die Hälfte von A F auf die Linie A a zu bringen. Ist angenommen, dass die beiden verkürzten Linien einen rechten Winkel darstellen, so wird auf kürzerem Wege A C = A B gemacht, indem mit dem Winkel (Fig. 9) A d = A c rechtwinklig zu A c gezeichnet und hierauf d a und a P gezogen wird.
In Fig. 80 sind die Wagrechten A B und A C, deren Richtung von A aus gegeben ist, = der in gleicher Fläche liegenden E F gemacht. Zu diesem Zweck ist zunächst A G = E F gemacht mittels einer Linie von F durch A nach z und einer zweiten von z nach E und ist hierauf von P eine Linie nach einem beliebigen Punkte b der Linie A B gezogen. D/2 sei die Hälfte der Distanz; also ist a c = 2 mal a n, a b = 2 mal a m, das wagrechte Dreieck A a c ist somit = dem senkrechten A a e, A a b ist = A a g (a e = 2 mal a n, a g = 2 mal a m). Nachdem nun A f und A h = A G gemacht sind, werden die Senkrechten f m und h i gezogen und ergeben die von P nach m und durch i nach B gezogenen Linien die Länge A C und A B = A G = E F.
Fig. 81 zeigt die Anwendung des Vorangegangenen auf eine geöffnete Thüre. Es ist angenommen, dass die Länge A B und die Richtung A D gegeben, die Richtung D E beliebig und die Breite der Thüre = A C sein soll. In beliebiger Richtung ist aus P nach der durch A gehenden Wagrechten die Linie a b gezogen, welche, wenn D/3 ein Drittel der Distanz darstellt, = 3 mal b c, also = b d ist; A e ist = A C, somit ist auch A D = A C. Nun ist eine Wagrechte durch D gezogen und in gleicher Weise zuerst an beliebiger Stelle ein Dreieck D m i = D g i construiert (i m = 3 mal i h), um sodann D n = D F, D E = D n zu machen; D F ist = A C, somit ist E D ebenfalls = A C.
§ 79. Kann die Länge einer verkürzten auf eine unverkürzte Wagrechte übertragen werden und umgekehrt, so ist damit auch das Mittel gegeben, eine bestimmte Grösse von einer Senkrechten oder einer unverkürzten schrägen Linie auf eine verkürzte Wagrechte zu übertragen und umgekehrt, vgl. Fig. 81, wo die Linien A D und E D = der Senkrechten A C gemacht wurden, oder Fig. 78, wo A C = der unverkürzten schrägen Linie A f und = der Senkrechten A g ist.
Die Berechnung der perspectivischen Länge einer verkürzten schrägen Linie ist in Fig. 82 und 83 gezeigt. In beiden Beispielen ist die Richtung der Linien c e und b c, sowie die Länge b c als gegeben angenommen und soll c e = b c gemacht werden. Es ist zunächst die Länge b c auf die durch b gehende Wagrechte zu übertragen. In Fig. 82 geht b c nach dem Augpunkt, folglich ist b g die Hälfte von b c. Die von c ausgehende schräge Linie ist bis zu einer in b errichteten Senkrechten verlängert, b i ist = 2 mal b g, d. h. = b c, somit ist das Dreieck b i h = b h c; i m ist = b i = b c; zieht man eine unverkürzte Wagrechte von m nach n und von n eine mit b c parallele Linie nach P, so ist c e = i m = b c. Eine Senkrechte von e nach o, eine Wagrechte von o nach k und eine Senkrechte von k nach f ergeben f d als die mit c e parallele Seite.
In Fig. 83 ist zuerst eine Linie von P durch c nach o gezogen; c o ist = 2 mal o g = x z, x y ist = o b; folglich ist das Dreieck b o c = x y z und b c ist = y z = b i, das Dreieck b i h ist = b h c u. s. w.
Ist statt c e die Richtung der Linie c k gegeben und soll auf leztere die Länge c b übertragen werden, so kann c p = c b gemacht (vgl. Fig. 68) und links von p s ein unverkürztes Dreieck = c p s gebildet werden; oder kann, wenn der Raum dies nicht gestattet, s h parallel mit b p gezogen, der Punkt n wie oben bestimmt und von hier aus mittels n k die schräge Linie c k = b c gemacht werden.
Eine andere Lösung der Aufgabe wäre die Construction eines Halbkreises über b p, indem alle von diesem nach c gezogenen Linien = b c sein würden.
Das Quadrat in gerader Stellung.
§ 80. Die perspectivische Form eines wagrecht liegenden Quadrats in gerader Stellung ist gegeben durch den Augpunkt, welcher die Richtung der beiden verkürzten Seiten bestimmt (§ 32) und durch die Diagonalpunkte, welche Fluchtpunkte der beiden Diagonalen sind und hiemit das perspectivische Grössenverhältnis der Seiten zu einander angeben (§ 74); die Ausführung ist aus § 74–75 und aus Fig. 77–78 ersichtlich.
Auch in diesem Fall kommt es hauptsächlich darauf an, dass die Entfernung des betreffenden Diagonalpunkts vom Auge, welche gleichbedeutend ist mit der Distanz, nicht zu klein angenommen werde (§ 34). Die Folge wäre, dass die verkürzten Seiten zu lang erscheinen würden im Verhältnis zu den unverkürzten. E F B D Fig. 84 kann ebensowohl ein Quadrat darstellen, als E F G H; der Unterschied ist nur, dass die leztere Form einen näheren Standpunkt voraussezt als die erstere. Sobald wir aber die Linie G H näher nach dem Horizont hin rücken, z. B. nach m n, so erscheinen die beiden verkürzten Seiten länger als die unverkürzten. Denn P D/2 ist = P F und 2 mal P F ist in diesem Fall die kleinste Distanz, welche angenommen werden kann.
Es ist daher im allgemeinen darauf zu achten, dass bei der besprochenen Stellung des Quadrats der Punkt, in welchem eine Linie von der Mitte der unverkürzten Vorderseite durch eine gegenüberliegende Ecke nach dem Horizont (A G oder A H, Fig. 84) diesen trifft, wenigstens ebenso weit vom Augpunkt entfernt sein muss, als dieser von der entferntesten Ecke des Bildes.
Das Quadrat in schräger Stellung.
§ 81. Ist die Stellung des Quadrats eine solche, dass die eine Diagonale eine unverkürzte Wagrechte ist, so steht die andere rechtwinklig zum Horizont, hat also ihren Fluchtpunkt im Augpunkt und die Seiten haben dieselbe Stellung, welche im vorhergehenden Fall die Diagonalen hatten, ihre Fluchtpunkte sind die beiden Diagonalpunkte, s. Fig. 77. Ist A D in Fig. 84 als erste Seite eines solchen Quadrats gezeichnet, also angenommen, dass der Fluchtpunkt von A D ein Diagonalpunkt sei, so ergibt sich B dadurch, dass eine unverkürzte Wagrechte von D nach rechts, eine Linie von A nach P gezogen und hierauf k B = D k gemacht wird, der Punkt C durch P D E, A E und eine Linie aus E durch die Mitte von D k nach A P. Oder man bildet das einschliessende Quadrat in gerader Stellung und bestimmt in diesem die Halbierungspunkte der Seiten.
§ 82. Wie die geometrisch gezeichneten Quadrate a b c d und e f g h, Fig. 84 zeigen, entstehen, wenn durch Verbindung der Halbierungspunkte a b c d ein kleineres Quadrat innerhalb des grösseren gebildet wird, zwischen beiden 4 gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke von gleicher Grösse: a f b, b g c u. s. w. Wird eine Quadratseite in zwei ungleiche Teile geteilt und dieselbe Teilung auf den 3 andern Seiten wiederholt, wie in Fig. 85 (a f = b g = c h = d e und folglich a e = d h u. s. w.), so bilden die Verbindungslinien der 4 Teilungspunkte, hier a, b, c und d, gleichfalls ein Quadrat und entstehen wieder 4 rechtwinklige Dreiecke von gleicher Form und Grösse (a f b, b g c u. s. w.) mit dem Unterschiede, dass dieselben nicht gleichschenklig sind. Zieht man aus a und c 2 Linien parallel mit f g, aus d und b zwei weitere parallel mit e f je nach der gegenüberliegenden Seite des äusseren Quadrats, so ist e m = a f, m f ist = a e und dieselben Verhältnisse ergeben sich auf allen 4 Seiten.
Ist nun ein verkürztes Quadrat in gerader Stellung z. B. E F G H Fig. 85, gegeben und in demselben ein Punkt A als vordere Ecke eines inneren Quadrats, dessen Ecken die Seiten des äusseren berühren sollen, so wird man F M = A E machen, M P und A P sowie eine Diagonale des äusseren Quadrats und durch die Schnittpunkte y und z oder i und k zwei Wagrechte ziehen, wodurch sich die Lage der Punkte B, D und C ergibt.
§ 83. Ist A B als Seite eines Quadrats und zweimal P F als Distanz angenommen, so zieht man eine Wagrechte durch A und eine Linie aus P durch B nach F. Eine Linie aus D/3 durch B ergibt F p als ein Drittel von B F, F M ist = 3 mal F p, also ist F M = B F. Wird nun A E = F M gemacht, so kann E P gezogen und das äussere Quadrat E F G H entweder durch Verlängerung der Diagonale des Quadrats M F B z oder durch eine Linie aus D/3, nach s, d. h. dem Drittel von F E gebildet werden, worauf man wie oben verfährt.
Oder kann man, nachdem P F gezogen, F M = B F und A E = F M gemacht ist, E P und eine Linie von D/3 nach m, d. h. einem Drittel von A F ziehen, wodurch das Quadrat A F n y entsteht. Die verlängerte n y ergibt den Punkt D, die verlängerte Diagonale F y den Punkt H, von wo aus eine Wagrechte die Linie M P in C schneidet.
Die Quadrate A F n y oder E M k D, durch welche der Punkt D gegeben ist, lassen sich auch ohne die zweite von D/3 nach s gezogene Linie durch Verlängerung der Diagonale F z und die von A und M nach P gezogenen Linien bilden.
§ 84. Die Anwendung des hier beschriebenen Verfahrens kann überhaupt eine mannigfaltige sein. Wäre statt A B die Linie A D als erste Seite gegeben, so würde man mittels einer von D/3 durch D gezogenen Linie auf der nach links verlängerten A E ein Drittel von A D erhalten oder zieht man eine Linie aus D/3 durch y, wo sich A P und die von D nach rechts gehende Wagrechte schneiden, nach o, um A o oder E o als ein Drittel von E D zu bestimmen und somit E M = E D zu erhalten. Hierauf wird A F = E M gemacht und mit der verlängerten Diagonale des Quadrats E M k D, welche von F P in G geschnitten wird, das grössere Quadrat gebildet.
Fig. 86 zeigt dasselbe Verfahren mit etwas veränderter Stellung des inneren Quadrats. Die Distanz ist = 4 mal P A angenommen, also ist B r ein Viertel von B F; B m ist = 4 mal B r, also = B F, folglich ist das verkürzte Dreieck E B F = dem unverkürzten E B f. A H ist = 4 mal A a = A m und = A h, folglich ist A H E = A h E und man sieht deutlich, wie auch die übrigen Linien der zwei wagrechten Quadrate nach Grösse und Winkelstellung durch die Linien der senkrecht sich anschliessenden Quadrate A B c d und E f g h geometrisch wiedergegeben sind.
§ 85. Hiemit ist zugleich die genaue Berechnung der perspectivischen Form eines rechten Winkels in schräger Stellung gegeben, auf welche in § 33 verwiesen wurde.
Die Ausführung kann, wenn nur die 2 Linien des rechten Winkels verlangt sind, in wesentlich vereinfachter Weise stattfinden. Wenn z. B. in Fig. 86 von E aus eine zu E F rechtwinklige Linie gezeichnet werden soll, so genügt hiezu eine Linie von D/4 durch F, wonach E A = 4 mal B r, d. h. = B F zu machen ist, eine zweite Linie von A nach P und eine dritte von D/4, nach a, indem A a ein Viertel von E B und somit A H = E B ist. Ist E H gegeben und soll eine rechtwinklig dazu stehende Linie gezeichnet werden, so bilde man das Rechteck H A E y, mache E B = A H (= 4 mal A a), ziehe B P und eine Linie von D/4 nach r. Da B r ein Viertel von A E ist, so ist hiemit F B = A E. Welcher Weg im einzelnen Fall der bequemste, ob der Teildistanzpunkt links oder rechts vom Augpunkt für die Ausführung geeignet ist, wird man bei einiger Übung leicht erkennen.
Bei der Construction senkrecht stehender verkürzter Quadrate handelt es sich nur um die Übertragung eines gegebenen Masses von einer senkrechten auf eine verkürzte wagrechte Linie oder umgekehrt, worüber in § 74–78 das Nötige angegeben ist; ebenso ist aus § 78 zu ersehen, wie ein verkürztes schräges Quadrat zu zeichnen wäre; doch kommt die leztere Aufgabe seltener vor.
Vergrösserung oder Verkleinerung eines Quadrats oder Rechtecks.
§ 86. Wenn man in Fig. 87, nachdem g h i k gegeben ist, von b aus die mit g h und h i parallelen b f und b e zieht, oder wenn man 4 Punkte der Diagonalen g i und h k durch Linien verbindet, welche mit den Seiten parallel sind, so entsteht bei A wiederum ein Quadrat f b e k oder a b c d, bei B ein Rechteck f b e k oder a b c d, dessen Seitenpaare dasselbe Verhältnis von 2 : 3 haben, wie g h und h i. Wie auf die gleiche Weise aus einem kleineren ein grösseres Quadrat oder Rechteck durch Verlängerung der Diagonale gemacht werden kann, ist hienach leicht zu verstehen.
Aber während in A die Linien des inneren Quadrats a b c d überall gleich weit von g h i k entfernt sind, ist dies bei den Rechtecken a b c d und g h i k in B nicht der Fall: der Zwischenraum zwischen den kürzeren Seiten ist grösser, als zwischen den längeren. Soll auf einem Wege, der auch bei verkürzter Stellung des Rechtecks anwendbar wäre, innerhalb g h i k ein (paralleles) Rechteck gezeichnet werden, so dass die Seiten beider überall gleiche Entfernung von einander haben, so muss auf einer längeren Seite z. B. auf g h ein Teil = der Länge der kürzeren Seite abgeschnitten, also z. B. g n = g k gemacht und so ein Quadrat g n m k gebildet werden, um dessen Diagonalen zu dem genannten Zwecke zu benüzen. Soll f g die Breite des Zwischenraums sein, so wird von f eine mit g h parallele Linie gezogen, welche die Diagonale g m in o schneidet und hiemit den Punkt p ergibt. Zieht man nun von m durch den Schnittpunkt der Diagonalen g i und h k eine Linie nach s, so ist g s = n h, s h = g n = h i; s i ist somit die Diagonale eines Quadrats = g n m k, und können die Punkte y und z durch die mit k i und i h parallelen Linien bestimmt werden.
§ 87. Die Construction der verkürzten Quadrate und Rechtecke in Fig. 88 und 89 ist hiemit gegeben. In Fig. 89 dient dieselbe dazu, die 4 Tischbeine an die richtige Stelle zu sezen. Fig. 90 stellt in grösserem Massstab die Verjüngung der Tischbeine nach unten dar.