Lehrbuch der Physik zum Schulgebrauche.

Man schließt daraus, daß die Strahlen je nach ihrer Brechbarkeit in verschiedenem Grade Licht- und chemische Wirkungen hervorbringen. Es bringen also die Strahlen, die wir als rot, gelb, grün wahrnehmen, lebhafte Farbenempfindung in unserem Auge, aber nur schwache chemische Wirkung hervor, während blaue und besonders violette Strahlen nur schwachen Lichteindruck, aber starke chemische Wirkung ausüben, und die ultravioletten Strahlen bringen gar keine Lichtempfindung aber noch chemische Wirkung hervor. Man nennt alle diejenigen Strahlen, welche eine chemische Wirkung hervorbringen, chemische Strahlen.

Die chemischen Strahlen verlängern das sichtbare Spektrum über das violette Ende hinaus, ebenso wie die dunklen Wärmestrahlen über das rote Ende hinaus. In Fig. 308 ist in der Kurve I die Intensivität der Wärmestrahlen, in II die der Lichtstrahlen, in III die der chemischen Strahlen gezeichnet. Auch im ultraroten Wärmespektrum hat man Lücken nachgewiesen, welche Fraunhoferschen Linien analog sind; ebenso im ultravioletten, chemischen Spektrum.

Irdische Wärmequellen sind auch arm an den chemisch wirksamen Strahlen höherer Brechbarkeit. Je intensiver die Hitze, desto größer ist auch die Menge der chemisch wirksamen Strahlen, und es besitzt z. B. das elektrische Bogenlicht deren eine große Menge. Es ist deshalb nicht gut möglich, bei Lampen- oder Gaslicht zu photographieren, während elektrisches Bogenlicht sich recht gut dazu eignet.

Die bisher besprochenen Wirkungen beziehen sich jedoch nur auf die Zersetzung von Chlorsilber. Bei anderen chemischen Wirkungen haben andere Strahlen größere Energie; bei grünem Chlorophyll wirken die roten Strahlen am meisten. Im allgemeinen wirken gerade die Strahlen auf einen Stoff am stärksten, welche von dem Stoffe absorbiert werden.

Unentbehrlich ist die chemische Wirkung der Sonnenstrahlen für das Wachstum der Pflanzen. Die Pflanzen nehmen nämlich aus der Luft (die Wasserpflanzen aus dem Wasser) Kohlensäure auf; in den grünen Pflanzenteilen (Blättern, Nadeln, grünen Stengeln) wird durch die chemische Wirkung der Sonnenstrahlen die Kohlensäure zerlegt, Sauerstoff ausgeschieden, und unter Hinzunahme von Wasserstoff aus Wasser, das auch zerlegt wird, werden dann die verschiedenen, an Kohle und Wasserstoff reichen Stoffe gebildet, aus denen die Pflanze besteht.

Elfter Abschnitt.
Mechanik.

240. Der Hebel.

Das Gesetz des einfachen Hebels heißt: Der Hebel ist im Gleichgewichte, wenn die Kräfte sich verhalten wie umgekehrt die Längen der Hebelarme, also wenn:

Man bildet hieraus nach arithmetischen Sätzen P · a = Q · b, und sagt: Der Hebel ist im Gleichgewichte, wenn das Produkt aus der Kraft mal ihrem Hebelarme gleich ist dem Produkte aus der Last mal ihrem Hebelarme.

Ein solches Produkt aus einer Kraft und ihrem zugehörigen Hebelarme nennt man das statische Moment oder Drehmoment der Kraft.

Dann heißt das Hebelgesetz: Ein Hebel ist im Gleichgewichte, wenn die Momente beider Kräfte einander gleich sind und nach verschiedenen Richtungen wirken.

Das Moment P · a einer Kraft P gibt zugleich die Größe einer Kraft an, welche im Abstande 1 vom Drehpunkt dasselbe leistet, wie die Kraft P im Abstande a. Man ersetzt demnach die Kraft P im Abstande a durch die Kraft P · a im Abstande 1, und die Kraft Q im Abstande b durch die Kraft Q · b im Abstande 1. Dann tritt Gleichgewicht ein, wenn die Kräfte gleich sind, also wenn P · a = Q · b.

Wirken mehrere Kräfte auf den Hebel, so bringt jede an ihm ein Drehmoment hervor, dessen Größe gleich ist dem Produkte aus der Kraft mal ihrem Hebelarme. Denkt man sich die Kräfte wieder ersetzt durch Kräfte, die je im Abstande 1 mit gleichem Moment wirken, so hat man wie in Fig. 310 links vom Drehpunkte im Abstand 1 die Kräfte P₁ a₁, P₂ a₂, P₃ a₃ anzubringen; ihre Resultierende ist, da P₃ a₃ nach der entgegengesetzten Richtung wirkt = P₁ a₁ + P₂ a₂ - P₃ a₃; ebenso hat man rechts vom Drehpunkt im Abstand 1 Kräfte anzubringen, deren Resultierende = - P₄ a₄ + P₅ a₅ - P₆ a₆ + P₇ a₇. Dann tritt Gleichgewicht ein, wenn P₁ a₁ + P₂ a₂ - P₃ a₃ = - P₄ a₄ + P₅ a₅ - P₆ a₆ + P₇ a₇.

Ordnet man diese Momente nach positiven Gliedern, also:

so heißt das Gesetz: Der Hebel ist im Gleichgewichte, wenn die Summe der Momente der Kräfte, welche den Hebel nach der einen Richtung zu drehen suchen, gleich ist der Summe der Momente der Kräfte, welche den Hebel nach der anderen Richtung zu drehen suchen.

Bringt man alle Momente auf eine Gleichungsseite, also:

so heißt das Gesetz: Der Hebel ist im Gleichgewichte, wenn die algebraische Summe aller Momente = 0 ist; dabei sind die Momente mit dem + oder - Zeichen zu nehmen, je nachdem sie den Hebel nach der einen oder nach der anderen Richtung zu drehen suchen.

Beispiel: An einem Hebel wirken die aus Fig. 311 ersichtlichen Kräfte; welche Kraft ist anzubringen, damit der Hebel im Gleichgewichte ist?

Antwort: Die Momentengleichung gibt:

hieraus x = 11,2 kg.

Aufgaben:

144. Wenn an einem Hebel auf der einen Seite in den Entfernungen von 18 cm und 33 cm vom Stützpunkte die Kräfte 9 und 11 kg, und auf der anderen Seite die Kraft 15 kg in 20 cm Entfernung wirkt, wo muß noch die Kraft von 10 kg dazugefügt werden, damit Gleichgewicht stattfindet?

145. An einer horizontalen Stange von 64 cm Länge, die an einem Ende in einem Scharnier drehbar ist, hängt am andern Ende eine Last von 20 kg. Mit welcher Kraft drückt sie auf einen Punkt, der 15 cm vom Scharnier entfernt ist, und mit welcher Kraft drückt sie auf das Scharnier selbst?

241. Resultante von Parallelkräften.

Parallelkräfte, welche an einer starren Stange angreifen, haben eine Resultierende, welche den Parallelkräften parallel, und gleich ihrer algebraischen Summe ist.

Wirken in zwei starr verbundenen Punkten B und C (Fig. 312) zwei parallele Kräfte P₁ und P₂, so findet man die Mittelkraft auf folgende Art. Man fügt die gleichen und entgegengesetzt wirkenden Kräfte S₁ in B und S₂ in C hinzu, wodurch, da S₁ und S₂ sich aufheben, die Wirkung von P₁ und P₂ nicht geändert wird. Man bilde aus S₁ und P₁ die Mittelkraft R₁, ebenso R₂ aus S₂ und P₂, verlege ihren Angriffspunkt in den Schnittpunkt A ihrer Richtungen, zerlege dort wieder R₁ in P₁ und S₁, R₂ in P₂ und S₂, so heben sich S₁ und S₂ auf, P₁ und P₂ geben eine Mittelkraft R = P₁ + P₂; ihren Angriffspunkt verlegt man nach D, so ist D der Angriffspunkt der Mittelkraft der zwei Parallelkräfte P₁ und P₂.

Bezeichnet man BD mit x, DC mit y, DA mit h, so ist

Dies ergibt den Satz: Wirken zwei Parallelkräfte an den Endpunkten einer starren Strecke, so ist die Mittelkraft parallel den Kräften, gleich der Summe der Kräfte, und ihr Angriffspunkt teilt die Strecke so, daß sich die Teile verhalten umgekehrt wie die Kräfte.

Daraus folgt auch: der Angriffspunkt der Mittelkraft der Parallelkräfte ist auch der Stützpunkt des Hebels BC mit den Kräften P₁ und P₂.

Wirken die Parallelkräfte nicht in gleicher, sondern in entgegengesetzter Richtung, so ändert sich die Ableitung wie aus Fig. 313 ersichtlich ist.

Man fügt wie vorher die gleichen Kräfte S₁ und S₂ hinzu, bildet die Mittelkräfte R₁ und R₂, verlegt ihre Angriffspunkte in den Schnittpunkt A ihrer Richtungen, zerlegt sie dort wieder in ihre Komponenten, so heben sich S₁ und S₂ auf, während die Komponenten P₁ und P₂ nun in entgegengesetzten Richtungen wirken, also eine Mittelkraft geben gleich ihrer Differenz R = P₁ - P₂. Die Richtung von R schneidet die Strecke BC außerhalb der Angriffspunkte der Kräfte und zwar auf Seite der größeren Kraft in D. Bezeichnet man wieder DB mit x, DC mit y, DA mit h, so ist ebenso

x : S₁ = h : P₁; hieraus x P₁ = S₁ h;
y : S₂ = h : P₂; hieraus y P₂ = S₂h; durch Vergleichung:

P₁ : P₂ = y : x = DC : DB. Der Angriffspunkt D der Mittelkraft teilt also die Strecke BC äußerlich so, daß die Teilstrecken DC und DB sich umgekehrt verhalten wie die Kräfte.

Gleichgewicht kann hergestellt werden, indem man in D eine der Mittelkraft gleiche und entgegengesetzte Kraft anbringt; doch muß D noch starr mit B und C verbunden sein.

Sind die zwei Kräfte P₁ und P₂ (Fig. 314) entgegengesetzt gerichtet und noch dazu einander gleich und macht man dieselbe Ableitung, so ergibt sich, daß die Mittelkräfte R₁ und R₂ parallel gerichtet sind. Deshalb ergeben ihre Richtungen keinen Schnittpunkt A, also auch keine Mittelkraft. Nennt man „zwei gleiche an zwei starr verbundenen Punkten angreifende und in entgegengesetztem Sinn gerichtete Kräfte ein Kräftepaar“, so hat man den Satz: Ein Kräftepaar hat keine Mittelkraft, kann also durch eine einzige Kraft allein nicht aufgehoben werden.

Erweiterung der vorigen Sätze: die Resultierende beliebig vieler Parallelkräfte ist den Kräften parallel und gleich ihrer algebraischen Summe.

Der Angriffspunkt der Mittelkraft muß so liegen, daß das Drehungsmoment der Mittelkraft gleich ist der Summe der Momente der einzelnen Kräfte, und zwar gleichgültig, wo auch der Drehungspunkt der Stange liege.

Ob es möglich ist, einen Angriffspunkt unter diesen Bedingungen zu finden, ist nicht von vornherein klar. Wir suchen daher zunächst den Angriffspunkt J der Mittelkraft, indem wir einen bestimmten Punkt O als Drehungspunkt annehmen. (Fig. 315.)

Es seien P₁, P₂, P₃, - P₄ die Kräfte, so ist die Mittelkraft

Sind a₁, a₂, a₃, a₄ die Entfernungen dieser Kräfte vom Drehungspunkte O und OJ = x die Entfernung der Mittelkraft von O, und soll das Moment der Mittelkraft gleich der Summe der Momente der einzelnen Kräfte sein, so muß

Es läßt sich nun zeigen, daß, wenn die Mittelkraft in dem so bestimmten Punkte J angreift, ihr Moment auch gleich ist der Summe der Momente der Einzelkräfte in bezug auf einen beliebigen anderen Punkt O′. Denn es sei OO′ = c, so ist

Aber links steht das Moment der Mittelkraft in bezug auf O′, und rechts steht die Summe der Momente der einzelnen Kräfte auch in bezug auf O′; beide sind gleich.

Der Angriffspunkt J der Mittelkraft mehrerer Parallelkräfte oder deren Schwerpunkt kann demnach auf obige Art gefunden werden, indem man zunächst einen beliebigen Punkt O als Drehpunkt annimmt; die Gleichheit der Momente gilt dann von selbst für jeden anderen Punkt O′.

Rückt man nun den Punkt O nach J, nimmt man also den Angriffspunkt der Mittelkraft als Drehpunkt, so ist in bezug auf ihn das Moment der Mittelkraft gleich Null, da die Mittelkraft durch den Punkt selbst geht, also keinen Hebelarm, einen Hebelarm = 0 hat. Folglich ist auch die Summe der Momente der einzelnen Kräfte in bezug auf J gleich Null. Das bedeutet aber, daß der Hebel in bezug auf J als Drehpunkt im Gleichgewichte ist. Wir schließen also: der Schwerpunkt mehrerer paralleler Kräfte ist zugleich Stützpunkt des Hebels und umgekehrt.

Aufgaben:

146. An den Enden einer Stange von a = 80 cm Länge wirken die Parallelkräfte P = 56 kg und Q = 72 kg. Wo ist die Stange zu stützen?

147. Eine Stange von der Länge l ist an beiden Endpunkten gestützt. Wenn sie nun in der Entfernung a vom einen Ende mit Q kg belastet ist, wie verteilt sich diese Last auf die beiden Stützen? Wo muß die Last angebracht werden, damit sich die Belastungen wie 2 : 3, wie p : q verhalten?

148. Eine Last von 100 kg soll auf eine horizontale, an beiden Enden gestützte Stange von 1,5 m Länge so gelegt werden, daß der eine Stützpunkt nur einen Druck von 20 kg erfährt. Wo ist die Last anzubringen?

149. Ein Balken hat bei 5,2 m Länge 128 ℔ Gewicht, die in seiner Mitte angreifen, ist an beiden Enden fest aufgelegt und 2,4 m vom einen Ende noch mit 280 ℔ belastet. Welchen Druck übt er auf jede Stütze aus?

150. An einem Balken von der Länge l, der an beiden Enden gestützt ist, wirken in den Abständen a₁, a₂, a₃, a₄ je vom linken Endpunkt aus gerechnet die Gewichte P₁, P₂, P₃, P₄. Welchen Druck hat jede Stütze auszuhalten?

151. An einem Hebel wirken folgende Kräfte: Am einen Ende 50 kg, 20 cm davon entfernt 60 kg, weitere 15 cm davon 125 kg, weitere 30 cm davon 4 kg und weitere 16 cm davon 80 kg. Wo muß der Hebel gestützt werden, wenn alle Kräfte in derselben Richtung wirken, und wo, wenn die 2. und 4. Kraft nach entgegengesetzten Richtungen wirken?

152. An einer Stange wirken folgende Parallelkräfte: am einen Ende 40 kg, 12 cm davon 70 kg, weitere 20 cm davon 50 kg nach aufwärts, weitere 23 cm davon 60 kg nach abwärts und weitere 23 cm davon 35 kg nach abwärts. Wo und wie stark muß sie gestützt werden?

153. Ein Balken von 4,8 m Länge ist an beiden Enden unterstützt. Er ist in mehreren Punkten belastet, und zwar 0,6 m, 1,4 m, 2,2 m, 3 m je vom linken Endpunkt mit 120 kg, 250 kg, 75 kg, 140 kg. An welchem Punkte dürfen diese Belastungen vereinigt werden, wenn der Druck auf die Stützen sich nicht ändern soll?

154. Ein an beiden Enden unterstützter Balken von 3,6 m Länge ist 1,2 m vom linken Ende schon mit 100 kg belastet. Wo muß eine weitere Last von 150 kg angebracht werden, damit die Belastungen der beiden Stützen gleich werden?

242. Starres System.

Wenn auf einen festen Körper eine Kraft wirkt, so bewegt er sich wegen der gegenseitigen Anziehung der Moleküle so, daß all seine Teile in Bewegung kommen. Man nennt deshalb einen festen Körper ein starres System materieller Punkte. Diese Bezeichnung gilt auch für einen festen Körper, der aus mehreren Teilen so zusammengesetzt ist, daß die gegenseitige Lage der Teile durch äußere Kräfte nicht geändert wird. Man sieht dabei ab von den unausbleiblichen kleinen Änderungen, Biegungen, Verkürzungen und ähnlichem.

Die Erfahrung lehrt: die Wirkung einer Kraft auf ein starres System ändert sich nicht, wenn man den Angriffspunkt der Kraft in der Richtung der Kraft an einen andern Punkt des Systems verlegt.

Wir betrachten ein ebenes starres System und lassen an ihm beliebige Kräfte wirken, deren Richtungen alle in der Ebene des Systems selbst liegen. Wir suchen die Resultierende.

Wir ziehen in der Ebene eine beliebige Gerade, verlegen den Angriffspunkt jeder Kraft in diese Gerade, und haben somit eine starre Gerade, an welcher an verschiedenen Punkten Kräfte P₁, P₂, P₃ . . . . . . unter verschiedenen Winkeln α₁, α₂, α₃, . . . . . . wirken. Dabei seien alle Winkel in demselben Sinne gemessen, etwa nach rechts und abwärts bis 180°, und nach rechts und aufwärts auch bis 180°, letztere jedoch als negativ betrachtet.

Wir zerlegen jede Kraft in zwei Komponenten, von denen die eine (x) in der Richtung der Geraden, die andere (y) senkrecht dazu wirkt. Dann ist

Man vereinigt die x₁, x₂ . . . . . . zu einer Resultierenden

Man bestimmt ferner den Angriffspunkt O von Y als den Angriffspunkt der Resultierenden von Parallelkräften, so wirken in O die zwei Kräfte Y und X. Man bildet die Resultierende R = √X₂ + Y₂ und die Richtung derselben tang ω = YX. Man weiß dann, daß an einem beliebigen Punkt dieser Richtung die Resultierende R eben in dieser Richtung wirkt.

Ist das starre ebene System dabei in einem Punkte C drehbar befestigt, so findet man das Moment der Resultierenden in bezug auf diesen Drehpunkt, indem man von C auf die Richtung von R eine Senkrechte fällt, und diesen Abstand als Hebelarm mit R multipliziert.

Soll bloß das Moment der Resultierenden in bezug auf einen gegebenen Drehpunkt C gefunden werden, so fällt man von C auf jede Kraftrichtung eine Senkrechte, a₁, a₂, a₃ . . . . .; dann ist das Moment der Resultierenden gleich der algebraischen Summe der Momente der einzelnen Kräfte. M = P₁ a₁ + P₂ a₂ = P₃ a₃ + . . . . .

Da das Starrsein eines Systems nur durch die gegenseitige Anziehung der Moleküle bedingt ist, so hört ein System auf, starr zu sein, wenn die Kraft zu heftig auf den Körper wirkt, wie bei einem starken Stoß, Ruck und Schlag. Es werden dann die getroffenen Teile aus dem Verband des starren Systems losgerissen. Man sagt, eine dem festen Körper mitzuteilende Bewegung bedarf hiezu einer gewissen Zeit. Beispiele: Durch Druck kann man ein Brett umwerfen, eine abgeschossene Flintenkugel schlägt ein Loch durch. Eine Münze auf einem Kartenblatt folgt einer langsamen Bewegung desselben, einer raschen nicht. Ein an zwei schwachen Fäden horizontal aufgehängter Stab wird durch raschen Schlag zerbrochen, ohne daß die Fäden reißen. Langsame oder wuchtige Schläge treiben den Pfahl in den Boden; heftige Hammerschläge zersplittern ihn oben.

Aufgaben:

155. Ein horizontaler Balken AB ruht in A in der Wand; in B ist eine unter 30° geneigte Zugstange BC angebracht, welche in C in der Mauer befestigt ist. Welchen Zug hat die Zugstange auszuhalten, wenn der Balken 2,8 m lang, 70 kg schwer und 1 m von B entfernt noch mit 240 kg belastet ist?

156. Ein horizontaler Balken AB ist in A mit der Mauer verklammert, und in B durch eine unter 15° geneigte Stütze BC gegen die Mauer in C gestützt. Welchen Druck hat die Stütze auszuhalten, wenn AB 3 m lang, 120 kg schwer, in B mit 100 kg und 1 m vor B noch mit 150 kg belastet ist?

243. Bestimmung des Schwerpunktes.

Schwerpunkt ist der Angriffspunkt der Resultierenden all der kleinen Schwerkräfte, die auf die einzelnen Teilchen des Körpers wirken.

Schwerpunkt einer geraden Linie.

Eine physikalische Linie ist ein der Länge nach ausgedehnter Körper, der so dünn ist, daß man von seiner Breite und Dicke absehen kann (Molekülreihe). Ist eine starre gerade Linie überall gleich schwer, so liegt der Schwerpunkt in der Mitte; denn von diesem Punkte aus nach rechts und links liegen in je gleichen Entfernungen gleich schwere Massenteilchen. Ein steifen, dünner, gerader Draht bietet annähernd ein Beispiel dafür.

Schwerpunkt des Rechtecks.

Eine physikalische Fläche ist ein der Länge und Breite nach ausgedehnter Körper, der so dünn ist, daß man von seiner Dicke absehen kann (Molekülschichte).

Denkt man sich das Rechteck parallel einer Seite in ungemein viele, sehr schmale und gleich schmale Streifen zerschnitten, so daß jeder Streifen etwa bloß eine Molekülreihe enthält, so liegt der Schwerpunkt jedes solchen Streifens in seiner Mitte; diese Schwerpunkte erfüllen als geometrischen Ort eine Linie, welche, wie aus geometrischen Gründen leicht ersichtlich ist, die gerade Verbindungslinie der Mitten der zwei Gegenseiten ist; auch liegen die Schwerpunkte auf dieser Linie gleich weit von einander entfernt, weil die Streifen gleich breit sind. Denkt man sich nun das Gewicht jedes Streifens in seinem Schwerpunkte angebracht, so sind diese Gewichte gleich groß, weil die Streifen gleich lang und breit sind und aus gleicher Masse bestehen. Wir haben also auf der Schwerlinie in Punkten von gleichen Entfernungen gleich große Kräfte; die Resultierende geht durch die Mitte der Schwerlinie, und dort liegt der Schwerpunkt des Rechtecks. Aus geometrischen Gründen ist ersichtlich, daß dieser Schwerpunkt im Schnittpunkte der Diagonalen liegt und so am leichtesten gefunden werden kann. Ähnliche Ableitung und gleiches Resultat gilt über den Schwerpunkt des Parallelogramms, Rhombus und Quadrates.

Schwerpunkt des Dreiecks.

Man zerlegt das Dreieck, ähnlich wie das Rechteck, in Streifen, die einer Seite parallel sind; ihre Schwerpunkte liegen in ihren Mitten und erfüllen, wie aus geometrischen Gründen ersichtlich ist, eine gerade Linie, welche die Mitte der Dreiecksseite mit der Spitze verbindet, also die Seitenhalbierungslinie. Denkt man sich nun wieder das Gewicht jedes einzelnen Streifens in seinem Schwerpunkte vereinigt, so hat man auf der Schwerlinie auch wieder Punkte von gleicher Entfernung; aber in ihnen wirken nicht gleiche Kräfte, weil die Streifen nicht gleich lang sind, sondern gegen die Spitze zu immer kürzer werden. Der Angriffspunkt der Resultierenden liegt also wohl auf, aber nicht in der Mitte dieser Linie.

Zerlegt man aber das Dreieck parallel einer anderen Seite in Streifen, so findet man die zweite Seitenhalbierungslinie als eine Schwerlinie. Der Schwerpunkt liegt im Schnittpunkt beider Schwerlinien. Der Schwerpunkt des Dreiecks liegt also im Schnittpunkte der Seitenhalbierungslinien, von welchem geometrisch bekannt ist, daß er im ersten Drittel jeder Seitenhalbierungslinie liegt.

Schwerpunkt von Vielecken.

Man teilt das Viereck ABCD durch die Diagonale AC in zwei Dreiecke, bestimmt deren Schwerpunkte s und s′, denkt sich das Gewicht jedes Dreiecks in seinem Schwerpunkte vereinigt und schließt, daß der Angriffspunkt der Resultierenden beider Gewichte, also der Schwerpunkt, auf der Geraden ss′ selbst liegen muß; ss′ ist also Schwerlinie des Vierecks. Man teilt das Viereck durch die Diagonale BD in zwei andere Dreiecke, bestimmt deren Schwerpunkte s₁ und s₁′ und schließt, daß auch die Gerade s₁s₁′ eine Schwerlinie des Vierecks ist; daraus folgt dann, daß der Schwerpunkt S im Schnittpunkte von ss′ und s₁s₁′ liegt. (Welche besondere Lage haben die Geraden ss′ und s₁s₁′?)

Der Schwerpunkt des Fünfecks wird ähnlich gefunden, indem man es durch eine Diagonale in ein Dreieck und ein Viereck zerlegt und von jedem den Schwerpunkt sucht; die Verbindungslinie der Schwerpunkte ist dann eine Schwerlinie. Zerlegt man das Fünfeck durch eine andere Diagonale und verfährt ebenso, so erhält man noch eine Schwerlinie; der Schnittpunkt beider ist der Schwerpunkt. Ähnlich kann man bei einem Sechseck, Siebeneck u. s. w. verfahren, doch wird das Verfahren bald unleidlich langwierig.

244. Schwerpunkt einfach zusammengesetzter Flächen.

Ist eine ebene Figur aus einfachen Stücken zusammengesetzt, so kann man den Schwerpunkt auf folgende Art berechnen. Man berechnet das Gewicht jedes Flächenstückes, wobei man, wenn alle Stücke aus demselben Stoffe bestehen, die Flächenzahl als Gewichtszahl benützen, also etwa setzen kann: Rechteck = 12 · 48 = 576 g.

Man denkt sich diese Gewichte in den zugehörigen Schwerpunkten angebracht und läßt sie, indem man ihre Angriffspunkte in den Richtungen der Kräfte verlegt, auf eine gerade Linie z. B. auf die untere Grenzlinie wirken. Die Resultierende ist in unserer Figur = 576 + 416 + 400 = 1392. Nimmt man etwa den linken Endpunkt als Drehpunkt an und setzt die Entfernung des Angriffspunktes der Resultierenden vom linken Endpunkt = x, so hat man die Momentengleichung: 576 · 6 + 416 · 25 + 400 · 43 = 1392 · x; x = 22,3.

Eine in dieser Entfernung gezogene Parallele kann man als Schwerlinie I ansehen.

Nun denkt man sich die Schwerkraft nach einer anderen Richtung wirkend, etwa nach links und erhält die Momentengleichung:

400 · 20 + 576 · 24 + 416 · 32 = 1392 · y; y = 25,2.

In der Entfernung y = 25,2 liegt die Schwerlinie II. Im Schnittpunkt beider Schwerlinien liegt der Schwerpunkt S der Figur.

Aufgaben:

157. Zeichne ein beliebiges Fünfeck (Sechseck) und bestimme dessen Schwerpunkt ähnlich wie in Figur 320 Seite 351.

158. Auf die Seite eines rechtwinkligen Dreiecks von den Katheten 6 und 8 cm (5 und 9 cm) sind nach außen gerichtete Rechtecke von je 5 cm Höhe aufgesetzt. Berechne den Schwerpunkt der ganzen Figur.

159. Von einem Trapez sind gegeben die beiden Parallelen a und b und ihr Abstand h. Zeige, daß der Schwerpunkt von a aus den Abstand x = h3 · a + 2 b a + b, von b aus y = h3 · b + 2 ab + a hat.

160. An ein Rechteck von den Seiten 7 cm und 30 cm sind an den langen Seiten als Grundlinien gleichschenklige Dreiecke von 42 cm und 12 cm Höhe angesetzt. Berechne die Lage des Schwerpunktes.

161. Suche den Schwerpunkt einer beliebigen krummlinig begrenzten Figur durch Zerlegung derselben in sehr schmale Parallelstreifen.

245. Schwerpunkt der Körper.

Schwerpunkt des Prismas.

Man denke sich das Prisma parallel zur Grundfläche in sehr viele, sehr dünne Schichten von gleicher Dicke zerschnitten, so daß jede Schichte etwa bloß eine Molekülschichte enthält, also jede Schichte anzusehen ist als eine Fläche; die Schwerpunkte derselben erfüllen als geometrischen Ort eine gerade Linie, welche die Schwerpunkte der Grund- und Deckfläche verbindet, Schwerachse. Denkt man sich das Gewicht jeder Schichte in ihrem Schwerpunkte vereinigt, so hat man auf dieser Linie Punkte, die gleich weit voneinander entfernt sind, und an denen gleiche Kräfte wirken; die Resultierende dieser Kräfte geht demnach durch die Mitte dieser Linie. Der Schwerpunkt des Prismas liegt in der Mitte der Verbindungslinie der Schwerpunkte der beiden Gegenflächen des Prismas, also in der Mitte der Schwerachse.

Schwerpunkt der Pyramide.