Mathematische Geographie für Lehrerbildungsanstalten

§ 1.
Der Horizont.

1. Wesen. Befinden wir uns im Freien auf einer Stelle, die ringsum weite, ungehinderte Aussicht bietet, also frei von Bergen u. dgl. ist, so überblicken wir einen Teil der Erdoberfläche. Dieser erscheint als eine Ebene mit kreisähnlicher Grenzlinie. Am vollkommensten ist der Kreis natürlich auf einem großen See oder auf dem Meere bei Windstille. Die Grenzlinie der überschauten Erdoberfläche nennen wir Horizont. Dieses griechische Wort heißt genau die »Begrenzende« (Linie nämlich); es wird aber gewöhnlich übersetzt durch das Wort Gesichtskreis. Die überschaute Fläche selbst heißt Horizontfläche oder Horizontebene. Eine gerade Linie, die in der Horizontebene liegt, wird eine horizontale Linie genannt.

2. Verschiedenheit nach der Lage des Standpunktes auf der Erdoberfläche. Wir selbst stehen im Mittelpunkte des Horizontes, und dieser Mittelpunkt heißt unser Standpunkt oder Standort.

So weit wir von unserem Standpunkte aus wandern, stets bleiben wir im Mittelpunkte des Horizontes. Natürlich ist demnach an jedem Orte der Erdoberfläche oder, was dasselbe ist, für jeden anderen Standpunkt auch der Horizont ein anderer. Für den Standpunkt a (Fig. 1) ist es Kreislinie I, für den Standpunkt b Kreislinie II.

3. Verschiedenheit nach der Höhe des Standpunktes. Stelle ich mich in senkrechter Richtung über dem Standpunkte a (Fig. 2) einige Meter höher auf, etwa auf einem Gerüste, so sehe ich viel weiter in die Ferne, mein Horizont wird also größer. Erhöhe ich das Gerüst noch mehr, so wird auch der Gesichtskreis noch größer. Natürlich haben diese Kreise alle drei denselben Mittelpunkt (vgl. Fig. 2). Also je höher der Standpunkt, desto größer der Horizont.

§ 2.
Das Himmelsgewölbe.

1. Scheitelpunkt, Scheitellinie, Scheitelkreis. Richten wir nun von unserem Standpunkte aus unsere Blicke nach oben, so sehen wir den Himmel über uns wie ein Halbkugelgewölbe, das sich über der Horizontalebene erhebt und auf dem Horizonte ruht. Wir selbst stehen im Mittelpunkte des Gewölbes und zwar senkrecht auf der Horizontalebene, wie sich durch ein herniedergelassenes Lot leicht zeigen läßt. Bezeichnen wir diese Richtung von unserem Standpunkte aus durch eine gerade Linie, so trifft diese das Himmelsgewölbe in einem Punkte über unserem Scheitel; er heißt Scheitelpunkt oder Zenit, und die gerade Linie, die Standpunkt und Zenit verbindet, heißt Scheitellinie. Ein Kreis um unseren Standpunkt als Mittelpunkt, dessen Ebene durch die Scheitellinie und dessen Peripherie durch den Zenit geht heißt Scheitelkreis oder Vertikalkreis, (vertex lat. = Scheitel).

In Fig. 3 ist M unser Standpunkt, der Kreis HARBH der Horizont, Z der Zenit, ZM die Scheitellinie; die Kreise HZRNH und AZBNA sind Scheitelkreise, der Halbkreis HZR bedeutet zugleich das Himmelsgewölbe.

Ein Blick auf die Figur lehrt ferner: 1. Alle Vertikalkreise stehen senkrecht auf der Horizontebene 2. Die Ebene eines Scheitelkreises schneidet die Horizontalebene in einer geraden Linie, welche den Horizont halbiert, so daß die Endpunkte dieser Linie 180° voneinander entfernt sind. Die Ebenen der Scheitelkreise HZRNH und AZBNA z. B. schneiden die Horizontebene in den geraden Linien HR und AB. 3. Umgekehrt halbiert auch der Horizont jeden Scheitelkreis, so daß von dem Scheitelkreise 180° über und 180° unter dem Horizonte liegen. 4. Die Scheitelkreishälfte über dem Horizonte wird wieder durch den Zenit halbiert, folglich sind alle Punkte des Horizonts 90° vom Zenit entfernt.

2. Bestimmung der Himmelsgegenden. a) Durch den Polarstern. Um in der Horizontebene die Lage bestimmter Gegenstände (Häuser, Bäume) und Punkte zueinander zu bestimmen, hat man zuerst gewisse Richtungen festgelegt, die unser geradeaus sehendes Auge verfolgt. Für den Abend und die Nacht kann man dazu, wenn es sternhell ist, einen Stern am Himmelsgewölbe benutzen, den Polarstern. Während nämlich alle Sterne scheinbar ihre Lage am Himmel verändern, bleibt dieser immer ziemlich auf demselben Flecke stehen. Um ihn aufzufinden, mögen folgende Angaben dienen. Wir sehen an jedem sternhellen Abend ziemlich hoch am Himmel sieben helle Sterne, die eine Figur bilden, wie sie Fig. 4 darstellt. Die ganze Figur hat aber zum Horizont zu verschiedenen Zeiten eine verschiedene Stellung. Wie in Fig. 4 zeigt sie sich uns an Abenden des Spätherbstes. Diese Sterne, die wegen ihres Glanzes und ihrer eigenartigen Stellung sehr leicht aufzufinden sind, bilden mit einer Anzahl von weniger hellen Sternen ein sogenanntes Sternbild, den Großen Bären. Verbindet man die beiden mit a und b bezeichneten Sterne dieses Sternbildes durch eine gerade Linie, so trifft deren Verlängerung den Polarstern c.

Denken wir uns die gerade Linie zwischen unserem Auge und dem Polarstern auf unsere Horizontebene projiziert, so nennen wir die Richtung dieser Projektion Norden, die entgegengesetzte Richtung – hinter uns – Süden. Ziehen wir von unserem Standpunkte aus in der Horizontebene eine gerade Linie rechtwinklig zur Nordsüdlinie nach links, so heißt die durch diese Linie bezeichnete Richtung Westen, und die Verlängerung jener Linie nach rechts zeigt nach Osten.

Nord, Süd, West und Ost sind die vier Haupthimmelsgegenden.

Die Halbierungslinien der vier rechten Winkel zwischen der Nordsüdlinie und der Westostlinie zeigen nach den ersten Nebenhimmelsgegenden, die Halbierungslinien der so entstandenen acht Winkel von 45° nach den zweiten Nebenhimmelsgegenden;

• zwischen Nord und West liegt Nordwest;
• zwischen Süd und West liegt Südwest;
• zwischen Nord und Ost liegt Nordost;
• zwischen Süd und Ost liegt Südost;
• zwischen Nord und Nordwest liegt Nordnordwest;
• zwischen West und Nordwest liegt Westnordwest usw.

b) Durch die Sonne. Am Tage kann man die Himmelsgegenden mit Hilfe der Sonne feststellen. Beobachten wir sie an verschiedenen Tagen, so zeigt sich, daß sie morgens zwar nicht immer an demselben Punkte, aber doch immer in derselben Gegend, der Ostgegend des Horizontes, am Himmelsgewölbe erscheint, sich an diesem immer höher hebt, bis sie mittags um 12 Uhr den höchsten Punkt ihrer Bahn erreicht hat und dann sinkt, um abends in der Westgegend unter dem Horizonte zu verschwinden. An welcher Stelle des Himmelsgewölbes auch an verschiedenen Tagen mittags der höchste Punkt der Sonnenbahn liegen mag, immer weist die Projektion der geraden Linie zwischen unserem Auge und diesem höchsten Punkte auf die Horizontalebene genau von unserem Standpunkte nach Süden, mit anderen Worten: sie fällt in die Nordsüdlinie, die man deswegen auch Mittagslinie nennt. Da jeder Ort seinen eigenen Horizont und seinen eigenen Zenit hat, hat er auch seine eigene Mittagslinie. Offenbar würde man nach Feststellung dieser Linie alle Himmelsgegenden durch bloße Winkelkonstruktionen bestimmen können. – Aber wie kann man auf einfache Weise die Lage der Mittagslinie eines Ortes bestimmen? Je höher die Sonne steht, desto kürzer ist der Schatten aller Gegenstände, die senkrecht auf der Horizontebene stehen, und umgekehrt. Stellte man also bei Sonnenschein auf eine horizontale Fläche senkrecht einen Stab und beobachtete genau die Länge der Schatten auf der Fläche, so wäre der kürzeste aller Schatten die Mittagslinie. Diese Beobachtung bietet aber praktische Schwierigkeiten und würde sehr unsicher sein; daher ist folgendes Verfahren besser.

Auf einem horizontalen Brette wird ein mehrere Zoll langer Stab senkrecht befestigt, nachdem man vorher um seinen Standort eine größere Anzahl konzentrischer Kreise gezogen hat. Die Einrichtung heißt Gnṓmōn. Vormittags fällt der Schatten mehr nach Westen, nachmittags mehr nach Osten, mittags genau nach Norden; vormittags wird er allmählich kürzer, nachmittags allmählich länger; vormittags wird er also durch die äußeren Kreislinien mit größerem Halbmesser hindurch nach den inneren zurück und dabei gleichzeitig von Westen nach Norden herum, nachmittags von den inneren Kreisen durch die äußeren vorwärts und dabei gleichzeitig von Norden nach Osten herum gehen. Den Kreis, den der Schatten vormittags um eine bestimmte Stunde schneidet, schneidet er um ebensoviel nach 12 Uhr wieder. Bezeichnet man zwei solche Schnittpunkte desselben Kreises, verbindet sie und halbiert die Verbindungslinie, so ist die Linie, die durch den Halbierungspunkt und den Standpunkt des Stabes geht, die Mittagslinie.

Hat man die Lage der Mittagslinie gefunden, so kann man leicht die Himmelsgegenden genau bestimmen. Das Nordende der Mittagslinie heißt Nordpunkt, das Südende derselben Südpunkt; beide Punkte sind 180° voneinander entfernt und halbieren den Horizont. Durch Halbierung der zwei Horizonthälften erhält man Ostpunkt und Westpunkt; die gerade Linie zwischen diesen beiden Punkten heißt die Ostwestlinie. Durch Mittagslinie und Ostwestlinie wird der Horizont in vier gleiche Teile geteilt, welche Quadranten heißen. Die vier Punkte heißen Kardinalpunkte. Sie sind je 90° voneinander entfernt. Halbieren wir jeden zwischen zwei Himmelsgegenden liegenden Bogen des betreffenden Kreisausschnittes auf unserer Horizontebene, so entstehen Nordost, Nordwest, Südost und Südwest. Ähnlich entstehen dann die zweiten Nebengegenden usw. Bei der Namengebung stehen die Hauptgegenden immer voran. Man erkennt die Namen aus Fig. 5. Diese heißt die Windrose.

c) Durch die Magnetnadel. Ein weiteres, sehr bequemes Mittel, zu jeder Zeit die Mittagslinie festzustellen, bietet die Magnetnadel, deren Spitze bei uns bekanntlich nach der Nordgegend weist und zwar 10° westlich von der Mittagslinie.

3. Höhe und Azimut. Um zu zeigen, wie man den augenblicklichen Ort eines Sternes am Himmelsgewölbe bestimmt, benutzen wir Fig. 6. Der Kreis NASN ist der Horizont, N der Nord-, S der Südpunkt, NS die Nordsüdlinie, Z der Zenit, ZM die Scheitellinie, O der Ort des Sternes. Wir denken uns durch O den Scheitelkreis OAPZ gelegt. Diejenige Hälfte dieses Kreises, die durch den Punkt O geht (ZOAP), schneidet den Horizont in A. Nun mißt man zunächst den Bogen SA des Horizontes vom Südpunkte S in westlicher (durch den Pfeil bezeichneter) Richtung bis A, dem der Winkel SMA entspricht. Diesen Bogen nennt man den Azimut des Ortes (Sternes) O; man mißt ihn über den ganzen Horizont von 0° bis 360°. Dann mißt man den Bogen AO des Scheitelkreises, dem der Winkel AMO entspricht. Da dieser Bogen angibt, wie hoch der Ort sich über den Horizont erhebt, so nennt man ihn die Höhe des Ortes. Offenbar haben alle Orte auf einem Kreise am Himmelsgewölbe, dessen Ebene parallel zur Horizontebene liegt, gleiche Höhe. Solche Kreise, auf denen natürlich die Scheitellinie senkrecht steht, heißen Höhenkreise. Die Höhe wird vom Horizonte an gemessen, geht also von 0° bis 90°, der Höhe des Zenits. An die Stelle der Höhe kann auch ihr Komplement treten, der Bogen OZ. Man nennt ihn die Zenitdistanz. Offenbar kann man den Ort eines Sternes am Himmelsgewölbe genau bestimmen, wenn man seinen Azimut und seine Höhe kennt.

§ 3.
Die Himmelskugel.

1. Fußpunkt, Achse des Horizontes. Wie wir wissen, scheint der Himmel an den verschiedensten Standpunkten als Halbkugel auf unserem Horizont zu ruhen. Daraus, daß diese Beobachtung für alle Punkte der Erde gilt, ergibt sich: Der Himmel erscheint als eine Kugel, die die Erde umgibt und zur Hälfte als Himmelsgewölbe über, zur Hälfte unter dem Horizonte liegt. Unser Standpunkt ist der Mittelpunkt der Kugel, und die Verlängerung der Scheitellinie durch diesen Mittelpunkt trifft die unsichtbare Hälfte der Himmelskugel unter dem Horizonte in einem Punkte senkrecht unter uns; dieser Punkt heißt Fußpunkt oder Nadir. Die gerade Linie zwischen Zenit und Nadir, die auf dem Horizonte senkrecht steht, heißt die Achse des Horizontes. In Fig. 6 bedeutet der Kreis NZSPN die Himmelskugel, P den Nadir, ZP die Achse des Horizontes.

2. Natürlicher, scheinbarer und wahrer Horizont. Eigentlich ist unser Standpunkt nicht im mathematisch genauen Sinne der Mittelpunkt der Himmelskugel. Aus dem geographischen Unterrichte in der Volksschule ist ja schon bekannt, daß die Erde nicht, wie man aus dem Augenschein nach § 1 schließen möchte, eine Scheibe ist, sondern die Gestalt einer Kugel hat. Das mag hier einmal, trotzdem erst im dritten Kapitel die Beweise dafür zusammengestellt sind, vorausgesetzt werden. Der Himmel erscheint nun als eine viel größere konzentrische Hohlkugel. Der Halbmesser der Erde ist sehr groß, aber dennoch verschwindend klein gegen den Halbmesser der Himmelskugel.

In Fig. 7 ist der kleine Kreis die Erde, der große die Himmelskugel, d mein Standpunkt, b die Augenhöhe. Der Deutlichkeit wegen ist die Linie db im Verhältnis zur Erdkugel und diese im Verhältnis zur Himmelskugel unendlich vielmal zu groß gezeichnet. Ich überblicke von der Erdkugel die Kugelkappe ndh; diese ist begrenzt durch Berührungsebenen, die ich von b aus an die Kugel legen kann. Die Grenzlinie dieser Kugelkappe ist der Kreis nh. Er ist der Horizont, von dem bisher die Rede war, und heißt der natürliche Horizont. Da db im Vergleich zur Erdkugel verschwindend klein ist, so ist es auch das überblickte Stück ndh; es erscheint deshalb eben und weicht in Wirklichkeit unendlich wenig von der Ebene nch ab. Also fällt auch Punkt c mit d und die Ebene nch mit der Berührungs- oder Tangentialebene in d fast zusammen. Diese Tangentialebene schneidet das Himmelsgewölbe in einem Kreise sh; ihn nennt man den scheinbaren oder astronomischen Horizont. Das Stück sZh ist der für uns sichtbare Teil der Himmelskugel. Legt man zu der Tangentialebene durch den Mittelpunkt der Erde eine parallele Ebene, so schneidet diese die Himmelskugel in dem Kreise wh; ihn nennt man den wahren Horizont. Da nun der Halbmesser der Erde im Vergleich zu dem der Himmelskugel verschwindend klein ist, so ist auch die Höhe der Zone, die von den Kreisen sh und wh am Himmel begrenzt wird, verschwindend klein im Vergleich zur Höhe des Himmelsgewölbes. Man kann also annehmen, daß der wahre und scheinbare Horizont zusammenfallen, und setzt in der astronomischen Geographie für das von uns in Wirklichkeit überblickte Stück der Himmelskugel ohne weiteres die Halbkugel wZh.