Paul Appell: Biographie, Bibliographie Analytique des Écrits

GRADES. FONCTIONS. TITRES HONORIFIQUES. PRIX. DÉCORATIONS.

Paul-Émile APPELL,

Né à Strasbourg (Bas-Rhin, France) le 27 septembre 1855.

Élève au Collège Saint-Arbogast, à Strasbourg, de 1864-1868.

Élève au petit Séminaire de Strasbourg, pendant l'année scolaire 1868-1869.

Élève au Lycée de Strasbourg, pendant l'année scolaire 1869-1870.

Élève en Mathématiques spéciales au Lycée de Nancy, pendant l'année scolaire 1872-1873.

Bachelier ès Lettres, reçu à Nancy, le 9 novembre 1871.

Bachelier ès Sciences, reçu à Nancy, le 14 novembre 1871.

Admis le second à l'École Normale supérieure, Section des Sciences, le 11 août 1873 et le troisième à l'École Polytechnique, le 14 octobre 1873.

Élève à l'École Normale supérieure, Section des Sciences, pendant la période triennale d'octobre 1873 à août 1876.

Licencié ès Sciences mathématiques, reçu le 8 juillet 1875.

Licencié ès Sciences physiques, reçu le 25 juillet 1875.

Docteur ès Sciences mathématiques de la Faculté des Sciences de Paris, reçu le 20 juin 1876.

Agrégé des Sciences mathématiques, reçu le premier le 8 septembre 1876.

Chargé des fonctions de répétiteur d'Analyse et de Mécanique à l'École pratique des Hautes-Études, Section des Sciences mathématiques, le 14 septembre 1876.

Maître de Conférences de Mathématiques à la Faculté des Sciences de Paris, du 1^er mars 1878 à la fin de l'année scolaire 1878-1879.

Chargé du Cours de Mécanique rationnelle et appliquée à la Faculté des Sciences de Dijon, du 11 novembre 1879 au 25 octobre 1881.

Suppléant de M. Briot à l'École Normale supérieure pour les Conférences de Mécanique et d'Astronomie pendant l'année scolaire 1881-1882.

Chargé, à la Faculté des Sciences de Paris, de Conférences préparatoires à l'Agrégation des Sciences mathématiques, du 16 décembre 1881 au 15 mars 1883.

Maître de Conférences de Mécanique et d'Astronomie à l'École Normale supérieure, nommé le 17 octobre 1882.

Suppléant de M. V. Puiseux à la Faculté des Sciences de Paris pour le Cours d'Astronomie mathématique et de Mécanique céleste, pendant le second semestre de l'année scolaire 1882-1883.

Autorisé à se faire suppléer par M. E. Picard à l'École Normale supérieure, pour les Conférences de Mécanique et d'Astronomie, du 25 février 1883 au 30 novembre 1885.

Chargé du Cours de Mécanique rationnelle à la Faculté des Sciences de Paris, le 10 novembre 1883.

Professeur de Mécanique rationnelle à la Faculté des Sciences de Paris, depuis le 23 novembre 1885.

M. P. Appell, professeur de Mécanique rationnelle à la Sorbonne, et M. P. Painlevé, professeur de Mathématiques générales à la Sorbonne, ont été autorisés à échanger leur enseignement du 19 octobre 1903 au 1^er novembre 1910.

Membre de la Commission de patronage de l'École pratique des Hautes-Études, Section des Sciences mathématiques, depuis le 16 janvier 1901.

Doyen de la Faculté des Sciences de l'Université de Paris, depuis le 1^er avril 1903.

Membre du Conseil académique de Paris et du Conseil de l'Université de Paris, au titre de Doyen de la Faculté des Sciences, depuis le 1^er avril 1903.

Membre du Conseil supérieur de l'Instruction publique, délégué par les Facultés des Sciences, depuis le 31 mai 1904. Membre de la Section permanente de ce Conseil depuis le 21 juin 1904.

Chargé de Conférences de Mathématiques à l'École Normale supérieure d'Enseignement secondaire pour les Jeunes Filles, à Sèvres, depuis le 13 novembre 1884.

Répétiteur de Mécanique à l'École Polytechnique, nommé auxiliaire le 1^er décembre 1890, nommé adjoint le 30 mai 1895. Démissionnaire le 31 janvier 1909.

Examinateur d'Admission à l'École Centrale des Arts et Manufactures, session de 1894.

Professeur d'Analyse mathématique à l'École Centrale des Arts et Manufactures, depuis le 1^er novembre 1895.

Président du Jury d'Agrégation des Sciences mathématiques de 1894 à 1903.

Président du Jury d'Agrégation de Mathématiques de l'Enseignement secondaire des Jeunes Filles, depuis 1904.

Membre de l'Académie des Sciences (Institut national de France), à Paris, élu, dans la Section de Géométrie, le 7 novembre 1892.

Membre étranger de l'Académie royale des Lincei, à Rome, élu le 17 juillet 1904.

Membre de la Société Philomathique de Paris, élu le 9 mars 1878. Membre correspondant du 11 novembre 1879 au 31 décembre 1898.

Membre associé de l'Académie de Stanislas, à Nancy, élu le 22 janvier 1904.

Docteur honoris causâ en Mathématiques de l'Université royale Frédéricienne de Christiania, élu le 6 septembre 1902.

Au Ministère de l'Instruction publique:

A l'Université de Paris:

Membre de la Commission des Inventions intéressant les Armées de terre et de mer, au Ministère de la Guerre, nommé le 14 juin 1894.

Membre de la Commission d'Aéronautique, à l'Académie des Sciences, élu le 27 octobre 1902.

Membre du Conseil de perfectionnement de l'École Polytechnique, délégué du Ministère de l'Instruction publique, le 1^er novembre 1907.

Membre du Comité de rédaction des Annales scientifiques de l'École Normale supérieure, depuis janvier 1882.

Directeur de la Section de Mécanique dans l'Édition Française de l'Encyclopédie des Sciences mathématiques pures et appliquées, depuis 1904.

Président de la Société mathématique de France, en 1885.

Membre du Conseil d'Administration de l'Association amicale de Secours des anciens Élèves de l'École Normale supérieure, élu le 11 janvier 1891. Vice-Président de ce Conseil de 1900 à 1906. Président de ce Conseil de 1906 à 1908. Administrateur Honoraire depuis 1908.

Vice-Président du Congrès des Mathématiciens, tenu à Paris du 6 au 12 août 1900.

Vice-Président de la Société astronomique de France, à Paris, du 5 avril 1905 au 1^er avril 1908.

Président de l'Association Française pour l'Avancement des Sciences et du Conseil d'Administration, du 6 août 1907 au 8 août 1908. Élu Vice-Président le 7 août 1906. Élu Membre de la Commission permanente de Publication le 8 août 1908.

Président du Comité de direction du Groupement des Universités et Grandes Écoles de France pour les Rapports avec l'Amérique latine, depuis janvier 1907.

Président d'honneur de la Section Française de la Commission internationale de l'Enseignement mathématique, élu le 1^er mars 1909.

Vice-Président du Comité de direction de l'Office national des Universités et Écoles Françaises, élu le 15 juillet 1910.

Membre honoraire de la Société mathématique de Kharkow, élu le 12 octobre 1903 (v. s.).

Membre honoraire de la Société de Littérature et de Philosophie de Manchester, élu le 17 avril 1894.

Membre honoraire de la Société mathématique de Calcutta, élu le 28 janvier 1910.

Médaille d'Or dans le Concours international institué par S. M. le Roi de Suède et de Norvège Oscar II, à l'occasion du 60^e anniversaire de sa naissance, décernée le 21 janvier 1889.

Décerné par l'Académie des Sciences de l'Institut national de France:

Officier d'Académie, nommé le 23 avril 1881.

Officier de l'Instruction publique, nommé le 30 décembre 1886.

Chevalier de la Légion d'honneur, nommé le 4 mars 1889.

Officier de la Légion d'honneur, promu le 31 décembre 1895.

Commandeur de la Légion d'honneur, promu le 30 novembre 1904.

Chevalier de l'Étoile Polaire de Suède, nommé le 12 avril 1884.

SECTION II.

ANALYSE MATHÉMATIQUE.

Rapport de M. CHARLES HERMITE sur le Mémoire présenté par M. PAUL APPELL au Concours ouvert par S. M. le Roi de Suède et de Norvège OSCAR II, et récompensé d'une Médaille d'Or le 21 janvier 1889.

Les expressions des fonctions elliptiques par des séries simples de sinus et de cosinus, telles que les donne la formule de Fourier, ont, à bien des points de vue, une grande importance en Analyse. Elles ont été employées avec succès et jouent un rôle important dans beaucoup d'applications du calcul à la Physique et à l'Astronomie. Elles ont conduit Jacobi aux formules si remarquables du § 40 des Fundamenta, où le grand géomètre, allant au delà des propositions connues de l'Arithmétique, obtient le nombre de décompositions d'un entier quelconque en 2, 4, 6 et 8 carrés, exprimé au moyen des diviseurs de ce nombre. D'autres résultats, d'une nature plus cachée, sur le nombre des classes de formes quadratiques de déterminants négatifs, devaient encore découler de la même source analytique et mettre dans tout son jour l'étroite correspondance des identités de la théorie des fonctions elliptiques avec la théorie des nombres. Nous les rappelons succinctement pour faire comprendre quelles espérances on avait dû concevoir de la découverte mémorable de Göpel et Rosenhain, lorsqu'on eut, sous une forme entièrement semblable à celle des fonctions elliptiques, les fonctions quadruplement périodiques de deux variables, inverses des intégrales hyperelliptiques de première classe. Assurément il était possible de joindre aux expressions de ces nouvelles transcendantes, par des quotients de fonctions Θ, des développements en séries simples de sinus et de cosinus; mais la détermination effective des coefficients présente les plus grandes difficultés et n'a pu jusqu'à présent être abordée. Elle est le principal objet du Mémoire dont nous allons analyser les méthodes et les résultats.

I. La solution donnée par Jacobi du problème de la rotation d'un corps solide autour d'un point fixe, lorsqu'il n'y a pas de forces accélératrices, a été l'origine d'une notion analytique importante. Les expressions de l'illustre auteur présentent, en effet, dans le cas le plus simple, l'exemple de fonctions qui se reproduisent multipliées par des constantes lorsqu'on augmente la variable de l'une ou l'autre des périodes. On a reconnu qu'elles constituent un nouveau genre de fonctions, plus générales que les fonctions doublement périodiques, dont le rôle comme élément analytique propre se montre dans beaucoup de questions importantes. Elles s'offrent, en particulier, dans la rotation d'un corps grave de révolution suspendu par un point de son axe, dans la recherche de la figure de l'élastique gauche, dans le mouvement d'un corps solide dans un liquide indéfini, lorsqu'il n'y a pas de forces accélératrices, etc. Enfin elles donnent une méthode régulière, d'une application facile, pour effectuer l'intégration des équations différentielles linéaires d'ordre quelconque, à coefficients doublement périodiques, dans tous les cas où la solution est une fonction uniforme. Sous un autre point de vue, ces transcendantes peuvent encore être considérées comme provenant de l'intégrale elliptique la plus générale qui aura été mise en exponentielle, en y remplaçant la variable par un sinus d'amplitude. On peut aussi ne pas faire ce changement et conserver l'intégrale qui, suivant le contour décrit par la variable, est susceptible d'une infinité de déterminations. Ces valeurs multiples s'obtenant par l'addition de constantes, les expressions dont nous parlons auront la propriété de se reproduire, multipliées par des facteurs constants, lorsqu'on fait décrire certains chemins à la variable. Qu'au lieu de considérer la variable sur un plan unique on recoure à la conception de Riemann, de manière à remplacer, par une fonction à sens unique, affectée de coupures, une expression à déterminations multiples, on parvient à une quantité dont les valeurs, lorsqu'on passe d'un bord à l'autre de la coupure, se reproduisent multipliées par une constante. Nous nous trouvons ainsi amenés à l'idée fondamentale de l'auteur, à la notion analytique des nouvelles transcendantes, auxquelles il donne la dénomination de fonctions à multiplicateurs et dont il établit les propriétés; voici succinctement les résultats auxquels il est parvenu.

II. Son point de départ est dans la considération d'une équation algébrique de genre p, et de la surface correspondante de Riemann, rendue simplement connexe au moyen de coupures; ce sont les éléments qui lui permettent de définir d'une manière complète et précise les fonctions à multiplicateurs, d'après les conditions suivantes. Elles seront uniformes sur la surface, elles ne présenteront aucune autre singularité que des pôles, et elles prendront aux deux bords infiniment voisins d'une coupure des valeurs qui ne diffèrent que par des multiplicateurs constants. Ceci posé, voici un premier résultat d'une grande importance: toutes les fonctions qui satisfont aux conditions posées, leurs multiplicateurs étant des constantes données d'avance, peuvent s'exprimer au moyen des intégrales normales de troisième espèce qui sont attachées à l'équation algébrique. Viennent ensuite plusieurs théorèmes; le suivant qui est une généralisation de la proposition célèbre d'Abel, sur les intégrales de différentielles algébriques, mérite une attention particulière. Il consiste en ce que la somme des valeurs que prend une intégrale abélienne de première espèce, aux zéros d'une fonction à multiplicateurs, est égale à la somme des valeurs qui correspondent aux infinis de la même fonction, augmentée d'une constante dépendant uniquement des multiplicateurs. Après avoir déduit de là d'importantes conséquences sur le nombre des constantes arbitraires d'une fonction qui a des multiplicateurs et des pôles donnés, l'auteur démontre qu'il existe en général p-1 relations entre les pôles et les résidus d'une fonction à multiplicateurs, et p dans un cas spécial, comprenant en particulier celui des fonctions algébriques. Ce cas spécial intéressant tient à l'existence d'une fonction sans zéros, ni infinis, et qui admet les multiplicateurs donnés.

III. Les intégrales de fonctions à multiplicateurs font ensuite le sujet d'une étude approfondie. L'auteur obtient, à leur égard, un ensemble de propositions qui correspondent exactement aux théorèmes célèbres de Riemann sur les intégrales abéliennes. Nous indiquerons, comme exemples, leur classification en intégrales de première espèce qui sont toujours finies, en intégrales de deuxième espèce n'ayant que des pôles, et en intégrales de troisième espèce où s'offrent des infinis logarithmiques. Nous citerons encore cette importante proposition, qu'en général il existe p-1 intégrales de première espèce, linéairement indépendantes, et p dans le cas particulier dont il a été question précédemment. Les modules de périodicité de ces intégrales, le long des coupures, sont liés aux multiplicateurs par des relations qui deviennent identiques lorsque les multiplicateurs se réduisent à l'unité et que les intégrales deviennent abéliennes. Entre les modules de périodicité de deux intégrales de première espèce, à multiplicateurs inverses, existe une équation qui coïncide, dans le cas particulier des multiplicateurs égaux à l'unité, avec la relation d'une importance capitale découverte par Riemann, entre les modules de périodicité de deux intégrales abéliennes de première espèce. Enfin l'auteur forme les intégrales normales de fonctions à multiplicateurs de deuxième et de troisième espèce; il établit des relations entre les modules de périodicité de ces intégrales et leurs multiplicateurs, puis d'autres entre ces modules et ceux d'une intégrale de première espèce aux multiplicateurs inverses. L'ensemble de ces résultats rend manifeste l'analogie de la nouvelle théorie avec celle des intégrales abéliennes; la différence de nature analytique entre les deux genres de quantités apparaît toutefois dans cette circonstance, qu'il existe une intégrale de troisième espèce, avec un seul infini logarithmique, tandis qu'une intégrale abélienne de troisième espèce possède au moins deux infinis de cette nature. En dernier lieu, nous signalerons, dans la théorie des intégrales de deuxième espèce, ce théorème d'un grand intérêt, que toute fonction à multiplicateurs s'exprime par une somme d'intégrales de seconde espèce, ayant les mêmes multiplicateurs et devenant chacune infinie en un seul point. C'est, comme on le voit, la généralisation de la belle formule de Riemann-Roch, qui représente une fonction algébrique quelconque par une somme d'intégrales abéliennes de deuxième espèce.

IV. Nous venons d'indiquer rapidement les points les plus essentiels de la théorie des fonctions à multiplicateurs. Nous avons montré qu'elle a pour première origine les fonctions algébriques, leurs propriétés et celles de leurs intégrales, telles que Riemann les a fait connaître; nous avons montré qu'elles constituent par l'ensemble de leurs caractères de nouveaux éléments analytiques où l'on retrouve, dans un sens beaucoup plus général, toutes les propriétés des fonctions doublement périodiques de deuxième espèce. Il nous faut maintenant revenir à la question principale que l'auteur a eue en vue en entreprenant ces belles et profondes recherches où il a montré le plus remarquable talent d'invention. Son but était d'obtenir les intégrales définies réelles qui représentent les coefficients des développements, par la formule de Fourier, des fonctions elliptiques et des fonctions abéliennes de deux variables à quatre paires de périodes simultanées. Un changement de variables le conduit d'abord à des fonctions à multiplicateurs, et, pour le cas des sinus d'amplitude qu'il traite en premier lieu, ses principes généraux lui permettent d'obtenir les coefficients du développement avec autant de simplicité que d'élégance. En appliquant ensuite la même méthode aux transcendantes de Göpel et de Rosenhain, il trouve les coefficients sous la forme d'une fonction rationnelle des constantes p, q, r qui figurent dans les fonctions Θ à deux variables, multipliée par une intégrale définie où entrent deux entiers indéterminés. C'est, pour la théorie des fonctions abéliennes, un résultat du plus haut intérêt: il donne la solution d'une question restée jusqu'ici inabordable, sous une forme qui permettra d'en poursuivre les conséquences; il ouvre la voie pour l'étude approfondie des développements par la formule de Fourier, des fonctions abéliennes, et obtenir pour ces fonctions des développements procédant suivant les puissances des trois quantités p, q, r. On peut donc attendre de voir ainsi se combler une grande lacune dans la théorie de ces transcendantes; on peut donc espérer de voir se rétablir, autant que le comporte la nature des choses, l'analogie avec les fonctions elliptiques, dans ce point d'une importance capitale où elles se lient aux propriétés des nombres. Pressé par la date fixée pour le terme du concours, l'auteur a dû ajourner ces recherches qui auraient pu devenir le couronnement de son beau et savant Mémoire. Mais il a grandement accompli sa tâche en posant les fondements d'une théorie qui ajoute au domaine de l'Analyse un nouveau genre de fonctions, dont il a encore indiqué une autre application importante à l'intégration des équations linéaires d'ordre quelconque à coefficients algébriques.

Nous pensons, en résumé, que le travail dont nous venons de faire l'exposé est l'œuvre d'un géomètre de premier ordre, et qu'il sera placé au nombre des plus importantes productions mathématiques qui aient appelé dans ces dernières années l'attention des analystes.

OUVRAGES.

1. Notice sur les Travaux scientifiques de M. PAUL APPELL,

2. Théorie des Fonctions algébriques et de leurs Intégrales, par PAUL APPELL et ÉDOUARD GOURSAT.

Étude des Fonctions analytiques sur une surface de Riemann.

3. Principes de la Théorie des Fonctions elliptiques et Applications, par P. APPELL et É. LACOUR.

4. Éléments d'Analyse mathématique,

MÉMOIRES. NOTES.

Analyse pure:

1º Fonctions d'un point analytique.

4. Théorèmes sur les fonctions d'un point analytique.

5. Sur une classe de fonctions dont les logarithmes sont des sommes d'intégrales abéliennes de première et de troisième espèce.

6. Relations entre les résidus d'une fonction d'un point analytique (x, y) qui se reproduit, multipliée par une constante, quand le point (x, y) décrit un cycle.

7. Généralisation des fonctions doublement périodiques de seconde espèce.

2º Séries. Intégrales définies. Généralités sur les fonctions d' une variable.

11. Sur les séries divergentes à termes positifs.

12. Développement en série entière de (1 + ax)^1∕x.

13. Développement en séries trigonométriques des polynomes de M. Léauté.

14. Sur une classe de polynomes.

15. 16. Développements en série d'une fonction holomorphe dans une aire limitée par des arcs de cercle.

17. Développements en série dans une aire limitée par des arcs de cercle.

18. Sur certains développements en série de puissances.

19. Définition d'une opération sur les fonctions.

3º Fonctions périodiques et doublement périodiques d'une variable. Périodicité générale.

25 à 27. Sur les fonctions doublement périodiques de troisième espèce.

28. Développements en séries des fonctions doublement périodiques de troisième espèce.

29. Application du théorème de M. Mittag-Leffler aux fonctions doublement périodiques de troisième espèce.

30. Quelques exemples de séries doublement périodiques.

31. Formation d'une fonction F(x) possédant la propriété F[φ(x)] = F(x).

32. Sur les fonctions telles que

33. Sur quelques applications de la fonction Γ(x) et d'une autre fonction transcendante.

34. Sur une classe de fonctions analogues aux fonctions eulériennes étudiées par M. Heine.

35. Sur une classe de fonctions qui se rattachent aux fonctions de M. Heine.

36. Sur une classe de fonctions analogues aux fonctions eulériennes.

37. Sur les fonctions uniformes doublement périodiques à points singuliers essentiels.