Henri Poincaré est incontestablement le premier et le plus puissant chercheur du temps présent dans le domaine des Mathématiques et de la Physique mathématique. Son individualité fortement accusée nous permet de reconnaître en lui un savant doué d'intuition, qui sait puiser à la source intarissable des intuitions géométriques et mécaniques les éléments et le point de départ de ses profondes et pénétrantes recherches, en apportant d'ailleurs la rigueur logique la plus admirable dans la mise en œuvre de chacune de ses conceptions. A côté des dons éclatants de l'invention, il faut reconnaître en lui une aptitude à la généralisation la plus fine et la plus féconde des relations mathématiques, qui lui a souvent permis de reculer, bien au delà du point où elles étaient arrêtées avant lui, les limites de nos connaissances dans les différentes branches des Mathématiques pures et appliquées.
C'est ce que montrent déjà ses premiers travaux sur les fonctions automorphes, par lesquels il a ouvert la série de ces brillantes publications qui doivent être rangées au nombre des plus belles découvertes de tous les temps.
En cherchant à obtenir, pour les solutions des équations différentielles, des développements uniformes et toujours convergents, il s'adressa en premier lieu à la classe la plus simple de toutes celles qui avaient été étudiées jusque-là, aux équations linéaires à coefficients rationnels ou algébriques. Il fut ainsi conduit à de nouvelles transcendantes qui peuvent être regardées comme une généralisation très étendue des fonctions elliptiques et de la fonction modulaire, et qui jouent dans la solution des équations différentielles linéaires le même rôle que les fonctions elliptiques ou abéliennes pour les intégrales des différentielles algébriques. Ces nouvelles fonctions transcendantes sont caractérisées par cette propriété qu'elles demeurent invariantes quand on soumet la variable dont elles dépendent à toutes les substitutions linéaires faisant partie d'un même groupe discontinu. Si, dans ces substitutions (z, (az + b)/(cz + d)) de déterminant ad - bc = 1, tous les coefficients sont des nombres réels, elles laissent fixe l'axe de la variable réelle. En composant les substitutions de ce genre avec une autre dont le déterminant est toujours égal à 1, mais dont les coefficients sont des nombres complexes quelconques, on obtient des substitutions résultantes qui laissent invariant un cercle désigné par M. Poincaré sous le nom de cercle fondamental. Les groupes ainsi caractérisés sont ceux que M. Poincaré nomme groupes fuchsiens, tandis qu'il réserve le nom de groupes kleinéens aux groupes discontinus les plus généraux formés de substitutions linéaires. En employant avec une extrême pénétration des notions métriques empruntées à la Géométrie non-euclidienne, M. Poincaré parvient d'une manière intuitive à la détermination et à la description de tous les groupes ainsi définis. Chacun d'eux donne naissance à une division régulière du plan ou de l'espace; et le problème de la recherche de tous les groupes fuchsiens et kleinéens se ramène à la détermination de toutes les divisions régulières du plan ou de l'espace. Après avoir introduit ce qu'il appelle des cycles, M. Poincaré a pu distribuer tous les domaines fondamentaux relatifs aux groupes fuchsiens en sept familles différentes, et aussi déterminer effectivement, pour chacune des divisions régulières obtenues, les groupes correspondants. Il s'agissait maintenant de donner la solution du problème important qui consiste à déterminer toutes les fonctions demeurant invariables, quand on soumet la variable dont elles dépendent à toutes les substitutions d'un groupe fuchsien. C'est ce que M. Poincaré appelle les fonctions fuchsiennes. Pour les trouver, il se laisse encore guider par l'analogie avec les fonctions elliptiques. On sait que les fonctions thêtaelliptiques ne sont pas doublement périodiques, mais qu'elles se reproduisent multipliées par un facteur exponentiel, quand l'argument s'augmente d'une période; M. Poincaré construit des séries dont la forme permet de reconnaître avec évidence l'effet des substitutions du groupe et qui se comportent d'une manière semblable aux fonctions thêtaelliptiques. Elles sont de la forme
où la somme est étendue à toutes les substitutions du groupe et où H est le signe qui désigne une fonction rationnelle, d'ailleurs quelconque. Les fonctions analytiques définies par ces séries sont celles que M. Poincaré appelle thêtafuchsiennes. Elles satisfont à l'équation fonctionnelle
la substitution (z, (a_{k}z + b_{k})/(c_{k}z + d_{k})) étant une quelconque de celles du groupe fuchsien considéré. Comme le montre M. Poincaré par une fine analyse, il y a deux espèces différentes de fonctions thêtafuchsiennes. Pour la première espèce, le cercle fondamental est une limite naturelle et la fonction existe seulement à l'intérieur de ce cercle. Pour la seconde espèce, les fonctions ont seulement des points isolés sur le cercle fondamental, et elles peuvent être prolongées analytiquement au delà de ce cercle, dans toute l'étendue du plan.
En suivant la même marche que dans la théorie des fonctions elliptiques, et prenant le quotient de deux fonctions thêtafuchsiennes de même degré m, M. Poincaré obtient des fonctions qui demeurent inaltérées par toutes les substitutions du groupe fuchsien considéré. Ce sont les fonctions fuchsiennes, qui jouissent de propriétés analogues à celles des fonctions elliptiques. Le nombre des zéros et celui des infinis situés à l'intérieur d'un polygone fondamental sont toujours les mêmes pour chaque fonction. Deux fonctions fuchsiennes d'un même groupe sont toujours liées par une équation algébrique dont le genre coïncide avec le genre géométriquement défini du groupe. Le point d'attache ainsi obtenu avec la théorie des fonctions algébriques n'a pas été négligé par M. Poincaré; il lui a permis de donner la démonstration de ce théorème important que les coordonnées des points d'une courbe algébrique définie d'une manière quelconque peuvent toujours être exprimées par des fonctions uniformes d'un paramètre. Les fonctions fuchsiennes se sont aussi révélées comme un instrument puissant de recherche dans la théorie des intégrales abéliennes, et les études de M. Poincaré sur la réduction de ces intégrales à d'autres d'un genre moindre doivent être rangées au nombre de celles qui pénètrent le plus profondément au cœur de cette difficile question.
Par l'introduction des fonctions appelées zétafuchsiennes, qui sont définies comme quotients d'une série à termes rationnels et d'une série θ, il a été enfin donné à M. Poincaré de démontrer que les solutions des équations différentielles linéaires dont les coefficients sont des fonctions algébriques de la variable indépendante peuvent être exprimées à l'aide de ces nouvelles transcendantes. Il a obtenu ce résultat capital en suivant une marche analogue à celle qui donne les intégrales de différentielles algébriques exprimées par des fonctions thêtaabéliennes.
C'est ainsi que M. Poincaré a ouvert un champ étendu pour l'étude des fonctions automorphes et de leurs applications, et qu'en mettant en évidence les rapports de cette théorie avec celle des équations différentielles linéaires, il a doté cette ancienne discipline de méthodes nouvelles et fécondes.
Parmi ses travaux ultérieurs sur la théorie des fonctions, il y a lieu de mettre à part le Mémoire Sur un théorème de la théorie générale des fonctions, qui a été publié en 1883 dans le Bulletin de la Société mathématique de France. L'Auteur s'y proposait de ramener d'une manière générale la théorie des fonctions analytiques à déterminations multiples à celle des fonctions uniformes. Et, en fait, il est parvenu au théorème fondamental suivant, qui est d'une grande généralité:
Si y est une fonction analytique quelconque de x à déterminations multiples, on peut toujours déterminer une variable z de telle manière que x et y deviennent des fonctions uniformes de z.
Signalons également le travail important, paru dans le même Volume du Bulletin de la Société mathématique, qui se rapporte à la notion de genre introduite par Laguerre dans la théorie des fonctions transcendantes. Le résultat le plus remarquable établi par M. Poincaré consiste dans la condition
à laquelle doit satisfaire toute fonction F(x) = Σ An xn de genre p, et en outre dans le théorème d'après lequel le maximum du module de F(x) reste inférieur à Math, α étant un nombre réel et positif quelconque, théorème qui joue un rôle essentiel dans d'importantes recherches ultérieures.
Il était de la plus haute importance, pour la théorie générale des fonctions analytiques, de déterminer quelle est la puissance de l'ensemble des valeurs que peut prendre une fonction analytique à déterminations multiples en un point quelconque du domaine où elle existe.
M. Poincaré a pu établir que la détermination complète d'une fonction analytique peut toujours être obtenue à l'aide d'un ensemble dénombrable d'éléments de fonctions et, par suite, que l'ensemble des valeurs de la fonction pour tout point de son domaine est toujours dénombrable.
Comme on sait aujourd'hui que les séries divergentes peuvent, sous certaines conditions, être très légitimement et très utilement employées dans la recherche mathématique, il convient de faire remarquer que M. Poincaré a employé dans la mesure la plus large les représentations auxquelles il a donné le nom d'asymptotiques, aussi bien dans ses recherches sur les solutions irrégulières des équations différentielles linéaires que dans son célèbre Mémoire Sur le problème des trois corps et les équations de la Dynamique, et qu'il a ainsi provoqué de nombreuses recherches sur ce sujet.
Il a transformé la théorie des nombres complexes en signalant ses rapports avec la théorie des groupes de Lie, éclairant ainsi d'un jour tout nouveau cette théorie des unités complexes et lui permettant d'utiliser, pour la solution de ses principaux problèmes, les méthodes et les résultats de la théorie des groupes.
Signalons encore la théorie des systèmes linéaires composés d'un nombre infini d'équations à un nombre infini d'inconnues dont il doit être considéré comme le fondateur, car il est le premier qui se soit occupé des déterminants infinis et des critères de convergence qui s'y rapportent.
Je dois me borner à signaler rapidement les travaux de M. Poincaré qui se rapportent aux premiers fondements d'une théorie générale des fonctions analytiques de plusieurs variables indépendantes. Il faut mentionner en premier lieu le Mémoire Sur les résidus des intégrales doubles. Entre la théorie des fonctions d'une variable et celle des fonctions de plusieurs variables se montrent dès le début des différences profondes. L'extension des propositions de l'une des théories à l'autre n'avait pu se faire que dans un très petit nombre de cas. M. Poincaré a montré ce que deviennent les théorèmes fondamentaux de Cauchy, relatifs aux résidus, dans la théorie des intégrales multiples; et il a appliqué les propositions ainsi généralisées à l'étude des modules de périodicité des intégrales multiples et des fonctions thêtaabéliennes.
Dans cet ordre d'idées, il convient aussi de mettre à part les recherches sur l'Analysis situs des variétés à un nombre quelconque de dimensions. M. Poincaré est parvenu à ce résultat important qu'une telle variété ne peut être définie, dans le sens de l'Analysis situs, par la seule connaissance de ses nombres de Betti; en réalité, à chaque système de tels nombres correspondent une infinité de variétés qui ne sont pas déformables les unes dans les autres. Signalons, en particulier, l'extension du théorème d'Euler sur les polyèdres aux polyèdres d'un nombre quelconque de dimensions et de la connexion la plus étendue....
Parmi les travaux que M. Poincaré a consacrés à la théorie des nombres, je signalerai d'abord son Mémoire Sur un mode nouveau de représentation géométrique des formes quadratiques définies ou indéfinies, où il a développé une arithmétique des réseaux à l'aide de laquelle il a pu développer géométriquement, sous une forme neuve et originale, la théorie que Gauss avait donnée pour la composition des formes quadratiques. L'extension des méthodes données dans ce premier travail l'a conduit plus tard à une intéressante généralisation de l'algorithme des fractions continues. A signaler aussi ses travaux sur les invariants arithmétiques, qu'il exprime à l'aide de séries et d'intégrales et qu'il a su appliquer à la solution des problèmes d'équivalence. Par la considération de ces groupes linéaires discontinus de substitutions qui laissent invariable une forme quadratique ternaire indéfinie, il a apporté une contribution nouvelle à la théorie des fonctions automorphes. Chacun de ces groupes est isomorphe à un groupe fuchsien spécial. Les fonctions dénommées arithmétiques fuchsiennes relatives à ce groupe se distinguent en ce qu'elles possèdent un théorème d'addition, ce qui n'a pas lieu pour les fonctions fuchsiennes les plus générales. Les relations multiples qui existent entre les fonctions arithmétiques fuchsiennes ont ouvert à la théorie des nombres et à l'Algèbre des perspectives nouvelles sur un champ encore inexploré. C'est encore à l'Algèbre et à la théorie des nombres qu'il faut rattacher les publications de M. Poincaré sur l'équivalence des formes de degré supérieur, travaux qui doivent être regardés comme le prolongement le plus essentiel des recherches correspondantes d'Hermite et de M. Jordan.
B S M, 2e s., t. 30, 1re p., avr. 1906, p. 105-112.
1. Calcul des Probabilités.
Leçons professées à la Sorbonne pendant le second semestre 1893-1894, rédigées par A. Quiquet. C P A.
Paris, G. C., 1896, gr. in-8, 275 p.
2e édition, revue et augmentée par l'Auteur: Paris, G.-V., 1912, gr. in-8, iv-335 p.
Présentation de la 2e édition par M. H. Poincaré à l'Académie des Sciences: C R, t. 153, 30 oct. 1911, p. 795.
Analyse par A. Buhl: E M, 14e a., 15 mars 1912, p. 165-167.
Analyse par A. Boulanger: B S M, 2e s., t. 36, 1re p., juin 1912, p. 169-184.
2. Sechs Vorträge über ausgewählte Gegenstände aus der reinen Mathematik und mathematischen Physik.
Six Conférences sur diverses questions d'Analyse pure, de Physique mathématique, d'Astronomie théorique et de Philosophie mathématique faites à Göttingue, du 22 au 28 avril 1909, par M. H. Poincaré, invité par la Commission de la Fondation Wolfskehl de la Société Royale des Sciences de Göttingue.
Voir no 103, p. 39; no 40, p. 59; no 57, p. 76; no 95, p. 37; no 13, p. 91; no 5, p. 89.
Leipzig und Berlin, B. G. T., 1910, in-8, iv-60 S.
Analyse par J. Marty: B S M, 2e s., t. 34, 1re p., avr. 1910, p. 100-104.
1 à 7. Sur les courbes définies par les équations différentielles.
C R, t. 90, 22 mars 1880, p. 673-675.
J L, 3e s., t. 7, nov. 1881, p. 375-422.
J L, 3e s., t. 8, août 1882, 251-296.
C R, t. 98, 4 fév. 1884, p. 287-289.
C R, t. 99, 5 déc. 1884, p. 951-952.
J L, 4e s., t. 1, 15 janv. 1885, t. 167-244.
J L, 4e s., t. 2, 13 déc. 1885, p. 151-217.
Analyse par Hoppe du Mémoire no 2 et de la Note no 5: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 591-593.
Analyse des Mémoires nos 2, 3, 6: B S M, 2e s., 2e p., t. 6, mai 1882, p. 100-103;—t. 9, janv. 1885, p. 16-18;—t. 25, nov. 1901, p. 251-252.
8. Sur les points singuliers des équations différentielles.
C R, t. 94, 13 fév. 1882, p. 416-418.
Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 284.
9. Sur les propriétés des fonctions définies par les équations différentielles.
J E P, 45o c., 1878, p. 13-26.
Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 10, J. 1878, S. 223-224.
10. Sur les propriétés des fonctions définies par les équations aux différentielles partielles.
Thèse pour le grade de Docteur ès Sciences mathématiques, soutenue devant la Faculté des Sciences de Paris le 1er août 1879.
Paris, G.-V., 1879, in-4, 95 p.
11. Sur une propriété des fonctions uniformes.
C R, t. 92, 6 juin 1881, p. 1335-1336.
Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 320.
12. Sur une classe étendue de transcendantes uniformes.
C R, t. 103, 8 nov. 1886, p. 862-867.
13. Sur une classe nouvelle de transcendantes uniformes.
J L, 4e s., t. 6, f. 4, 1890, p. 313-365.
Analyse par Hurwitz: J F M, Bd. 22, J. 1890, S. 420-424.
Analyse: B S M, 2e s., t. 25, 2e p., déc. 1897, p. 280-283.
14. Sur une classe d'invariants relatifs aux équations linéaires.
C R, t. 94, 22 mai 1882, p. 1402-1405.
Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 282-283.
15 à 17. Sur les groupes des équations linéaires.
C R, t. 96, 12 mars 1883, p. 691-694.
C R, t. 96, 30 avr. 1883, p. 1302-1304.
A M, t. 4, 1884, 20 oct. 1883, p. 201-312.
Analyse de la Note no 15: B S M, 2e s., t. 7, 2e p., nov. 1883, p. 217-218.
Analyse par Dyck du Mémoire no 17: J F M, Bd. 16, J. 1884, S. 252-257.
Analyse par J. T. du Mémoire no 17: B S M, 2e s., t. 13, 2e p., juin 1889, p. 97-100.
18. Sur la convergence des séries trigonométriques.
B A, t. 1, juil. 1884, p. 319-327.
19. Sur un moyen d'augmenter la convergence des séries trigonométriques.
B A, t. 3, nov. 1886, p. 521-528.
20. Sur les séries de polynômes.
C R, t. 96, 5 mars 1883, p. 637-639.
Analyse par Taeplitz: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 194.
21. Sur la série de Laplace.
Dirichlet a, le premier, démontré d'une façon rigoureuse ce résultat, énoncé par Laplace, qu'une fonction arbitraire des coordonnées d'un point sur une sphère peut être développée en une série de fonctions sphériques.... Le but de cette Note est de présenter la démonstration de Dirichlet sous une forme nouvelle plus simple.
C R, t. 118, 5 mars 1894, p. 497-501.
Analyse par Wangerin: J F M, Bd. 25, J. 1893 u. 1894, S. 820-822.
22. Sur une fonction analogue aux fonctions modulaires.
C R, t. 93, 18 juil. 1881, p. 138-140.
Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 374-375.
23. 24. Sur les fonctions de deux variables.
A M, t. 2, 18 janv. 1883, p. 97-113.
C R, t. 96, 22 janv. 1883, p. 238-240.
25 à 27. Sur les fonctions à espaces lacunaires.
C R, t. 96, 16 avr. 1883, p. 1134-1136.
A S S F, t. 12, 1883, p. 341-350.
A J M, v. 14, 1892, p. 201-221.
Analyse par Dyck de la Note no 25: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 340-341.
Analyse par G. Eneström du Mémoire no 26: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 341.
Analyse par Hurwitz: J F M, Bd. 24, J. 1892, S. 388-389.
28. Sur un théorème de la théorie générale des fonctions.
B S M F, t. 11, 1882-1883, 18 mai 1883, p. 112-125.
Analyse par Dyck: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 348.
29. Sur une propriété des fonctions analytiques.
R C M P, t. 2, 11 nov. 1888, p. 197-200.
Analyse par Hurwitz: J F M, Bd. 20, J. 1888, S. 393-394.
30. Les fonctions analytiques de deux variables et la représentation conforme.
R C M P, t. 23, 27 janv. 1907, p. 185-220.
Analyse par Stäckel: J F M, Bd. 38, J. 1907, S. 459-461.
31. Sur l'uniformisation des fonctions analytiques.
A M, t. 31, 1908, mars 1907, p. 1-63.
Analyse par Stäckel: J F M, Bd. 38, J. 1907, S. 452-453.
32. Sur les transcendantes entières.
C R, t. 95, 3 juil. 1882, p. 23-26.
Analyse par Dyck: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 323-324.
Analyse: B S M, 2e s., t. 6, 2e p., mai 1883, p. 94-95.
33. Sur les fonctions entières.
B S M F, t. 11, 1882-1883, 20 juil. 1883, p. 136-144.
34. Sur les fonctions θ.
B S M F, t. 11, 1882-1883, 20 juil. 1883, p. 129-134.
Analyse par F. Müller: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 430-431.
35. Sur un théorème de Riemann, relatif aux fonctions de n variables indépendantes admettant 2n systèmes de périodes; par MM. H. Poincaré et E. Picard.
C R, t. 97, 3 déc. 1883, p. 1284-1287.
Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 365-366.
36 à 43. Sur les fonctions fuchsiennes.
M. H. Poincaré est arrivé à démontrer qu'il existe une classe très étendue de fonctions analytiques analogues aux fonctions elliptiques et permettant d'intégrer diverses équations différentielles linéaires à coefficients algébriques. Il a donné à ces nouvelles fonctions le nom de fonctions fuchsiennes, en l'honneur de Fuchs dont les travaux lui ont servi dans ses recherches.
Plus tard, en Allemagne, ces fonctions ont été appelées fonctions automorphes.
C R, t. 92, 14 fév. 1881, p. 333-335.
C R, t. 92, 21 fév. 1881, p. 395-398.
C R, t. 92, 18 avr. 1881, p. 957.
C R, t. 92, 23 mai 1881, p. 1198-1200.
C R, t. 92, 30 mai 1881, p. 1274-1276.
C R, t. 92, 27 juin 1881, p. 1484-1487.
C R, t. 93, 8 août 1881, p. 301-303.
C R, t. 93, 17 oct. 1881, p. 581-582.
Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 247-251.
44. Sur une nouvelle application et quelques propriétés importantes des fonctions fuchsiennes.
C R, t. 92, 4 avr. 1881, p. 859-861.
45. Sur la théorie des fonctions fuchsiennes.
Développement des Notes insérées aux Comptes rendus des Séances de l'Académie des Sciences jusqu'au 27 juin 1881.
Mémoires de l'Académie nationale de Caen, 1882, in-8, p. 3-29.
46. Mémoire pour le Concours du grand prix des Sciences mathématiques (Géométrie) en 1880.
Le sujet proposé était: Perfectionner en quelque point important la théorie des équations différentielles linéaires à une seule variable indépendante. Ce Mémoire contient les premières recherches de M. H. Poincaré sur les fonctions fuchsiennes.
Rapport de M. Hermite: C R, t. 92, 14 mars 1881, p. 553-554.
47. Théorie des groupes fuchsiens.
Ce Mémoire contient une partie de celui qui a été soumis, le 1er juin 1880, au jugement de l'Académie des Sciences, dans le Concours pour le grand prix des Sciences mathématiques, et le développement des Notes insérées aux Comptes rendus en 1881.
A M, t. 1, 1882, p. 1-62.
Analyse par Dyck: J F M, Bd 14, J. 1882, S. 338-344.
Analyse par J. T.: B S M, 2e s., t. 7, 1re p., mai 1883, p. 130-133.
48. Sur les fonctions uniformes qui se reproduisent par des substitutions linéaires.
M A, Bd. 19, 1882, 17 déc. 1881 S. 553-564;—Bd. 20, 30 mars 1882, S. 52-53.
49 à 54. Sur les fonctions fuchsiennes.
C R, t. 94, 23 janv. 1882, p. 163-166.
C R, t. 94, 10 avr. 1882, p. 1038-1040.
C R, t. 94, 24 avr. 1882, p. 1166-1167.
C R, t. 95, 9 oct. 1882, p. 626-628.
A M, t. 1, 23 oct. 1882, p. 193-294.
C R, t. 96, 21 mai 1883, p. 1485-1487.
Analyse de la Note no 50: B S M, 2e s., t. 6, 2e p., oct. 1882, p. 226-227.
Analyse par Hamburger des Notes nos 49, 50, 51: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 255-257.
Analyse par Dyck du Mémoire no 53: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 342-347.
Analyse par Dyck de la Note no 54: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 348.
Analyse par J. T. du Mémoire no 53: B S M, 2e s., t. 8, 2e p., sept. 1884, p. 145-148.
55. Sur les groupes hyperfuchsiens.
C R, t. 98, 25 fév. 1884, p. 503-504.
56. Sur les fonctions zétafuchsiennes.
C'est le dernier de cette admirable série de Mémoires où l'Auteur a introduit de nouvelles fonctions uniformes dont l'importance ne peut que grandir avec le développement de la Science et qui jouent, dans la théorie des équations différentielles linéaires, un rôle si essentiel. J. T.
A M, t. 5, 30 mai 1884, p. 209-278.
Analyse par Dyck: J F M, Bd. 16, J. 1884, S. 252-257.
Analyse par J. T.: B S M, 2e s., t. 13, 2e p., juil. 1889, p. 109-114.
57. 58. Les fonctions fuchsiennes et l'équation Δu = eu.
C R, t. 126, 28 fév. 1898, p. 627-630.
J L, 5e s., t. 4, f. 2, 1898, p. 137-230.
Analyse par Landsberg du Mémoire no 58: J F M, Bd. 29, J. 1898, S. 367-368.
Analyses de la Note no 57 et du Mémoire no 58: B S M, 2e s., 2e p., t. 24, avr. 1900, p. 79;—t. 27, nov. 1903, p. 175-176.
59. Sur les groupes kleinéens.
C R, t. 93, 11 juil. 1881, p. 44-46.
60. Mémoire sur les groupes kleinéens.
A M, t. 3, 19 mai 1883, p. 49-92.
Analyse par Dyck: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 348-351.
Analyse par G. K.: B S M, 2e s., t. 11, 2e p., juil. 1887, p. 138-140.
61. Sur les groupes discontinus.
C R, t. 94, 27 mars 1882, p. 840-843.
Analyse par Dyck: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 350-352.
62. 63. Sur les groupes continus.
C R, t. 128, 1er mai 1899, p. 1065-1069.
T C P S, v. 18, 1900, 25 sept. 1899, p. 220-255. Memoirs presented to the Cambridge philosophical Society in the occasion of the Jubilee of Sir George Gabriel Stokes, Bart.: Cambridge, 1900, in-4, p. 220-255.
Analyse par Engel de la Note no 62: J F M, Bd. 30, J. 1899, S. 334.
64. Quelques remarques sur les groupes continus.
R C M P, t. 15, 3 avr. 1901, p. 321-368.
Analyse par Engel: J F M, Bd. 32, J. 1901, S. 373-376.
65. Nouvelles remarques sur les groupes continus.
R C M P, t. 25, 1908, 3 oct. 1907, p. 81-130.
Analyse par Engel: J F M, Bd. 39, J. 1908, S. 434-435.
66 à 70. Sur les fonctions abéliennes.
C R, t. 92, 18 avr. 1881, p. 958-959.
C R, t. 100, 16 mars 1885, p. 785-787.
A J M, v. 8, 13 juin 1886, p. 289-342.
C R, t. 120, 4 fév. 1895, p. 239-243.
C R, t. 124, 21 juin 1897, p. 1407-1411.
Analyse par Hamburger de la Note 66. J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 377-378.
Analyse par Henoch du Mémoire no 68: J F M, Bd. 18, J. 1886, S. 421-423.
Analyse par Hurwitz de la Note no 69: J F M, Bd. 26, J. 1895, S. 509-512.
Analyse de la Note no 69: B S M, 2e s., t. 21, 2e p., mars 1897, p. 36.
71. Sur la transformation des fonctions fuchsiennes et la réduction des intégrales abéliennes.
C R, t. 102, 4 janv. 1886, p. 41-44.
Analyse par v. Braunmühl: J F M, Bd. 18, J. 1886, S. 360-361.
72. Remarques diverses sur les fonctions abéliennes.
J L, 5e s., t. 1, f. 3, 1895, p. 219-314.
Analyse par Hurwitz: Bd. 26, J. 1895, S. 509-512.
Analyse par L. R.: B S M, 2e s., t. 27, 2e p., sept. 1903, p. 139-141.
73. Sur les propriétés du potentiel et sur les fonctions abéliennes.
A M, t. 22, 1899, 25 mai 1898, p. 89-178.
Analyse par H.: B S M, 2e s., t. 31, 2e p., mars 1907, p. 58-60.
Analyse par Hurwitz: J F M, Bd. 29, J. 1898, S. 370-372.
74. Sur les fonctions abéliennes.
Exposé d'ensemble des recherches de M. H. Poincaré sur les fonctions abéliennes avec quelques résultats nouveaux, fait à la demande de M. G. Mittag-Leffler, pour le Tome des Acta mathematica imprimé Niels Henrik Abel in Memoriam.
A M, t. 26, 7 avr. 1902, p. 43-98.
Analyse par Stäckel: J F M, Bd. 33, J. 1902, S. 439-442.
75. Sur les équations différentielles linéaires à intégrales algébriques.
C R, t. 92, 21 mars 1881, p. 698-701.
Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 251.
76. Sur l'intégration des équations linéaires par le moyen des fonctions abéliennes.
C R, t. 92, 11 avr. 1881, p. 913-915.
Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 251-252.
77. Sur les équations linéaires aux différentielles ordinaires et aux différences finies.
A J M, v. 7, 1885, 10 nov. 1884, p. 203-258.
Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 17, J. 1885, S. 290-292.
78 à 80. Sur les intégrales irrégulières des équations linéaires.
C R, t. 101, 9 nov. 1885, p. 939-941.
C R, t. 101, 16 nov. 1885, p. 990-991.
A M, t. 8, 7 fév. 1886, p. 295-344.
Analyse par Hamburger des Notes nos 78, 79 et du Mémoire no 80: J F M, Bd. 17, J. 1885, S. 290-292;—Bd. 18, J. 1886, S. 273-277.
Analyse des Notes nos 78, 79: B S M, 2e s., t. 11, 2e p., oct. 1887, p. 213-214.
81. Remarques sur les intégrales irrégulières des équations linéaires. Réponse à M. Thomé.
A M, t. 10, 24 juil. 1887, p. 310-312.
Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 19, J. 1887, S. 305-306.
82. 83. Sur l'intégration algébrique des équations linéaires.
C R, t. 97, 5 nov. 1883, p. 984-985.
C R, t. 97, 26 nov. 1883, p. 1189-1191.
Analyse: B S M, 2e s., t. 8; 2e p., juin 1884, p. 89-90.
84. Sur l'intégration algébrique des équations linéaires et les périodes des intégrales abéliennes.
J L, 5e s., t. 9, f. 2, 1903, p. 139-212.
Analyse par Wallenberg: J F M, Bd. 34, J. 1903, S. 359.
Analyse par L. R.: B S M, 2e s., t. 30, 2e p., déc. 1906, p. 221.
85. 86. Sur un théorème de M. Fuchs,
Relatif aux équations différentielles dont les intégrales ont tous leurs points critiques fixes.
C R, t. 99, 15 juil. 1884, p. 75-77.
A M, t. 7, 1885, 25 nov. 1884, p. 1-32.
Analyse par Dyck de la Note no 85 et du Mémoire no 86: J F M, Bd. 16, J. 1884, S. 250;—Bd. 17, J. 1885, S. 279-280.
Analyse par E. Cosserat du Mémoire no 86: B S M, 2e s., t. 14, 2e p., avr. 1890, p. 59-60.
87. Sur l'intégration algébrique des équations différentielles.
C R, t. 112, 13 avr. 1891, p. 761-764.
La question de l'intégration algébrique des équations différentielles du premier ordre et du premier degré n'a pas attiré l'attention des géomètres autant qu'elle le méritait. La voie a été ouverte, il y a vingt ans, par un admirable travail de M. Darboux1; mais les analystes ont été fort longtemps sans s'y engager, et ce n'est que tout récemment que le problème a été repris par MM. Painlevé et Autonne2. H. P.
Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 23, J. 1891, S. 319-321.
Analyse: B S M, 2e s., t. 17, 2e p., mars 1893, p. 43-44.
88. 89. Sur l'intégration algébrique des équations différentielles de premier ordre et du premier degré.
R C M P, t. 5, 12 avr. 1891, p. 161-191.
R C M P, t. 11, 7 mai 1897, p. 193-239.
Analyse par Hamburger des Mémoires nos 88, 89: J F M, Bd. 23, J. 1891, S. 319-321;—Bd. 28, J. 1897, S. 292-294.
90. Sur une généralisation du théorème d'Abel.
C R, t. 100, 5 janv. 1885, p. 40-42.
Analyse par Dyck: J F M, Bd. 17, J. 1885, S. 405-406.
91 à 93. Sur la réduction des intégrales abéliennes.
B S M F, t. 12, 1883-1884, 7 nov. 1884, p. 124-143.
C R, t. 99, 17 nov. 1884, p. 853-855.
C R, t. 102, 19 avr. 1886, p. 915-917.
Analyse par Henoch du Mémoire no 91 et de la Note no 92: J F M, Bd. 16, J. 1884, S. 426-430, 430.
Analyse du Mémoire no 91: B S M, 2e s., t. 9, 2e p., juin 1886, p. 138-139.
94. Sur la réduction des intégrales abéliennes et les fonctions fuchsiennes.
R C M P, t. 27, 1er sem. 1909, 21 nov. 1908, p. 281-336.
95. Ueber die Reduktion der Abel'schen Integrale und die Theorie der Fuchs'schen Funktionen.
S V, 26 avr. 1909, S. 33-41.
96. Sur les intégrales de différentielles totales.
C R, t. 99, 29 déc. 1884, p. 1145-1147.
97. 98. Sur les résidus des intégrales doubles.
C R, t. 102, 25 janv. 1886, p. 202-204.
A M, t. 9, 1887, 24 déc. 1886, p. 321-380.
Analyse par Hoppe du Mémoire no 98: J F M, Bd. 19, J. 1887, S. 275-277.
Analyse de la Note no 97: B S M, 2e s., t. 12, 2e p., avr. 1888, p. 61-62.
Analyse par E. G. du Mémoire no 98: B S M, 2e s., t. 14, 2e p., juin 1890, p. 133-141.
99. Sur les périodes des intégrales doubles.
C R, t. 125, 13 déc. 1897, p. 995-997.
Analyse par Hurwitz: J F M, Bd. 28, J. 1897, S. 368.
100. Sur les périodes des intégrales doubles.
J L, 6e s., t. 2, f. 2, 1906, p. 135-189.
Analyse par Dehn: J F M, Bd. 37, J. 1906, S. 442.
101. Remarques sur l'équation de Fredholm.
M. Fredholm a été signalé à M. H. Poincaré par M. Mittag-Leffler dans une Lettre intitulée Sur une transcendante remarquable trouvée par M. Fredholm, insérée dans les Comptes rendus des Séances de l'Académie des Sciences3 et dans l'Ouvrage ayant pour titre Notes et Mémoires présentés à la Conférence de Mathématiques de l'Université de Stockholm4.
C R, t. 147, 21 déc. 1908, p. 1367-1371.
Analyse par Toeplitz: J F M, Bd. 39, J. 1908, S. 416.
102. Sur quelques applications de la méthode de M. Fredholm.
La méthode de Fredholm permet de résoudre presque immédiatement certaines questions relatives au développement des fonctions en séries ou à leur représentation par des intégrales définies. H. P.
C R, t. 148, 18 janv. 1909, p. 125-126.
103. Ueber die Fredholm'schen Gleichungen.
S V, 22 avr. 1909, S. 1-10. (Voir A M, t. 33, 1910, p. 57-86.)
104. Remarques diverses sur l'équation de Fredholm.
A F A S, 38e Ses., Lille, 2 août 1909, Résumés des Travaux, p. 55-56; Compte rendu, p. 1-28.—A M, t. 33, 1910, sept. 1909, p. 57-86.
1. 2. Sur la représentation des nombres par les formes.
C R, t. 92, 28 mars 1881, p. 777-779.
B S M F, t. 13, 1884-1885, 28 mars 1885, p. 162-194.
Analyse par F. Meyer de la Note no 2: J F M, Bd. 17, J. 1885, S. 161-163.
3 à 5. Sur les invariants arithmétiques.
A F A S, 10e Ses., Alger, 15 avril 1881, p. 109-117.
J C, Bd. 129, Ht. 2, 1905, p. 89-150. (Volume publié le 13 février 1905 en Souvenir de Lejeune-Dirichlet.)
Conférence faite à l'Université de Londres le 10 mai 1912.
Analyse par F. Meyer du Mémoire no 4: J F M, Bd. 36, J. 1905, S. 144-151.
Analyse du Mémoire no 4: B S M, 2e s., t. 33, 2e p., mars, avr. 1909, p. 44-52.
6. Sur une extension de la notion arithmétique de genre.
C R, t. 94, 9, 16 janv. 1882, p. 67-71, 124-127.
Analyse par F. Meyer: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 139-140.
7. Sur la reproduction des formes.
C R, t. 97, 29 oct. 1883, p. 949-951.
Analyse par F. Meyer: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 117.
8. Sur les nombres complexes.
C R, t. 99, 3 nov. 1884, p. 740-742.
Analyse: B S M, 2e s., t. 9, 2e p., juil. 1885, p. 138.
9. Sur une généralisation des fractions continues.
C R, t. 99, 8 déc. 1884, p. 1014-1016.
Analyse: B S M, 2e s., t. 9, 2e p., juil. 1885, p. 146.
10. Les fonctions fuchsiennes et l'arithmétique.
J L, 4e s., t. 3, 18 mars 1887, p. 405-464.
Analyse par F. Meyer: J F M, Bd. 19, J. 1887, S. 429-432.
Analyse: B S M, 2e s., t. 25, 2e p., déc. 1901, p. 264-265.
11. Extension aux nombres premiers complexes des théorèmes de M. Tchebycheff.
J L, 4e s., t. 8, 1892, 3 déc. 1891, p. 25-68.
Analyse par Hilbert: J F M, Bd. 24, J. 1892, S. 171-172.
12. Sur la distribution des nombres premiers.
C R, t. 113, 14 déc. 1891, p. 819.
13. 14. Sur quelques propriétés des formes quadratiques.
C R, t. 89, 11 août 1879, p. 344-346.
C R, t. 89, 24 nov. 1879, p. 897-899.
15. 16. Sur la réduction simultanée d'une forme quadratique et d'une forme linéaire.
C R, t. 91, 22 nov. 1880, p. 844-846.
J E P, 56e c, 1886, p. 79-142.
17. Sur un nouveau mode de représentation géométrique des formes quadratiques définies ou indéfinies.
J E P, 47e c, 1880, p. 177-245.
Analyse: B S M, 2e s., t. 5, 2e p., juin 1881, p. 115-116.
18. Sur l'application de la Géométrie non-euclidienne à la théorie des formes quadratiques.
A F A S, 10e Ses., Alger, 16 avr. 1881, p. 132-138.
19. Sur les fonctions fuchsiennes et les formes quadratiques ternaires indéfinies.
C R, t. 102, 29 mars 1886, p. 735-737.
Analyse par F. Meyer: J F M, Bd. 18, J. 1886, S. 151-152.
20. Sur les formes cubiques ternaires.
C R, t. 90, 7 juin 1880, p. 1336-1339.
21. Sur les formes cubiques ternaires et quaternaires.
J E P, 50e c, 1882, I, p. 199-253;—51e c, 1882, II, p. 45-91.
Analyse: B S M, 2e s., t. 7, 2e p., sept. 1883, p. 172-174, 175-176.
Analyse par F. Meyer: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 97-100.
22. Sur les substitutions linéaires.
C R, t. 98, 11 fév. 1884, p. 349-352.
23. Sur les équations algébriques.
C R, t. 97, 17 déc. 1883, p. 1418-1419
24. 25. Déterminants d'ordre infini.
Remarques sur l'emploi d'une Méthode proposée par M. P. Appell, et intitulée Méthode élémentaire pour obtenir le développement en série trigonométrique des fonctions elliptiques.
B S M F, t. 13, 1884-1885, 20 déc. 1884, p. 19-27.
Analyse: B S M, 2e s., t. 9, 2e p., juin 1886, p. 141-142.
Sur les déterminants d'ordre infini.
B S M F, t. 14, 1885-1886, 17 fév. 1886, p. 77-90.
Analyse par F. Meyer: J F M, Bd. 18, J. 1886, S. 117-119.
Analyse: B S M, 2e s., t. 12, 2e p., mars 1888, p. 44-45.
1. Sur les transformations birationnelles des courbes algébriques.
C R, t. 117, 3 juil. 1893, p. 18-23.
2. Sur les propriétés arithmétiques des courbes algébriques.
J L, 5e s., t. 7, f. 2, 1901, p. 161-233.
Analyse par Landsberg: J F M, Bd. 32, J. 1901, S. 564-566.
Analyse par L. R.: B S M, 2e s., t. 30, 2e p., déc. 1906, p. 201-202.
3 à 5. Sur les courbes tracées sur les surfaces algébriques.
C R, t. 149, 6 déc. 1909, p. 1026-1027.
A S E N, 3e s., t. 27, fév., mars 1910, p. 55-108.
Sitzungsberichte der Berliner mathematischen Gesellschaft, 10. J., Sitzung am 12 October 1910, S. 28-55. Voir Archiv der Mathematik und Physik, J. A. Grunert, Leipzig, B. G. T., Dritte Reihe, 18 Bd., 1 Ht, 24 Mai 1911.
Analyse par E. Lampe de la Note no 3: J F M, Bd. 40, 1909, S. 682-683.
6. Sur les transformations des surfaces en elles-mêmes.
C R, t. 103, 26 oct. 1886, p. 732-734.
Analyse par v. Braunmühl: J F M, Bel. 18, J. 1886, S. 717-718.
7. Sur les surfaces de translation et les fonctions abéliennes.
B S M F, t. 29, 1901, 4e trim. 1900, p. 61-86.
Analyse: B S M, 2e s., t. 26, 2e p., déc. 1902, p. 188-189.
8. Sur les lignes géodésiques des surfaces convexes.
Communication faite le 17 septembre 1904 au Congrès tenu à Saint-Louis par la Société mathématique américaine.
T A M S, v. 6, Jan. 4, 1905, p. 237-274.
Analyse par Rothe: J F M, Bd. 36, J. 1905, S. 669-670.
9. Sur l'«Analysis situs».
C R, t. 115, 31 oct. 1892, p. 633-636.
Analyse par Schönflies: J F M, Bd. 24, J. 1892, S. 506.
Analyse: B S M, 2e s., t. 18, 2e p., juin 1894, p. 121.
10. «Analysis situs».
J E P, 2e s., 1er c., 1895, p. 1-121.
Analyse: B S M, 2e s., t. 25, 2e p., sept. 1901, p. 215-216.
Analyse par Schönflies: J F M, Bd. 26, J. 1895, S. 541-542.
11. Sur les nombres de Betti.
C R, t. 128, 13 mars 1899, p. 629-630.
Analyse par Schönflies: J F M, Bd. 30, J. 1899, S. 435.
12. Complément à l'«Analysis situs».
R C M P, t. 13, 26 mars 1899, p. 285-343.
13. Second complément à l'«Analysis situs».
P L M S, v. 32, June 14, 1900, p. 277-308.
Analyse par Schönflies: J F M, Bd. 31, J. 1900, S. 477-478.
14. Sur l'«Analysis situs».
C R, t. 133, 4 nov. 1901, p. 707-709.
Analyse par Schönflies: J F M, Bd. 32, J. 1901, S. 488.
15. Sur certaines surfaces algébriques. Troisième complément à l'«Analysis situs».
B S M F, t. 30, 1er sem. 1902, p. 49-70.
Analyse par Dehn: J F M, Bd. 33, J. 1902, S. 499-500.
16. Sur les cycles des surfaces algébriques. Quatrième complément à l'«Analysis situs».
J L, 5e s., t. 8, f. 2, 1902, p. 169-214.
Analyse par L. R.: B S M, 2e s., t. 30, 2e p., déc. 1906, p. 212.
Analyse par Dehn: J F M, Bd. 33, J. 1902, S. 500-501.
17. Cinquième complément à l'«Analysis situs».
R C M P, t. 18, 1904, 3 nov. 1903, p. 45-110.
Analyse par Dehn: J F M, Bd. 35, J. 1904, S. 504-505.
18. Sur la connexion des surfaces algébriques.
C R, t. 133, 9 déc. 1901, p. 969-973.
19. Sur un théorème de Géométrie.
R C M P, t. 33, 1er sem. 1912, 10 mars 1912.