C R, t. 94, 3 avr. 1882, p. 936-938.
38. Sur une classe de fonctions de deux variables indépendantes.
Dans ce Mémoire, j'étends à une classe particulière de fonctions de deux variables indépendantes x et y les théorèmes de MM. Weierstrass et Mittag-leffler sur les fonctions d'une seule variable. J'applique ensuite les théorèmes généraux ainsi obtenus à la formation de certaines fonctions simplement périodiques de deux variables. P. A.
M. G. Mittag-Leffler a publié son théorème le 7 juin 1876 dans le Bulletin de l'Académie royale des Sciences de Suède (Öfversigt af ...); ses recherches successives ont été publiées dans ce Bulletin et dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris. Il a développé l'ensemble de ses recherches sur la représentation analytique des fonctions homogènes uniformes d'une variable indépendante dans Acta Mathematica (t. 4, 1884, p. 1-79).
Les premières recherches de Weierstrass se trouvent dans son Mémoire intitulé Zur Theorie der eindentigen analytischen Functionen (A A W B, 16 oct. 1876, S. 11). La démonstration qu'il a donnée du théorème de M. Mittag-Leffler est dans le Mémoire intitulé Ueber einen functionentheoretischen Satz des Hernn G. Mittag-Leffler (M A W B, 5 Aug. 1880, S. 707).
A M, t. 2, 15 mars 1883, p. 71-80.
Analyse par J. Tannery: B S M, 2e s., t. 8, 2e p., sept. 1884, p. 155-156.
39. Propositions d'Algèbre et de Géométrie déduites de la considération des racines cubiques de l'unité.
M. P. Appell obtient des fonctions de deux variables à deux paires de périodes liées par une certaine relation algébrique et une infinité de systèmes de surfaces jouissant de propriétés remarquables.
C R, t. 84, 19 mars 1877, p. 540-543.
40. Sur certaines fonctions analogues aux fonctions circulaires.
M. P. Appell fait l'étude de n + 1 fonctions de n variables, à n groupes de périodes, définies par un système d'équations aux différentielles totales; ces fonctions sont liées par une relation algébrique; elles généralisent celle de la Note nº 39.
C R, t. 84, 11 juin 1877, p. 1378-1380.
41. Sur des fonctions uniformes de deux points analytiques qui sont laissées invariables par une infinité de transformations rationnelles.
C R, t. 96, 4 juin 1883, p. 1643-1646.
42. Sur un cas de réduction des fonctions Θ de deux variables à des fonctions θ d'une variable.
C R, t. 94, 13 fév. 1882, p. 421-424.
43. Sur des cas de réduction des fonctions Θ de plusieurs variables à des fonctions Θ d'un moindre nombre de variables.
B S M F, t. 10, 1881-1882, 3 mars 1882, p. 59-67.
Analyse par F. Müller: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 405-406.
44. Sur une fonction analogue à la fonction Θ.
Dans cette Note, il s'agit d'une fonction définie par une série simple d'exponentielles dont l'exposant est un polynome du quatrième degré en n. Cette fonction a été étudiée ensuite par M. Rivereau (A F S Ma, t. 2, 1892, p. 59).
A F S Ma, t. 1, 1891, p. 47-52.
45. Exemples de fonctions de plusieurs variables admettant un groupe de substitutions linéaires entières.
M. P. Appell applique la fonction définie dans la Note nº 44.
B S M F, t. 19, 1890-1891, 18 nov. 1891, p. 125-127.
46. Sur les fonctions de Bernoulli à deux variables.
Extrait d'une Lettre adressée à M. Martin Krause par M. P. Appell.
A M P G, d. R., 4 Bd., 9 oct. 1903, S. 292-293.
Analyse par G. Kowalewski: J F M, Bd. 34, J. 1903, S. 484-485.
47. Sur des fonctions de deux variables à trois ou quatre paires de périodes.
C R, t. 90, 26 janv. 1880, p. 174-176.
48. Sur certaines expressions quadruplement périodiques.
C R, t. 108, 25 mars 1889, p. 607-609.
49. Sur les fonctions de deux variables à plusieurs paires de périodes.
C R, t. 110, 27 janv. 1890, p. 181-183.
50. Sur les fonctions de deux variables quadruplement périodiques de troisième espèce.
A S E N, 2e s., t. 7, mai 1890, p. 143-154.
Analyse: B S M, 2e s., t. 16, 2e p., déc. 1892, p. 190-191.
51. 52. Sur les fonctions périodiques de deux variables.
L'objet de ce travail est l'étude des fonctions méromorphes de deux variables à quatre (ou à trois) paires de périodes. La méthode suivie peut être étendue d'elle-même aux fonctions de n variables à 2n groupes de périodes.
C R, t. 111, 3 nov. 1890, p. 636-638.
J L, 4e s., t. 7, f. 2, 1891, p. 157-219.
Analyse par Burkhardt: J F M, Bd. 23, J. 1891, S. 430-431.
Analyse par J. Hadamard: R O, t. 3, 15 juin 1892, p. 419.
53. 54. Sur les fonctions abéliennes.
C R, t. 94, 26 juin 1882, p. 1702-1704.
C R, t. 103, 20 déc. 1886, p. 1246-1248.
55. 56. Sur l'inversion des intégrales abéliennes.
C R, t. 99, 8 déc. 1884, p. 1010-1011.
J L, 4e s., t. 1, f. 3, 1885, p. 245-279.
Analyse par Dyck: J F M, Bd. 17, J. 1885, S. 473-475.
57. Formes des intégrales abéliennes des diverses espèces.
A F S T, t. 7, 1893, p. A.5-A.8.
58. Sur les fonctions abéliennes considérées comme fonctions algébriques de fonctions d'une variable.
Ce Mémoire est inséré dans le premier des deux Tomes des Acta Mathematica imprimés Niels Henrick Abel in Memoriam.
A M, t. 26, 8 juil. 1902, p. 249-253.
Analyse par Staeckel: J F M, Bd. 33, J. 1902, S. 442-443.
59. Sur les séries hypergéométriques de deux variables, et sur des équations différentielles linéaires aux dérivées partielles.
Je définis quatre séries ordonnées suivant les puissances positives croissantes de deux variables, qui se rattachent à la célèbre série de Gauss, comme les fonctions Θ de deux variables de Göpel et de Rosenhain se rattachent aux fonctions Θ d'une variable d'Abel et de Jacobi. P. A.
C R, t. 90, 16 févr. 1880, p. 296-298.
60. Sur la série F3 (α, α', β, β', γ, x, y).
Cette série, qui a été définie dans la Note nº 59, peut être représentée par une intégrale définie semblable à celle dont Jacobi s'est occupé (J C, t. 56, 1859, S. 149).
C R, t. 90, 26 avr. 1880, p. 977-979.
61. Sur quelques formules relatives aux fonctions hypergéométriques de deux variables.
C R, t. 91, 16 août 1880, p. 364-368.
62. Sur des polynomes de deux variables analogues aux polynomes de Jacobi.
A M P G, 66. Teil, 1881, 26 oct. 1880, S. 238-245.
Analyse par Hoppe: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 389-390.
63. Sur les fonctions hypergéométriques de deux variables.
Ce Mémoire a été présenté à l'Académie dans la séance du 29 mars 1880; je lui ai fait subir quelques modifications, afin d'y faire rentrer les résultats que j'ai obtenus depuis et qui ont été indiqués dans deux Notes présentées à l'Académie le 26 avril et 16 août 1880. P. A.
J L, 3e s., t. 8, mai, juin 1882, p. 173-216.
Analyse: B S M, 2e s., t. 9, 2e p., janv. 1885, p. 14-15.
64. Sur certaines formules de Hansen et de M. Tisserand.
M. P. Appell trouve que la valeur d'un certain coefficient est exprimée par un polynome hypergéométrique de deux variables, ce polynome étant formé avec une des fonctions qu'il définit dans la Note nº 59.
C R, t. 97, 12 nov. 1883, p. 1036-1039.
65. Sur une formule de M. Tisserand et sur les séries hypergéométriques de deux variables.
M. P. Appell applique, à des questions étudiées par Tisserand, M. Radau et Callandreau, les résultats qu'il a donnés dans le Mémoire nº 63 et dans la Note nº 64.
J L, 3e s., t. 10, déc. 1884, p. 407-428.
Analyse: B S M, 2e s., t. 10, 2e p., nov. 1886, p. 225-226.
Analyse par Wangerin: J F M, Bd. 16, J. 1884, S. 454-455.
66. Les polynomes d'Hermite rattachés aux polynomes de Legendre.
A S A P P, v. 5, nº 2º, 1910, p. 65-68.
67. Quelques propriétés des polynomes Um, n d'Hermite et des polynomes Xn de Legendre.
A S A P P, v. 5, nº 4º, 1910, p. 209-212.
68. Sur une classe de polynomes à deux variables et le calcul approché des intégrales doubles.
M. P. Appell étend aux intégrales doubles la méthode que Gauss a fondée sur les propriétés des polynomes de Legendre pour le calcul approché des intégrales simples.
A F S T, t. 4, 1890, p. H.1-H.20.
Analyse par R. Le Vavasseur: B S M, 2e s., t. 28, 2e p., janv. 1894, p. 12-14.
Analyse par F. Müller: J F M, Bd. 22, J. 1890, S. 299-300.
69. 70. Sur un mode d'inversion des intégrales multiples.
B S M F, t. 25, 20 janv. 1897, p. 10.
C R, t. 124, 1er fév. 1897, p. 213-214.
71. Exemples d'inversion d'intégrales doubles.
A J M, v. 19, nº 4, 1897, p. 377-380.
72. Sur des polynomes satisfaisant à une équation différentielle du troisième ordre.
M. P. Appell applique, dans cette Communication, un théorème qu'il a démontré dans la Note nº 8, p. 22.
A F A S, 8e Session, Montpellier, 3 sept. 1879, p. 257-260.
73. Sur certaines équations différentielles linéaires contenant un paramètre variable.
A F A S, 8e Session, Montpellier, 3 sept. 1879, p. 253-257.
74. Intégration de certaines équations différentielles à l'aide des fonctions Θ.
M. P. Appell tire des conséquences remarquables du théorème de RIEMANN sur les zéros des fonctions Θ de plusieurs variables.
C R, t. 90, 24 mai 1880, p. 1207-1210.
75. Sur les équations différentielles linéaires à une variable indépendante.
C R, t. 90, 21 juin 1880, p. 1477-1479.
76. Sur la transformation des équations différentielles linéaires.
C R, t. 90, 26 juil. 1880, p. 211-214.
77. Sur les équations différentielles linéaires.
M. P. Appell signale, pour les équations différentielles linéaires, des propriétés analogues à celles des fonctions symétriques des racines d'une équation algébrique et à la transformation des équations algébriques.
C R, t. 91, 26 oct. 1880, p. 684-685.
78. Sur une classe d'équations différentielles linéaires.
Se plaçant à un certain point de vue, M. P. Appell généralise les recherches de M. Ch. Hermite sur l'équation de Lamé (C R, t. 86, 1878, p. 850), celles de MM. E. Picard et Mittag-Leffler sur les équations différentielles linéaires à coefficients doublement périodiques (C R, t. 90, 1880, p. 293-299) et celles de Fuchs sur certaines équations différentielles linéaires (J L, t. 4, 1878, p. 125). M. P. Appell considère des équations différentielles dont l'intégrale générale n'a que des pôles sur la surface de Riemann et dont les substitutions fondamentales sont permutables.
C R, t. 91, 13 déc. 1880, p. 972-974.
Analyse: B S M, 2e s., t. 5, 2e p., janv. 1881, p. 21-22.
79. Sur une classe d'équations différentielles linéaires dont les coefficients sont des fonctions algébriques de la variable indépendante.
M. P. Appell résume un Mémoire où se trouvent développées des propositions contenues dans la Note nº 78.
C R, t. 92, 10 janv. 1881, p. 61-63.
80. Sur une classe d'équations différentielles linéaires à coefficients doublement périodiques.
C R, t. 92, 25 avr. 1881, p. 1005-1008.
81. Sur une classe d'équations différentielles linéaires à coefficients algébriques.
Ces équations sont celles dont l'intégrale générale n'admet, sur une surface de Riemann, d'autres singularités que des pôles et des points critiques logarithmiques. M. P. Appell les classe en équations de 1re, 2e, 3e espèce d'après des caractères analogues à ceux qui servent à classer les trois espèces d'intégrales abéliennes.
A M, t. 13, 1890, 21 janv. 1889, p. 163-174.
82. Sur des équations différentielles linéaires dont les intégrales vérifient des relations de la forme F[φ(x)] = ψ(x)F(x).
M. P. Appell, qui a publié deux Notes sur les fonctions F(x) satisfaisant à une relation de la forme F[φ(x)] = F(x), montre que ces fonctions et les fonctions plus générales de la forme F[φ(x)] = ψ(x)F(x) se présentent dans l'intégration de certaines équations différentielles linéaires, et en particulier dans l'intégration des équations du second ordre.
C R, t. 93, 7 nov. 1881, p. 699-701.
Analyse: B S M, 2e s., t. 6, 2e p., janv. 1882, p. 31-32.
Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 253-254.
83. Mémoire sur les équations différentielles linéaires.
Le résumé de ce Mémoire se trouve dans la Note nº 77.
A S E N, 2e s., t. 10, nov., déc. 1881, p. 391-424.
Analyse: B S M, 2e s., t. 6, 2e p., déc. 1882, p. 269-274.
Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 13, J. 1881, S. 254-255.
84. 85. Sur une classe d'équations différentielles linéaires binomes à coefficients algébriques.
C R, t. 94, 30 janv. 1882, p. 203-205.
A S E N, 2e s., t. 12, janv., fév. 1883, p. 9-46.
Analyse: B S M, 2e s., t. 8, 2e p., avr. 1884, p. 59-61.
Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 15, J. 1883, S. 246-247.
86. Sur les fonctions uniformes affectées de coupures et sur une classe d'équations différentielles linéaires.
C R, t. 96, 9 avr. 1883, p. 1018-1020.
87. Sur des équations linéaires intégrables à l'aide de la fonction χm(x, y).
M. P. Appell indique une équation différentielle linéaire avec second membre dont les coefficients sont composés avec des fonctions Θ et leurs dérivées, et dont l'intégrale générale s'exprime à l'aide des fonctions Θ et de la fonction de deux variables χm(x, y), qu'il a introduite dans ses Mémoires nos 25, 27, 28.
A S E N, 3e s., t. 5, juin, juil. 1888, p. 211-218.
Analyse: B S M, 2e s., t. 14, 2e p., oct. 1890, p. 198-199.
Analyse par F. Müller: J F M, Bd. 20, J. 1888, S. 452-454.
88. Sur une classe d'équations différentielles réductibles aux équations linéaires.
C R, t. 107, 12 nov. 1888, p. 776-778.
89. 90. Sur des équations différentielles linéaires transformables en elles-mêmes par un changement de fonction et de variable.
C R, t. 112, 5 janv. 1891, p. 34-37.
A M, t. 15, 1891, 28 sept.-5 oct. 1891, p. 281-315.
Analyse: B S M, 2e s., t. 17, 2e p., fév. 1893, p. 30-31;—t. 19, 2e p., avr. 1895, p. 77-79.
Analyse par J. Hadamard: R O, t. 3, 15 oct. 1892, p. 683.
Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 23, J. 1891, S. 333-335.
91. Sur les équations différentielles algébriques et homogènes par rapport à la fonction inconnue et à ses dérivées.
M. P. Appell indique la possibilité d'étendre la théorie des invariants des équations différentielles linéaires et homogènes aux équations homogènes mais non linéaires.
C R, t. 104, 20 juin 1887, p. 1776-1779.
Analyse par Hamburger des Notes nos 91 et 92: J F M, Bd. 19, J. 1887, S. 291-293.
92. Sur les invariants des équations différentielles.
M. P. Appell complète la Note nº 91.
C R, t. 105, 4 juil. 1887, p. 55-58.
93. Sur les invariants de quelques équations différentielles.
Dans ce Mémoire, M. P. Appell étudie les invariants et les cas d'intégrabilité:
1º D'équations différentielles de la forme
| dy | = | a0 + a1y + ... + anyn | (p < n), | |
| dx | b0 + b1y + ... + bpyp |
qui conservent cette forme quand on choisit une nouvelle fonction inconnue η et une nouvelle variable indépendante ξ liées à y et x par les relations
| y = η u(x) + v(x), | dξ | = µ(x); | |
| dx |
2º Des équations différentielles algébriques et homogènes par rapport à la fonction inconnue y et à ses dérivées, ces équations conservant la même forme quand on y fait
| y = η u(x), | dξ | = µ(x). | |
| dx |
J L, 4e s., t. 5, f. 4, 1889, p. 361-423.
Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 21, J. 1889, S. 312-314.
Analyse par Gomes Teixeira: J S T, v. 9, 1889, p. 124-125.
Analyse par E. Goursat: R O, t. 1, 30 mars 1890, p. 180.
94. Sur les équations différentielles homogènes du second ordre à coefficients constants.
A F S T, t. 3, 1889, p. K.1-K.12.
Analyse par Hamburger: J F M, Bd. 21, J. 1889, S. 327.
95. Observations sur une Communication de M. C. Bourlet,
Intitulée Sur certaines équations analogues aux équations différentielles.
C R, t. 124, 21 juin 1897, p. 1433-1434.
96. Sur le théorème de Poisson et un théorème récent de M. A. Buhl.
Dans une Note (C R, t. 132, 1901, p. 313), M. A. Buhl donne une proposition générale dont il déduit, comme cas particulier, ce théorème de Poisson: La forme aux dérivées partielles représentée symboliquement par (α, β) est une intégrale d'un système d'équations canoniques si α et β sont deux intégrales de ce système. Dans sa Note, M. P. Appell montre que, inversement, la proposition de M. A. Buhl peut être considérée comme une conséquence du théorème de Poisson.
C R, t. 133, 5 août 1901, p. 317-319.
97. Sur les séries hypergéométriques de deux variables, et sur des équations différentielles linéaires simultanées aux dérivées partielles.
Dans cette Note, qui se rattache à la Note nº 59, p. 29, j'étends les théorèmes de Riemann et de Fuchs, sur les intégrales des équations différentielles linéaires à une variable, à des équations simultanées définissant r et t en fonctions linéaires de s, p, q, z. P. A.
C R, t. 90, 29 mars 1880, p. 731-734.
98. Sur certaines équations différentielles linéaires simultanées aux dérivées partielles.
En commun avec M. E. Picard.
Cette Note contient une extension d'un théorème donné par M. E. Picard pour les équations différentielles linéaires à coefficients doublement périodiques (C R, t. 90, 1880, p. 293).
C R, t. 92, 21 mars 1881, p. 692-695.
Analyse: B S M; 2e s., t. 5, 2e p., mai. 1881, p. 98.
99. Sur une équation linéaire aux dérivées partielles.
M. P. Appell montre que l'équation qu'il a rencontrée dans la théorie des fonctions hypergéométriques de deux variables (voir nº 59, p. 29) contient, comme cas particulier, une équation différentielle linéaire étudiée par M. G. Darboux (C R, t. 95, 1882, p. 69) et étend à son équation les principales propriétés indiquées par ce géomètre.
B S M, 2e s., t. 6, 1re p., déc. 1882, p. 314-318.
Analyse par Toeplitz: J F M, Bd. 14, J. 1882, S. 300.
100. Sur les fonctions satisfaisant à l'équation ΔF = 0.
M. P. Appell considère une fonction F(x, y, z), de trois variables réelles représentant les coordonnées rectangulaires d'un point M. Il suppose que la fonction F est uniforme, continue, qu'elle admet des dérivées premières et secondes et qu'elle vérifie l'équation
| ΔF = | ∂2F | + | ∂2F | + | ∂2F | = 0, |
| ∂x2 | ∂y2 | ∂z2 |
en tous les points M situés à l'intérieur d'une surface fermée S, excepté en certains points isolés, qu'il appelle points singuliers. Il classe ces points en pôles et points essentiels.
C R, t. 96, 5 fév. 1883, p. 368-371.
101. Sur les fonctions de trois variables réelles satisfaisant à l'équation différentielle ΔF = 0.
Dans ce Mémoire, M. P. Appell fait l'étude générale des fonctions qui satisfont à l'équation ΔF = 0. La première partie contient une extension d'un théorème dû à M. Mittag-Leffler et plusieurs applications d'un théorème de Green; la seconde contient l'étude de celles de ces fonctions qui reprennent les mêmes valeurs aux points homologues d'un réseau de parallélépipèdes et qui possèdent des propriétés semblables à celles de la partie réelle d'une fonction doublement périodique d'une variable imaginaire. Ces fonctions s'expriment à l'aide d'un élément simple Z analogue à la fonction
| H´ | introduite par Hermite dans la théorie des fonctions elliptiques. |
| H |
A M, t. 4, 22 janv.-3 mars 1884, p. 313-374.
Analyse par F. Müller: J F M, Bd. 16, J. 1884, S. 373-374.
Analyse par J. Tannery: B S M, 2e s., t. 13, 2e p., juin 1889, p. 98-100.
102. 103. Développements en séries trigonométriques de certaines fonctions vérifiant l'équation du potentiel ΔF = 0.
C R, t. 102, 21 juin 1886, p. 1439-1442.
J L, 4e s., t. 3, f. 1, 1887, p. 5-52.
Analyse par Toeplitz: J F M, Bd. 19, J. 1887, S. 418-420.
104. Sur les fonctions harmoniques à trois groupes de périodes.
M. P. Appell indique un élément analytique pouvant remplacer la fonction Z des deux Mémoires nos 101 et 103.
R C M P, t. 22, 1er sept. 1906, p. 361-370.
Analyse par Wangerin: J F M, Bd. 37, J. 1906, S. 482-483.
Application par A. Myller: C R, t. 145, 11 nov. 1907, p. 790-792.
105. 106. Sur des potentiels conjugués.
M. P. Appell donne un système de quatre équations aux dérivées partielles du premier ordre auxquelles satisfont quatre fonctions X, Y, Z, T de trois variables réelles x, y, z. Il démontre que si l'on choisit arbitrairement la fonction T vérifiant l'équation du potentiel, il existe une infinité de fonctions X, Y, Z vérifiant le système précédent; il parvient à préciser le degré d'indétermination et à exprimer ces fonctions par des intégrales définies.
B S M F, t. 19, 1890-1891, 15 avr. 1891, p. 68-70.
A F S Ma, t. 2, f. 3, 1892, p. 53-58.
Analyse par Wangerin: J F M, Bd. 23, J. 1891, S. 990.
107. Quelques remarques sur la théorie des potentiels multiformes.
Extrait d'une Lettre adressée à M. F. Klein par M. P. Appell.
M. P. Appell considère une certaine fonction F(x, y, z) qui vérifie l'équation ΔF = 0 et qui admet un cercle pour ligne singulière.
M A, Bd. 30, 26 avr. 1887, S. 155-156.
1. Sur les fractions continues périodiques.
A M P G, 62. Teil, 1878, S. 183-188.
Analyse par Günther: J F M, Bd. 10, J. 1878, S. 151-152.
2. Sur les polynomes qui expriment la somme des puissances pièmes des n premiers nombres entiers.
N A M, 3e s., t. 6, juil. 1887, p. 312-321.
3. Sur les valeurs approchées des polynomes de Bernoulli.
M. P. Appell, appliquant aux polynomes de Bernoulli une méthode donnée par M. G. Darboux dans un Mémoire sur les fonctions de grands nombres (J L, 3e s., t. 4, 1878, p. 5, 377), donne l'expression approchée du polynome de Bernoulli de rang n, pour n très grand.
N A M, 3e s., t. 6, déc. 1887, p. 547-554.
4. Sur une suite de polynomes ayant toutes leurs racines réelles.
A M P G, d. R., 1. Bd., 1901, 10 déc. 1900, S. 69-71.
1. Sur les fonctions sphériques et autres analogues.
En commun avec M. Armand Lambert (exposé fait d'après l'Article en allemand de M. A. Wangerin, avec des additions).
E S M E F, t. II, Art. 28 (sous presse).
Dans la question proposée en 1884, comme sujet du prix Bordin (Géométrie), l'Académie demandait aux concurrents, soit l'étude générale du problème des déblais et des remblais, soit la solution dans un cas simple choisi par l'auteur du Mémoire.
L'étude de ce beau problème remonte à Monge qui, dans un Mémoire publié en 1781, où se trouvent développées d'une manière incidente la théorie des lignes de courbure et les propriétés des systèmes de rayons rectilignes, s'était posé la question générale suivante:
Deux volumes équivalents étant donnés, les décomposer en parcelles infiniment petites et deux à deux équivalentes, se correspondant suivant une loi telle que, si l'on multiplie le chemin parcouru par chaque parcelle, transportée sur celle qui lui correspond, par le volume de cette parcelle, la somme des produits ainsi obtenus soit un minimum.
Dans le cas où les volumes peuvent être assimilés à des aires planes situées dans le même plan, Monge résout complètement le problème en remarquant que les routes de transport, lorsqu'elles forment un système continu, doivent détacher dans le déblai et dans le remblai des aires égales. Dans le cas où les routes ne peuvent former un système continu, il présente quelques remarques, complétées depuis par Dupin dans un Mémoire sur le même sujet, qui fait partie des Applications d'Analyse, de Géométrie et de Méchanique. Enfin Monge, abordant le cas le plus difficile, celui où le déblai et le remblai sont des volumes, nécessairement équivalents, fait connaître la proposition suivante, qui est la pierre angulaire de cette théorie:
Les routes de transport doivent servir chacune à une infinité de parcelles, et elles sont nécessairement normales à une famille de surfaces parallèles.
Mais il faut avouer que les raisonnements par lesquels Monge est conduit à ce beau théorème n'entraînent, en aucune manière, l'adhésion; ce point essentiel, malgré l'étude nouvelle qui en a été faite par Dupin, attendait encore une démonstration solide et appelait de nouvelles recherches.
La Commission espérait donc rencontrer, dans quelques-uns des Mémoires soumis à son examen, la preuve complète et l'étude générale du théorème de Monge; elle désirait aussi, sans trop oser l'espérer à cause de la difficulté de la question, obtenir l'intégration complète, dans un cas suffisamment étendu, de l'équation aux dérivées partielles du second ordre, déjà formée par Monge, qui sert à déterminer la surface normale à toutes les routes.
Le Mémoire inscrit sous le nº 5 répond d'une manière complète aux espérances aussi bien qu'aux vœux de la Commission. C'est un travail de haute valeur où sont employées, alternativement et avec le plus grand succès, les ressources de la Géométrie et les méthodes de l'Analyse moderne; il réalise un progrès considérable dans l'étude de la question mise au concours. Au début de son Mémoire, l'auteur s'élève de la considération d'un système de points isolés à celle des masses continues. Il énonce, sous le nom de principe de translation, principe de symétrie, etc., un certain nombre de propositions élégantes et simples, dont l'application rendra certainement de grands services dans la pratique. Nous signalerons plus particulièrement deux propositions faisant connaître deux systèmes différents de routes, d'une définition très générale et réalisant, l'un et l'autre, le minimum absolu du prix de transport.
Dans la deuxième Partie de son travail, l'auteur du Mémoire nº 5, après avoir démontré que les routes forment un système continu ou se décomposent en plusieurs systèmes continus, applique la méthode des variations au problème de Monge, et il établit le théorème fondamental, sans même supposer que la densité soit constante à l'intérieur du déblai ou du remblai. Enfin il examine le cas où les routes se partagent en plusieurs systèmes continus et il indique les moyens de déterminer les surfaces séparatrices, c'est-à-dire les surfaces auxquelles viennent aboutir les routes appartenant à deux systèmes différents et continus.
Dans le cas des aires planes, nous l'avons déjà rappelé, le problème de Monge peut recevoir une solution complète où ne figurent que des quadratures. On devait se demander si, dans l'espace, l'équation aux dérivées partielles donnée par Monge n'est pas, elle aussi, intégrable dans tous les cas et d'une manière générale. Les résultats obtenus par l'auteur du Mémoire donnent une réponse complète à cette question difficile. Dans le cas où, par exemple, les volumes se réduisent à des aires planes situées dans des plans parallèles, l'intégration de l'équation de Monge est ramenée à celle des surfaces minima si les aires ont même densité, et à celle des surfaces à courbure constante si les densités sont différentes.
Ces exemples sont précieux, parce qu'ils prouvent qu'on doit renoncer à intégrer dans tous les cas l'équation du second ordre de Monge; mais aussi parce qu'ils ont permis à l'auteur de signaler avec netteté les difficultés nouvelles et sérieuses qu'on rencontrera, même après avoir intégré cette équation.
Ces difficultés sont de la nature de celles qui se présentent dans la théorie des surfaces minima. Si l'on considère toutes les surfaces formant une nappe continue passant par une courbe fermée, le calcul des variations apprend que la surface d'aire minimum aura, en chaque point, ses rayons de courbure égaux et de signes contraires. L'équation aux dérivés partielles de cette surface une fois intégrée, la condition à laquelle elle est assujettie de passer par la courbe ne permet pas de déterminer complètement les deux fonctions arbitraires dont elle dépend. Il existe une infinité de surfaces minima contenant la courbe; mais ces surfaces ne satisfont pas toutes, on le sait, à la condition, supposée cependant par le calcul des variations, de former une nappe continue reliant les uns aux autres tous les points de la courbe. On ne peut déterminer les deux fonctions arbitraires qu'en employant des considérations tout à fait indépendantes de la méthode des variations, puisque la condition à laquelle il s'agit de satisfaire est supposée remplie au moment même où commence l'application de cette méthode. Le problème auquel on est ainsi conduit arrête aujourd'hui encore les efforts des géomètres et n'a pu être résolu que dans quelques cas particuliers.
La solution du problème de Monge présente des difficultés analogues et peut-être plus grandes. Les fonctions arbitraires d'une variable, qui entrent dans les équations du système des routes, doivent être déterminées par la condition que les routes forment un système continu, permettant de transporter dans l'ensemble du remblai la totalité des parcelles qui composent le déblai. La condition, évidente a priori, que les routes limites soient tangentes à la fois à la surface du déblai et à celle du remblai ne fait connaître qu'une de ces deux fonctions et il n'existe, comme dans la théorie des surfaces minima, aucune règle fixe et précise conduisant à la solution complète de la question proposée. Des exemples bien choisis jettent beaucoup de lumière sur cette discussion délicate.
Les indications rapides qui précèdent suffiront à montrer toute l'importance des résultats obtenus par l'auteur du Mémoire nº 5....
La Commission propose de partager le prix Bordin entre les Mémoires nº 5 et nº 1 en attribuant deux mille francs à l'auteur du Mémoire nº 5....
Les conclusions de ce Rapport sont adoptées.
L'auteur du Mémoire inscrit sous le nº 5 est M. P. Appell.
C R, t. 101, 21 déc. 1885, p. 1312-1316.
1. Sur les propriétés des cubiques gauches et le mouvement hélicoïdal d'un corps solide.