NOTES.
Jean-Gaston DARBOUX,
Né à Nîmes le 13 août 1842.
L'Académie se trouve appelée à décerner, pour la première fois, l'un des prix que la généreuse munificence de M. Petit d'Ormoy lui a permis de fonder.
Les progrès remarquables accomplis depuis quelques années, et notamment en France, dans le domaine des Mathématiques pures, ont déterminé la Commission à proposer à l'Académie de fixer son choix sur un géomètre. Plusieurs auraient été dignes de cet honneur; mais nous avons dû prendre celui que l'étendue de sa réputation, la maturité de son talent, le nombre et la variété de ses travaux désignaient plus particulièrement à nos suffrages.
L'œuvre de M. Gaston Darboux est trop étendue pour que nous essayions de l'analyser en détail, car elle se compose de plus de 100 Mémoires, dont le cercle embrasse presque toutes les branches du Calcul intégral et de la Géométrie, diverses parties de l'Algèbre et de la Mécanique. Tous ces travaux se distinguent par une extrême lucidité, par une profonde connaissance de toutes les ressources de l'Analyse, par une rare habileté à relier entre elles des questions en apparence distinctes, et à remonter aux véritables principes des théorèmes, pour leur donner toute la généralisation dont ils sont susceptibles; ils contiennent un grand nombre de résultats nouveaux et importants, dont nous ne pouvons signaler ici qu'un petit nombre....
Nous signalerons tout d'abord un Mémoire important sur les fonctions discontinues, où M. Darboux soumet à une analyse approfondie les principes de la théorie des fonctions, et établit, entre autres, une proposition remarquable, qui permet de définir de la manière la plus nette la condition d'intégrabilité d'une fonction.
Plusieurs autres Mémoires sont consacrés aux développements en série. M. Darboux y donne une démonstration nouvelle de la convergence des développements suivant les fonctions de Laplace, ou les polynomes de Legendre. Il a établi un peu plus tard d'autres développements plus généraux suivant les polynomes de Jacobi, en se fondant sur l'expression asymptotique qu'il avait trouvée pour ces polynomes.
Les équations différentielles où les variables se trouvent mêlées, et qui ne se ramènent pas à la forme homogène ou linéaire, ont été jusqu'à ce jour peu étudiées. Une équation remarquable, intégrée par Jacobi, était restée jusque-là isolée. M. Darboux a montré qu'elle constitue le premier terme d'une classe étendue d'équations différentielles, dont on pourra écrire l'intégrale générale toutes les fois qu'on aura réussi à obtenir des intégrales particulières algébriques en nombre suffisant. Cette importante proposition permet de construire une foule d'équations différentielles dont l'intégrale générale s'obtienne, pour ainsi dire, à la simple vue.
M. Darboux a fait cette remarque simple, mais importante, qu'une équation différentielle n'admet d'intégrale singulière que dans des cas exceptionnels, et que la méthode indiquée avant lui pour déterminer l'intégrale singulière en partant de l'équation différentielle fournit en général le lieu des points singuliers des courbes intégrales, et non leur enveloppe.
Il a encore montré que, si un système d'équations linéaires admet une intégrale algébrique, il admettra également comme intégrale tous ses covariants.
L'Académie avait proposé, il y a quelques années, comme sujet du grand prix de Mathématiques, l'étude des solutions singulières des équations aux dérivées partielles du premier ordre. Le Mémoire transmis par M. Darboux en réponse à cette question et couronné par l'Académie est une œuvre considérable. Il contient, entre autres résultats, la fixation précise des caractères des solutions singulières; la détermination des règles qui permettent de les déduire directement de l'équation différentielle; l'étude des relations de contact qui existent entre cette solution et les autres intégrales complètes ou générales; enfin l'extension aux équations aux dérivées partielles de la méthode d'intégration par différentiation.
Dans un travail antérieur, sur les équations aux dérivées partielles du second ordre, M. Darboux avait indiqué un procédé nouveau d'intégration qui supplée à la méthode de Monge lorsque celle-ci n'est pas applicable, et permet de déterminer l'intégrale, toutes les fois qu'elle ne contient pas de signe d'intégration....
1. Notice sur les Travaux scientifiques de M. GASTON DARBOUX.
Rédigée par lui-même à l'appui de sa candidature comme membre de l'Académie des Sciences, dans la Section de Géométrie.
2. Sur le Problème de PFAFF.
La méthode que Pfaff a fait connaître en 1814, pour l'intégration d'une équation aux dérivées partielles à un nombre quelconque de variables indépendantes, a été longtemps négligée....
Cependant, la méthode de Pfaff, qui est, d'ailleurs, la généralisation de celle qu'on doit à Lagrange pour le cas de deux variables indépendantes, offre de sérieux avantages....
Je me suis proposé d'expliquer la solution du problème de Pfaff sans rien emprunter à la théorie des équations aux dérivées partielles, et je me suis surtout attaché à mettre en évidence les propriétés d'invariance qui jouent un rôle fondamental dans cette solution. G. D.
La première Partie de ce Mémoire a été écrite en 1876 par M. G. Darboux et exposée en janvier 1877 par M. J. Bertrand au Collège de France.
1. Sur la série de Laplace.
Lagrange a donné une importante série servant au développement en série convergente des racines d'une certaine équation. Laplace a exposé une formule plus générale, mais moins simple que celle de ce géomètre. M. G. Darboux est parvenu à simplifier la formule de Laplace et a ainsi trouvé un résultat analogue à celui de Lagrange.
2. Sur les séries dont le terme général dépend de deux angles et qui servent à exprimer des fonctions arbitraires entre des limites données.
3. 4. Mémoire sur l'approximation des fonctions de très grands nombres et sur une classe étendue de développements en série.
5. Sur les développements en série des fonctions d'une seule variable.
6. Sur les différentielles des fonctions de plusieurs variables indépendantes.
7. Note sur une fonction numérique.
8. Sur les différentielles successives des fonctions de plusieurs variables indépendantes.
9. Sur les différentielles successives des fonctions de plusieurs variables et sur une propriété des fonctions algébriques.
10. 11. Mémoire sur les fonction discontinues.
Je reprends, en donnant tous les développements nécessaires, la définition de l'intégrale définie d'après Riemann, et je montre comment cette définition doit conduire à une infinité de fonctions continues n'ayant pas de dérivée.
Laissant ensuite de côté la définition des fonctions continues comme intégrales, j'expose quelques principes sur les séries dont les termes sont des fonctions de la variable indépendante. G. D.
12. 13. Sur les solutions singulières des équations aux dérivées ordinaires du premier ordre.
Dans le second Mémoire, M. G. Darboux complète les résultats indiqués dans le premier, et donne un théorème précis faisant connaître dans quelles circonstances une équation différentielle peut admettre une intégrale ou solution singulière.
14. Mémoire sur les solutions singulières des équations aux dérivées partielles du premier ordre.
Ce Mémoire, présenté au Concours pour le grand prix des Sciences mathématiques (Géométrie), a été couronné.
15. Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre.
Dans l'état actuel de la Science, on connaît peu de choses sur les équations aux dérivées partielles du second ordre....
Je me propose d'exposer les principes seulement d'une nouvelle méthode qui, sans donner la solution complète du problème, me paraît constituer un progrès dans la théorie des équations aux dérivées partielles. G. D.
16. Sur la théorie des équations aux dérivées partielles.
17. Sur les équations aux dérivées partielles du second ordre.
Dans ce Mémoire, qui contient les Notes nos 15 et 16, M. G. Darboux développe une troisième application de la méthode qu'il a proposée.
18. Sur l'existence de l'intégrale dans les équations aux dérivées partielles d'ordre quelconque.
19. 20. Sur les équations aux dérivées partielles.
M. G. Darboux montre que l'on peut adjoindre à une équation quelconque aux dérivées partielles une équation auxiliaire, linéaire, dont l'étude conduit à des résultats très importants se rapportant à l'équation proposée; puis il applique cette méthode à deux problèmes de Géométrie: l'un se rapporte à une famille d'un système triple orthogonal, l'autre à la recherche des surfaces applicables sur une surface donnée.
21. Sur l'équation auxiliaire.
22. 23. Sur une équation différentielle du quatrième ordre.
24. Application d'une méthode de M. Hermite à l'équation linéaire à coefficients constants avec second membre.
25. 26. Sur les systèmes formés d'équations linéaires à une seule variable indépendante.
27. Remarque sur une Lettre de Laplace à Condorcet.
M. G. Darboux rectifie une règle pour l'intégration des équations différentielles linéaires, donnée par Laplace dans une Lettre à Condorcet.
28. Sur une proposition relative aux équations linéaires.
29. Sur une équation linéaire.
30. Sur une équation linéaire aux dérivées partielles.
31. Sur les équations linéaires à deux variables indépendantes.
32. Sur certains systèmes d'équations différentielles linéaires.
33. 34. Sur les systèmes d'équations différentielles homogènes.
35. Sur la première méthode donnée par Jacobi pour l'intégration des équations aux dérivées partielles du premier ordre.
36. Mémoire sur l'existence de l'intégrale dans les équations aux dérivées partielles contenant un nombre quelconque de fonctions et de variables indépendantes.
37. Note sur deux intégrales elliptiques qui se présentent sous forme indéterminée.
38. Remarque sur une Note de M. Ch. Méray,
Intitulée Sur des systèmes d'équations aux dérivées partielles qui sont dépourvues d'intégrales, contrairement à toute prévision.
39. Sur les équations différentielles du premier ordre et du premier degré.
40. Mémoire sur les équations différentielles algébriques du premier ordre et du premier degré.
41. De l'emploi des solutions particulières d'une équation différentielle du premier ordre et du premier degré dans la recherche de l'intégrale générale.
42. De l'emploi des solutions particulières algébriques dans l'intégration d'un système d'équations différentielles algébriques.
43. Sur l'intégration de l'équation dx2 + dy2 = dz2 et de quelques équations analogues.
44. Sur la résolution de l'équation dx2 + dy2 + dz2 = ds2 et de quelques équations analogues.
Dans ce Mémoire, M. G. Darboux complète les résultats qu'il a indiqués en 1873 (no 43) et en déduit de nouvelles conséquences.
45. Sur l'équation de Riccati.
Ce Mémoire est inséré dans In Memoriam Dominici Chelini Collectanea Mathematica.
46. Sur l'application du théorème fondamental d'Abel relatif aux intégrales algébriques à la recherche de systèmes complètement orthogonaux dans un espace à n dimensions.
Ce Mémoire est inséré dans le premier des deux Tomes des Acta mathematica imprimés Niels Henrik Abel in Memoriam.
1. Sur la résolution de l'équation du quatrième degré.
2. Mémoire sur la théorie algébrique des formes quadratiques.
Cette Thèse est un travail étendu et fort important sur les surfaces orthogonales. Elle comprend trois Parties.
La première, intitulée: Étude d'un système remarquable de coordonnées orthogonales, contient différentes propriétés des coordonnées curvilignes formées par le triple système orthogonal auquel l'auteur et M. Moutard ont été conduits, chacun de son côté. La seconde Partie renferme des Recherches sur les surfaces orthogonales en général. M. Darboux, prenant pour point de départ le théorème de M. Dupin, d'après lequel dans tout système triple de surfaces orthogonales les courbes d'intersection des surfaces sont leurs lignes de courbure, auquel il ajoute comme complément l'énoncé suivant: Quand deux systèmes de surfaces orthogonales se coupent suivant les lignes de courbure de ces surfaces, il existe un troisième système orthogonal aux deux premiers, donne d'abord une démonstration simple de ce théorème de M. Ossian Bonnet, que la recherche de tous les systèmes orthogonaux revient à l'intégration complète d'une équation aux différences partielles du troisième ordre à trois variables indépendantes. Puis il fait connaître une Nouvelle méthode de recherche des systèmes orthogonaux, fondée sur l'emploi d'une certaine fonction auxiliaire V. La troisième Partie contient des Applications de la méthode exposée dans la deuxième Partie. L'auteur considère d'abord une classe particulière de systèmes orthogonaux dans lesquels les surfaces d'un même système s'obtiennent en déplaçant l'une d'elles parallèlement à elle-même par une simple translation sans altération de forme. La détermination de la fonction V dépend alors de l'intégration d'une équation aux différences partielles du troisième ordre à deux variables indépendantes. Le second cas traité par M. Darboux est celui des surfaces pour lesquelles les lignes de courbure sont planes dans les trois systèmes. Les intégrations s'effectuent alors complètement, et le résultat, d'une forme très simple, contient trois fonctions arbitraires; ces surfaces sont, dans certains cas, un exemple des systèmes orthogonaux étudiés dans le paragraphe précédent, c'est-à-dire que chacun des trois systèmes est formé par une surface de forme invariable qui se déplace parallèlement à elle-même. Le troisième et dernier cas se rapporte aux systèmes pour lesquels chaque surface peut être partagée en carrés infiniment petits par ses lignes de courbure. M. Darboux avait déjà observé, dans la première Partie, que les surfaces du triple système orthogonal antérieurement découvert par M. Moutard et par lui jouissent de la propriété dont il s'agit. Par une analyse savante et extrêmement ingénieuse, il fait voir maintenant que ce dernier système est le seul qui réponde à la question.
Dans le travail actuel, notre Correspondant s'est proposé d'étudier une classe remarquable de courbes et de surfaces du quatrième ordre, qui se rapprochent par leurs propriétés des courbes et des surfaces du second degré. Ces propriétés ont fait l'objet des études de plusieurs géomètres; M. Darboux les soumet à une revision d'ensemble, dans laquelle il expose, en même temps que des propriétés nouvelles, des propriétés connues et qui ont déjà été publiées soit par d'autres géomètres, soit par lui.
Ces courbes et ces surfaces jouissent de la propriété de se transformer les unes dans les autres quand on les soumet à une transformation par rayons vecteurs réciproques. Aussi l'Auteur a-t-il consacré la première Partie de son travail à l'étude analytique et détaillée de cette transformation dans ses rapports avec la théorie des imaginaires et avec celle des focales des surfaces, qui lui est due pour les surfaces du degré supérieur, et qu'il a développée pour la première fois dans un travail inséré aux Annales de l'École Normale en 1865. Nous signalerons dans cette Partie la définition des foyers des courbes planes et sphériques, celle des focales des courbes gauches et des surfaces, et la théorie complète d'une classe importante de surfaces développables imaginaires circonscrites au cercle de l'infini, et que l'Auteur a appelées développables focales. On remarquera, dans cette Partie du travail, un moyen simple de trouver l'équation différentielle des surfaces applicables sur une surface donnée, et l'explication des solutions singulières de cette équation, la démonstration du théorème que, lorsque les lignes de courbure d'une surface ont une enveloppe, cette enveloppe, en laissant de côté un cas exceptionnel, se compose d'une suite de droites isotropes, etc.
Dans la deuxième et la troisième Partie de cette étude, se trouve comprise l'étude détaillée des cycliques. C'est ainsi que l'Auteur nomme les courbes sphériques, intersections de la sphère et d'une surface du second degré, et les courbes planes qui en sont les transformées par rayons vecteurs réciproques. Les classifications de ces courbes, leur mode de génération, leurs propriétés métriques et focales sont successivement examinés. Il est facile de comprendre l'intérêt qui s'attache à cette étude, si l'on remarque que les coniques sphériques, les ovales de Descartes, la cissoïde de Dioclès, les spiriques de Perseus, les ovales et l'ellipse de Cassini, les podaires de coniques, le limaçon de Pascal, la fenêtre de Viviani font partie de cette classe très générale de courbes, et sont réunis ici dans une étude commune. Quelques-unes d'entre elles, analogues à l'ellipse de Cassini, ont des propriétés semblables à celles du cercle, et l'Auteur donne pour toutes des propriétés analogues à celle de l'angle inscrit dans le cercle. En même temps l'étude de ces courbes fournit à l'Auteur une occasion d'appliquer des principes généraux relatifs à la transformation des relations où entrent les imaginaires. Je signalerai en particulier un procédé nouveau pour déduire, des théorèmes généraux sur les coniques planes et sphériques, les propriétés focales de ces courbes.
Les cycliques sont, après les courbes du troisième degré, les courbes les plus simples, dont l'étude se ramène à celle des fonctions elliptiques. L'Auteur signale rapidement ce lien, qui a été déjà étudié complètement à un point de vue général par M. Clebsch.
Les surfaces analogues aux courbes cycliques sont les surfaces du quatrième ordre, ayant le cercle de l'infini pour ligne double, et les surfaces du troisième ordre qui contiennent le cercle.
Elles ont d'abord été étudiées en 1864 par M. Moutard, mais déjà en 1863 M. Kummer avait étudié d'une manière générale les surfaces du quatrième ordre à ligne double, qui comprennent les précédentes comme cas particulier. On sait que ces surfaces donnent lieu à un système de coordonnées curvilignes orthogonales tout à fait analogue au système des coordonnées elliptiques, qui a rendu à la Science de si grands services entre les mains de Lamé et de Jacobi.
L'Auteur étudie les propriétés analytiques et géométriques, la classification des sections planes des surfaces que nous venons de définir, et qu'il appelle des cyclides, parce qu'elles comprennent comme cas très particulier la cyclide de M. Dupin qu'on pourra distinguer sous le nom de cyclide à lignes de courbure circulaires. En un mot, on a un exposé complet de la théorie de ces surfaces si importantes, qui trouveront sans aucun doute de belles applications, et qui paraissent être en quelque sorte l'intermédiaire par lequel on étendra aux surfaces de degré supérieur une foule de propositions de la théorie des surfaces du second degré.
Les premières recherches de M. Darboux ont eu pour objet la théorie des surfaces orthogonales, question sur laquelle les beaux théorèmes de Dupin et les travaux de MM. Bonnet et Serret avaient fortement attiré l'attention des géomètres. On connaissait depuis longtemps un système de ce genre, formé de surfaces homofocales du second ordre. La découverte d'un système analogue, faite simultanément par M. Darboux et par M. Moutard, excita un vif intérêt. Un peu plus tard, M. Darboux, généralisant le problème pour l'étendre aux fonctions d'un nombre quelconque de variables, forma les équations aux dérivées partielles analogues à celle que M. Bonnet avait donnée pour le cas des surfaces, et qui sont la condition nécessaire et suffisante pour que la question admette une solution. Il fit voir en outre que d'un système orthogonal à n variables on peut déduire un système analogue à n – 1 variables; théorème important, qui permettait de tirer du système déjà connu à cette époque une infinité de systèmes nouveaux. Enfin, comme corollaire de ces recherches, il détermina les lignes de courbure des surfaces tétraédrales de Lamé.
Dans un autre Mémoire, Sur les systèmes linéaires de coniques et de surfaces de second ordre, il a également déterminé les lignes asymptotiques d'un grand nombre de surfaces (surfaces de Steiner, surface des centres de l'ellipsoïde, surfaces tétraédrales, etc.).
Les théorèmes célèbres de Poncelet et de Chasles sur les polygones inscrits et circonscrits à des coniques ont été pour M. Darboux l'occasion d'une nouvelle et importante série de recherches. Il en donne une démonstration nouvelle, montre leur liaison avec la théorie de la transformation des fonctions elliptiques, et enfin les étend aux polygones inscrits dans un ellipsoïde.
Nous devons citer encore, parmi les travaux géométriques de M. Darboux, un Mémoire justement remarqué sur les groupes de points, de cercles et de sphères; une élégante application des fonctions elliptiques à l'étude des déformations d'un quadrilatère articulé; un Ouvrage sur les théorèmes d'Ivory; un autre Livre plus étendu, intitulé: Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques et sur la théorie des imaginaires. Ce dernier Ouvrage et les notes qui l'accompagnent ont été très favorablement appréciés par les géomètres les plus éminents, et contiennent une foule de résultats remarquables. Nous nous bornerons à signaler une méthode nouvelle et très simple pour former l'équation différentielle des surfaces applicables sur une surface donnée, et cette proposition que les coordonnées d'une surface du troisième ordre (et plus généralement d'une surface cyclide) peuvent s'exprimer par des fonctions hyperelliptiques de deux paramètres variables. L'analogie de ce dernier résultat avec le célèbre théorème de Clebsch sur les courbes du troisième ordre suffit à en faire ressortir l'importance.
Enfin, M. Darboux a publié récemment de nombreuses recherches sur la théorie des surfaces, et notamment sur la détermination des surfaces qui admettent une représentation sphérique donnée....
1. Sur les théorèmes d'IVORY relatifs aux surfaces homofocales du second degré.
Je me propose d'exposer, dans ce travail, certaines propriétés focales des surfaces du second ordre, et aussi des surfaces du quatrième ordre ayant le cercle de l'infini pour ligne double. G. D.
2. Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques et sur la théorie des imaginaires.