Cet important travail comprend:
La transformation, par rayons vecteurs réciproques, des foyers et des focales;
L'étude d'une classe remarquable de courbes du quatrième ordre, de certaines propriétés des imaginaires en Géométrie, d'une classe générale de courbes algébriques;
L'étude analytique et géométrique des surfaces cyclides;
Plusieurs Notes importantes.
3. Leçons sur la théorie générale des Surfaces et les applications géométriques du Calcul infinitésimal.
Cours de Géométrie de la Faculté des Sciences de Paris.
Ire Partie: Généralités. Coordonnées curvilignes. Surfaces minima.
IIe Partie: Les congruences et les équations linéaires aux dérivées partielles. Des lignes tracées sur les surfaces.
IIIe Partie: Lignes géodésiques et courbure géodésique. Paramètres différentiels. Déformation des surfaces.
IVe Partie: Déformation infiniment petite et représentation sphérique.
4. Leçons sur les Systèmes orthogonaux et les Coordonnées curvilignes.
Cours de Géométrie de la Faculté des Sciences de Paris.
Tome I.
1. Note sur une classe de courbes du quatrième ordre et sur l'addition des fonctions elliptiques.
2. Sur un nouveau système de coordonnées et sur les polygones inscrits et circonscrits aux coniques.
3. Sur une série de lignes analogues aux lignes géodésiques.
4. Sur les cercles géodésiques.
5. Remarque au sujet d'une Note de M. Jamet,
Intitulée Sur une propriété des courbes à double courbure.
6. Sur la torsion des courbes gauches et sur les courbes à torsion constante.
7. 8. Sur un théorème relatif à la théorie des courbes gauches.
On sait trouver tous les couples de surfaces qui se correspondent point par point, de telle manière que les deux plans tangents en ces points et la droite qui joint les points de contact forment un système invariable. Je me suis proposé de traiter le problème analogue de la théorie des courbes, c'est-à-dire de rechercher deux courbes qui se correspondent point par point, de telle manière que les tangentes aux points correspondants et la droite qui joint ces points forment un système invariable. G. D.
9. Sur la rectification des ovales de Descartes.
10. Sur la rectification d'une classe de courbes du quatrième ordre.
11. Sur le contact des coniques et des surfaces.
12. Sur le contact des courbes et des surfaces.
13. Remarques sur la théorie des surfaces orthogonales.
Extrait d'une Lettre adressée à M. J.-A. Serret par M. G. Darboux, élève de 3e année à l'École Normale supérieure.
14. Recherches sur les surfaces orthogonales.
M. G. Darboux donne quelques propriétés nouvelles des surfaces formant un système triple orthogonal, puis indique un système de surfaces orthogonales du quatrième degré qui admettent pour ligne double le cercle imaginaire de l'infini. Il rappelle la Note no 13.
15. Sur les surfaces orthogonales.
Depuis les travaux de MM. Dupin et Lamé sur les surfaces orthogonales, le problème de la recherche des systèmes orthogonaux a pris une grande importance. ... M. O. Bonnet, en 1861, a montré que le problème se ramène à l'intégration d'une équation aux dérivées partielles du troisième ordre linéaire par rapport aux dérivées d'ordre supérieur. ... Je me propose de démontrer ce résultat en suivant une voie tout à fait différente. G. D.
16. Sur les coordonnées orthogonales.
17. Sur les surfaces orthogonales.
Thèse pour le grade de Docteur ès Sciences mathématiques, soutenue devant la Faculté des Sciences de Paris le 14 juillet 1866.
Cette Thèse comprend l'Étude d'un système remarquable de coordonnées orthogonales, des Recherches sur les surfaces orthogonales en général et des Applications.
18. Sur les systèmes de surfaces orthogonales.
19. Sur une nouvelle série de systèmes orthogonaux algébriques.
20. 21. Sur l'équation du troisième ordre dont dépend le problème des surfaces orthogonales.
22. Sur le problème des surfaces orthogonales.
23. Sur une classe de systèmes orthogonaux comprenant comme cas particulier les systèmes isothermes.
24. Sur les systèmes orthogonaux comprenant une famille de surfaces du deuxième degré.
25. Mémoire sur la théorie des coordonnées curvilignes et des systèmes orthogonaux.
26. Sur l'équation aux dérivées partielles du troisième ordre des systèmes orthogonaux.
M. G. Darboux montre que la théorie de Lamé conduit à un moyen simple de former l'équation dont il s'agit, et même de l'écrire avec un système de variables quelconques.
27. Note sur une Communication de M. S. Carrus,
Intitulée Sur les familles de surfaces à trajectoires orthogonales planes.
28. Sur les trajectoires orthogonales d'une famille de surfaces.
29. Sur un problème relatif à la théorie des systèmes orthogonaux et à la méthode du trièdre mobile.
30. 31. Détermination des systèmes triples orthogonaux qui comprennent une famille de cyclides de Dupin et, plus généralement, une famille de surfaces à lignes de courbure planes dans les deux systèmes.
32. 33. Second Mémoire sur la détermination des systèmes triples orthogonaux qui comprennent une famille de cyclides de Dupin.
34. Théorèmes sur les surfaces cyclides.
35. Mémoire sur les surfaces cyclides.
36. Détermination des lignes de courbure de la surface de quatrième classe, corrélative de la cyclide, qui admet le cercle de l'infini comme ligne double.
37 à 43. Sur la représentation sphérique des surfaces.
M. G. Darboux donne la solution du problème suivant, qu'il a posé le premier dans toute sa généralité: Trouver toutes les surfaces qui ont une représentation sphérique donnée, après avoir fait remarquer que le problème de la recherche des surfaces à lignes de courbure planes et sphériques en est un cas particulier.
44. Des courbes tracées sur une surface et dont la sphère osculatrice est tangente en chaque point à la surface.
45. Détermination des lignes de courbure d'une classe de surfaces et en particulier des surfaces tétraédrales de Lamé.
46. Sur la forme des lignes de courbure dans le voisinage d'un ombilic.
47. Observations sur une Note de M. Eugène Cosserat,
Intitulée Sur les surfaces qui peuvent, dans plusieurs mouvements différents, engendrer une famille de Lamé.
48. Sur les familles de Lamé engendrées par le déplacement d'une surface qui demeure invariable de forme.
49. 50. Détermination d'une classe particulière de surfaces à lignes de courbure planes dans un système et isothermes.
51. Sur la surface des centres de courbure d'une surface algébrique.
52. Réponse aux Observations de M. Catalan,
Contenues dans sa Note intitulée Remarques sur une Note de M. Darboux, relative à la surface des centres de courbure d'une surface algébrique.
Il s'agit d'une proposition que M. G. Darboux a énoncée et d'après laquelle une équation différentielle prise au hasard n'a pas de solution singulière.
53. Sur la surface des centres de courbure de l'ellipsoïde et sur les coordonnées elliptiques.
54. Sur les surfaces dont la courbure totale est constante.
55. Sur les surfaces à courbure constante.
56. Sur l'équation aux dérivées partielles des surfaces à courbure constante.
57. Sur les lignes géodésiques de l'ellipsoïde.
58. Sur la théorie des surfaces minima.
59. Sur un problème relatif à la théorie des surfaces minima.
60. Sur les surfaces dont la courbure totale est constante.
La théorie des surfaces dont la courbure totale est constante a les rapports les plus étroits avec celle des surfaces minima, bien qu'elle soit certainement de beaucoup plus difficile. G. D.
61. Sur les surfaces à courbure constante positive.
62. 63. Sur la déformation des surfaces du second degré.
64. Sur la déformation des surfaces générales du second degré.
65. Sur les transformations des surfaces à courbure totale constante.
66. Sur la déformation des surfaces du second degré et sur les transformations des surfaces à courbure totale constante.
Ce Mémoire est l'ensemble des Notes nos 62, 63, 65 et 61.
67. Sur les déformations finies et sur les systèmes triples de surfaces orthogonales.
68. Sur les transformations conformes de l'espace à trois dimensions.
M. G. Darboux donne une démonstration très simple du théorème suivant, dû à J. Liouville: Toutes les transformations conformes de l'espace se ramènent à une inversion ou à une homothétie, précédée ou suivie d'un déplacement.
69. Sur les surfaces isothermiques.
Je voudrais étudier une classe spéciale de surfaces isothermiques (c'est-à-dire à lignes de courbure isothermes) qui interviennent dans la théorie de la déformation des surfaces les plus générales du second degré. G. D.
70. Sur une classe de surfaces isothermiques liées à la déformation des surfaces du second degré.
71. Des surfaces applicables sur le paraboloïde de révolution.
72. Sur les surfaces applicables sur le paraboloïde de révolution.
M. E. Estanave a construit en plâtre des modèles, qui sont à la Sorbonne, des deux surfaces applicables sur la paraboloïde de révolution et définies par M. G. Darboux dans ses Mémoires nos 71 et 72: B S M, t. 29, 1re p., août 1905, p. 225-246.
73. Sur la Géométrie Cayleyenne et sur une propriété des surfaces à génératrice circulaire.
74. Sur une équation différentielle et sur les surfaces spirales.
75. Sur les congruences de courbes et sur les surfaces normales aux droites d'un complexe.
M. G. Darboux a publié en 1870 (B S M, t. 1, p. 348) une Note Sur les systèmes linéaires de coniques et de surfaces du second ordre où se trouvent énoncés sans démonstration un grand nombre de résultats. Dans cette nouvelle Note, il revient sur la proposition suivante: Étant données les normales à une famille de surfaces, on peut déterminer sans intégration toutes les familles de surfaces normales aux mêmes droites, l'énonce autrement, la démontre et lui adjoint quelques autres propositions relatives aux congruences de courbes.
Ce qui donne au Cours de Mécanique de Despeyrous une valeur et un intérêt particuliers, ce sont les nombreuses Notes qu'y a jointes M. G. Darboux, en les extrayant de ses propres travaux parus dans les Mémoires de la Société des Sciences de Bordeaux, le Bulletin des Sciences mathématiques, etc. Arrêtons-nous un instant sur ces Notes, aussi remarquables par la forme que par le fond.
Le but de la Note I est d'examiner à fond les démonstrations purement statiques du parallélogramme des forces (Daniel Bernoulli, D'Alembert, Cauchy, etc.), d'indiquer les postulats qu'il est nécessaire d'introduire pour rester rigoureux et ne rien emprunter à la théorie du mouvement. L'Auteur discute avec beaucoup de finesse et de rigueur tous les points, et prouve que les postulats nécessaires et suffisants peuvent se réduire à quatre: 1º la résultante de plusieurs forces appliquées à un même point doit être unique et déterminée, indépendante de l'ordre dans lequel on les compose; 2º indépendante de l'orientation du système des forces dans l'espace; 3º la loi de la composition des forces doit se réduire à l'addition algébrique dans le cas de forces de même direction; 4º une certaine fonction φ(P) doit être continue (ou être toujours positive)....
La Note VII contient la solution complète de ce joli problème: Trouver la figure d'équilibre d'un fil flexible parcouru par un courant, sous l'action d'un pôle d'aimant. La tension du fil est constante; la figure d'équilibre est une ligne géodésique d'un cône de révolution qui a son sommet au pôle. M. Darboux donne le moyen de construire ce cône, connaissant la longueur du fil et ses extrémités.
La Note VIII constitue un beau Mémoire sur le mouvement d'une figure plane dans son plan. Il y est montré que l'aire décrite par le rayon vecteur d'un point de la figure mobile, quand celle-ci passe d'une position à une autre, est égale à la moitié de la rotation de la figure multipliée par la puissance de ce point par rapport à un cercle déterminé de la figure mobile. Dans les mouvements fermés, le centre de ce cercle est au centre de gravité des courbures (Steiner) de la roulette mobile. Si l'on prend trois points en ligne droite, on trouve des relations élégantes comprenant le théorème de Holditch. De même, en étudiant par l'analyse les enveloppes des droites de la figure, on retrouve le théorème bien connu et celui-ci: L'arc enveloppé par une droite quelconque, entre deux positions, a pour mesure l'angle de rotation multiplié par la distance de la droite à un point fixe de la figure mobile. Ce Mémoire a paru (plus complet) dans le Bulletin de 1878, à la suite d'une très intéressante Communication de M. Liguine sur les aires des roulettes.
Dans la Note IX, M. Darboux décrit un nouveau système articulé à cinq tiges, de M. Hart, propre à décrire une ligne droite et se transformant, dans certaines conditions, en un compas à ellipses. Il donne la théorie de cet appareil et l'extension à un système plus compliqué. On consultera sur ce sujet un autre travail de M. Darboux, publié dans le tome III, 2e série, du Bulletin, et les très instructives Conférences de M. J. Neuberg (Liége, 1886)....
Dans la Note XII, l'Auteur traite un problème posé par M. J. Bertrand à propos des lois de Kepler; il démontre géométriquement ce résultat dû à M. Halphen: Quand une force fonction de la position du point lui fait décrire une trajectoire plane quelle que soit la vitesse initiale, cette force passe par un point fixe ou est parallèle à une droite fixe; il résout par l'analyse cette question: Un point sollicité par une force centrale décrit une conique, trouver la loi de la force en fonction de la position. Outre les deux solutions connues
M. Darboux en trouve deux autres dans lesquelles la force dépend de r et de ω, avec l'équation générale correspondante de la trajectoire; il fait voir qu'il n'y a pas d'autres solutions (Comptes rendus, 1877, 1er semestre, pp. 760 et 936)....
La Note XVI est consacrée au développement d'un théorème énoncé par l'Auteur dans son Mémoire sur les théorèmes d'Ivory: Si l'on sait calculer l'attraction d'un ellipsoïde sur un point quelconque pour une loi d'attraction en fonction ψ'(u) de la distance, on saura la calculer pour la loi
k étant une constante quelconque.
La Note XVII est très importante: elle roule sur l'herpolhodie et sur la théorie de Poinsot. La méthode est entièrement analytique. Après avoir établi les équations de la polhodie, M. Darboux en déduit celles de l'herpolhodie en suivant une voie bien plus commode que celle de Poinsot, habituellement adoptée, et qui consiste à établir entre le rayon vecteur et l'arc de la polhodie une relation qui subsiste nécessairement pour l'herpolhodie. Il se sert de cette remarque: Les aires élémentaires du cône fixe et du cône roulant coïncident, et il en est de même de leurs projections sur le plan tangent à l'ellipsoïde central. Or, on obtient facilement les projections de l'aire élémentaire sur les plans principaux de l'ellipsoïde et les angles de ceux-ci avec le plan tangent, ce qui conduit rapidement et sous forme élégante à l'expression de l'aire élémentaire de l'herpolhodie, le pôle étant à la projection du centre de l'ellipsoïde sur le plan tangent. Joignant cette formule à l'expression de la vitesse rotatoire au moyen du rayon vecteur, on trouve deux équations du mouvement du pôle instantané de rotation du corps sur le plan tangent, de la forme
ρ, θ étant les coordonnées polaires de la courbe, F(ρ2) un polynome du 3e degré en ρ2. Il montre que tout système de deux équations semblables représente une herpolhodie, si l'on a la relation n2 = k2 F(0); mais la surface roulante n'est pas nécessairement un ellipsoïde d'inertie.
M. Darboux met encore l'équation différentielle de l'herpolhodie sous d'autres formes, dont l'une, très simple, lui permet de démontrer presque sans calcul que, dans le cas d'un ellipsoïde d'inertie, la courbe ne peut avoir de point d'inflexion. Ce théorème avait été signalé par M. de Sparre et souvent démontré depuis, mais M. Hess, de Munich, l'avait trouvé dès 1880 (Ueber das Rollen einer Fläche vom zweiten Grade, u. s. w.).
Parmi d'autres résultats importants donnés dans ce travail, notons celui-ci: En combinant la représentation du mouvement par le roulement du cône mobile sur le cône fixe de Poinsot, avec une autre représentation qui lui est due aussi, le roulement d'un troisième cône sur le plan tangent invariable, on peut représenter en même temps la loi du temps, et l'on a une image complète du mouvement du corps. M. Sylvester a donné une solution du même problème (Philos. Trans., 1866): M. Darboux s'en occupe; il établit, au sujet des normales de longueur constante menées à l'ellipsoïde le long de la polhodie, un beau théorème de géométrie, qui lui fournit une infinité de manières de réaliser le mouvement de Poinsot par le roulement d'un ellipsoïde, ou même d'une ellipse, sur un plan fixe. Il déduit de là, sans calcul, la loi du mouvement trouvée par Jacobi au moyen des fonctions elliptiques.
La Note XVIII est intitulée Sur la théorie de Poinsot et sur deux mouvements différents correspondant à une même polhodie. Dans ce travail d'un haut intérêt, la question traitée conduit à des résultats géométriques inattendus et, en combinant un théorème de J. de la Gournerie avec le théorème d'Ivory sur les surfaces homofocales, on obtient le beau théorème de M. Greenhill sur l'hyperboloïde articulé.
La Note XIX, qui exige l'étude de la précédente, est aussi très remarquable. M. Darboux montre d'abord que, dans les deux mouvements de Poinsot qui répondent à une même polhodie, le mouvement relatif d'une herpolhodie par rapport à l'autre est le mouvement d'un corps pesant qui aurait une sphère pour ellipsoïde d'inertie relatif au point fixe. Il ramène à ce cas celui d'un solide de révolution quelconque et retrouve ainsi le beau théorème de Jacobi mis au jour par M. Weierstrass (Œuvres de Jacobi, t. II): Le mouvement le plus général d'un solide pesant autour d'un point de son axe de figure est une combinaison de deux mouvements de Poinsot attribués à un système mobile, l'un par rapport à des axes fixes, l'autre par rapport au corps considéré. Il admet cette représentation géométrique remarquable: le roulement d'un cône qui a pour base une herpolhodie sur une sphère ayant son centre sur la verticale du point fixe, et il étudie la courbe sphérique décrite par le pôle instantané....
La Note XXI, intitulée Étude géométrique sur les percussions et le choc des corps, constitue un Mémoire important sur la théorie des percussions, exposée d'une manière bien plus rigoureuse qu'on ne le fait d'habitude: ce Mémoire renferme plusieurs belles propriétés générales relatives au choc de deux systèmes matériels.
La Note XXII a pour titre: Sur les rapports de la théorie des moments d'inertie avec celle des surfaces homofocales. On connaît, là-dessus, un célèbre théorème de Binet qui donne les axes principaux d'inertie relatifs à un point quelconque de l'espace. En introduisant deux autres espèces de moments d'inertie (relatifs à un point et à un plan), M. Darboux démontre une série de beaux théorèmes concernant les moments d'inertie, les surfaces homofocales, etc.
1. Sur le centre de gravité de certains volumes.
2. 3. Sur le choc des corps.
4. Sur le frottement dans le choc des corps.
5. Étude géométrique sur les percussions et le choc des corps.
6. Sur le tautochronisme quand on a égard au frottement.
7. Recherche de la loi que doit suivre une force centrale pour que la trajectoire qu'elle détermine soit toujours une conique.
8. Problème de Mécanique.
M. G. Darboux résout le problème suivant: Trouver la figure d'équilibre d'un fil flexible inextensible non pesant, traversé par un courant et soumis à l'influence d'un pôle d'aimant.
9. Sur la brachystochrone relative à un point matériel pesant.
10. Étude d'une question relative au mouvement d'un point sur une surface de révolution.
11. Sur le mouvement d'une figure invariable; propriétés relatives aux aires, aux arcs des courbes décrites et aux volumes des surfaces trajectoires.
12. Sur le déplacement d'une figure invariable.
Pour le mouvement d'une figure dans l'espace, on possède, en Géométrie, des propositions générales applicables à tout déplacement, mais on connaît peu de mouvements particuliers. Le plus simple des mouvements dans lesquels tous les points de la figure mobile décrivent des courbes unicursales de degré donné, en laissant de côté la translation, est celui dans lequel tous les points de la figure mobile décrivent des coniques. C'est ce mouvement que M. G. Darboux étudie dans cette Note.
13. Sur le mouvement d'une figure invariable.
14. 15. Sur la théorie de Poinsot et sur deux mouvements correspondant à la même polhodie.
16. Remarque au sujet d'une Note de M. J.-N. Franke,
Intitulée Sur la courbure de l'herpolhodie.
17. Sur l'herpolhodie et sur quelques propositions relatives à la théorie de Poinsot.
18 à 20. Sur le mouvement d'un corps pesant de révolution, fixé par un point de son axe.
Jacobi a énoncé et démontré un théorème d'après lequel le mouvement de rotation d'un corps pesant de révolution, fixé par un point de son axe, peut se ramener à une combinaison des mouvements de rotation de deux solides différents sur lesquels n'agirait aucune force accélératrice. M. G. Darboux, en donnant une démonstration directe et élémentaire de ce théorème, a été conduit à des propositions nouvelles relatives à la représentation cinématique du mouvement.
21. Sur diverses propositions relatives au mouvement d'un corps solide autour d'un point fixe.
22. Sur une question relative au mouvement d'un point sur une surface de révolution.
23. Sur les formules d'Euler et sur le déplacement d'un solide invariable.
24. Sur la sphère de rayon nul et sur la théorie du déplacement d'une figure invariable.
Cette Note est le résumé de Leçons professées par M. G. Darboux à la Sorbonne en 1900 et en 1904.
25. Sur les rapports de la théorie des moments d'inertie avec celle des surfaces homofocales.
26. Sur un problème de Mécanique.