En 1857, Joseph Bertrand remarque que si l'on connaît une intégrale d'un problème de Mécanique pour lequel on sait seulement que les forces dépendent uniquement des coordonnées de leurs points d'application, et nullement des vitesses de ces points, on peut trouver quel est le problème et déterminer les composantes de la force qui sollicite chaque point...
Dans le cas où l'intégrale supposée connue est entière et du second degré par rapport aux vitesses, J. Bertrand n'a fait qu'ébaucher la solution et l'a ramenée à dépendre d'une équation linéaire aux dérivées partielles dont il n'a pas donné l'intégrale générale. C'est sur ce point particulier de ses recherches que je veux revenir aujourd'hui. G. D.
Ce Mémoire fait partie du Livre Jubilaire offert à la Société Hollandaise des Sciences à Harlem par les amis de J. Bosscha, à l'occasion de son soixante-dixième anniversaire, le 18 novembre 1901: La Haye, 1901, gr. in-8o.
27. Remarque sur une Note de M. E. Goursat,
Intitulée Sur les transformations isogonales en Mécanique.
28. Sur la solution particulière que peut admettre le problème du mouvement d'un corps attiré vers deux centres fixes par des forces réciproquement proportionnelles aux carrés des distances.
29. Sur les oscillations infiniment petites d'un système de corps.
M. G. Darboux, en suivant une méthode, due à M. Kronecker, de réduction des formes quadratiques, montre qu'une certaine équation algébrique, établie par Lagrange, admet, contrairement aux affirmations de ce géomètre, des racines égales.
1. 2. Sur des transcendantes qui jouent un rôle important dans la théorie des perturbations planétaires.
3. Sur les lois de Kepler.
4. Sur une loi particulière de la force signalée par Jacobi.
Dans la théorie des forces centrales, on s'occupe surtout du cas où la force dépend seulement de la distance du point mobile au centre attirant. L'illustre Jacobi a signalé une loi plus compliquée de la force, qui est donnée par la formule R = _f_(ω)/_r^2_, r désignant la distance au pôle et ω l'angle polaire. G. D.
5. Sur un problème relatif à la théorie des forces centrales.
6. Sur une extension du théorème d'Ivory relatif à l'attraction des ellipsoïdes.
7. Sur les trois intégrales de Laplace.
M. G. Darboux montre que, d'une propriété, qu'il rappelle, de l'hodographe, dérivent immédiatement les trois intégrales de Laplace pour la solution du problème des trois corps.
1. Sur une nouvelle définition de la surface des ondes.
D'un théorème, dû à M. Niven, relatif à la surface des ondes, M. G. Darboux a déduit, pour cette surface, une définition simple et nouvelle, dont le caractère essentiel est de n'exiger l'emploi d'aucun ellipsoïde. Il montre que la surface des ondes est une simple variété d'une surface du quatrième ordre n'ayant aucun point singulier et contenant 16 coniques isolées.
2. Sur les lignes asymptotiques de la surface des ondes.
3. Sur les lignes de courbure de la surface des ondes.
4. Sur la surface des ondes.
Ce Mémoire contient, avec quelques compléments, les Notes nos 2 et 3.
5. Sur les lignes asymptotiques et sur les lignes de courbure de la surface des ondes de Fresnel.
6. Sur l'application des méthodes de la Physique mathématique à l'étude des corps terminés par des cyclides.
7. Sur des Mémoires de Poisson relatifs à la distribution de l'électricité.
1. Mémoire sur l'Équilibre astatique et sur l'effet que peuvent produire des forces de grandeurs et de directions constantes appliquées en des points déterminés d'un corps solide, quand ce corps change de position dans l'espace.
Il était naturel de chercher à étendre aux systèmes composés de forces quelconques les propriétés du centre des forces parallèles, c'est-à-dire d'examiner comment varie l'effet d'un système quelconque de forces appliquées en des points déterminés du corps solide, soit lorsque, leur grandeur et leur direction demeurant les mêmes, l'orientation du corps vient à changer, soit, ce qui est la même chose, lorsque, le corps demeurant en repos, les forces changent de direction de manière à conserver entre elles les mêmes angles. On peut demander, par exemple, quelles sont les conditions nécessaires pour qu'elles se fassent équilibre dans toutes les positions du corps: nous dirons alors que le corps est en équilibre astatique...
Le travail actuel contient la démonstration des propositions déjà connues dans cet ordre de recherches et celle de plusieurs propriétés qui me paraissent entièrement nouvelles. G. D.
1. Note relative à un Mémoire de Fourier,
Intitulé Solution d'une question particulière du calcul des inégalités.
2. Sur un théorème relatif à la continuité des fonctions.
3. Mémoire sur le théorème de Sturm.
Au lieu d'exposer à part les deux démonstrations connues du théorème de Sturm, celle de l'inventeur et celle de M. Hermite, et d'établir ensuite le lien entre ces deux démonstrations au moyen de l'expression des fonctions de Sturm, due à M. Sylvester, M. G. Darboux développe la théorie tout entière, en employant uniquement la méthode de M. Hermite; il a été ainsi conduit à plusieurs formules nouvelles.
4. Sur une question de priorité.
Dans une Lettre à M. Resal, M. G. Darboux fait remarquer qu'une formule attribuée à M. Laurent par M. Heine est une simple application d'une formule qu'il a donnée au début de son Mémoire no 3.
5. Sur une méthode d'Abel pour déterminer la racine commune à deux équations algébriques.
6. Sur la théorie de l'élimination entre deux équations à deux inconnues.
7. Sur l'élimination entre deux équations algébriques à une inconnue.
8. Note relative à un Mémoire de Fourier,
Intitulé Sur l'usage du théorème de Descartes dans la recherche des limites des racines.
M. G. Darboux restitue à Fourier la découverte d'un théorème attribuée à Budan par Arago.
9. Sur la méthode d'approximation de Newton.
1. Sur un mode de transformation des figures et son application à la construction de la surface du deuxième ordre déterminée par neuf points.
2. Sur les modes de transformation qui conservent les lignes de courbure.
3. Sur les polygones inscrits et circonscrits à l'ellipsoïde.
4. Sur les polygones inscrits à une conique et circonscrits à une autre conique.
5. Sur une classe de courbes unicursales.
Laguerre a donné, en 1882, d'intéressantes propriétés de certaines courbes de quatrième classe, qu'il nomme hypercycles. En janvier 1880, M. G. Darboux, dans son Cours à la Sorbonne, a énoncé, relativement à des courbes unicursales de toutes les classes, des propositions qui ont les rapports les plus étroits avec celles qu'a données Laguerre: il développe ces propositions dans cette Note.
6. Sur une propriété du cercle.
A diverses courbes unicursales de classe quelconque, M. G. Darboux étend cette propriété du cercle: Le périmètre du triangle formé par deux tangentes fixes à un cercle et une tangente variable est constant.
7. Sur les systèmes linéaires de coniques et de surfaces du second ordre.
Cette Note ne contient que des énoncés; mais elle embrasse toute cette théorie qui, depuis, a pris un si grand développement.
8. Sur les caractéristiques des systèmes de coniques et de surfaces du second ordre.
9. Mémoire sur une classe de courbes et de surfaces.
10. Sur une surface du cinquième ordre et sa représentation sur le plan.
11. Sur la représentation des surfaces algébriques.
12. Sur les lignes asymptotiques de la surface de Steiner.
13. Sur la surface à seize points singuliers et les fonctions Θ à deux variables.
14. Sur la surface à seize points singuliers.
15. 16. Sur les relations entre les groupes de points, de cercles et de sphères dans le plan et dans l'espace.
La théorie des tétraèdres et des distances mutuelles des points dans le plan et dans l'espace doit, à un grand nombre de géomètres, des formules élégantes établissant des relations entre les aires, les volumes, les distances se rapportant aux groupes considérés.... Je me suis aperçu qu'il pouvait y avoir, dans bien des cas, avantage à considérer ces formules, en les rattachant à certaines formes homogènes qui se présentent naturellement dans cette théorie. G. D.
1. Sur un problème de Géométrie analytique.
Dans une Lettre à M. Brisse, M. G. Darboux donne l'énoncé et la solution d'un problème relatif à des coniques variables passant par quatre points d'une conique fixe.
2. Sur les polygones circonscriptibles à un cercle.
3. De l'emploi des fonctions elliptiques dans la théorie du quadrilatère plan.
4. Sur un Mémoire de M. Dini.
M. G. Darboux étend à l'espace un théorème de M. Dini, relatif aux figures homographiques dans le plan.
5. Sur le théorème fondamental de la Géométrie projective.
Extrait d'une Lettre adressée à M. F. Klein par M. G. Darboux.
6. Remarques sur une Note de Mlle L. Bortniker,
Intitulée Sur un genre particulier de transformations homographiques.
7. Sur les sections du tore.
8. Théorèmes sur l'intersection d'une sphère et d'une surface du second degré.
9. Sur les propriétés métriques des surfaces du second degré.
Il existe trois séries de petits cercles doublement tangents à une conique sphérique, les cercles d'une même série ayant leurs centres sur le même axe de la conique. M. G. Darboux énonce et démontre 14 théorèmes relatifs à ces cercles et les étend aux quadriques.
10. Sur une classe particulière de surfaces réglées.
11 à 28. Notes dans l'Ouvrage intitulé «Application de l'Algèbre à la Géométrie par M. Bourdon»:
| Pages. | ||
| I. | Sur le théorème des projections et la transformation des coordonnées. | 499-510 |
| II. | Sur le centre des distances proportionnelles. | 511-518 |
| III. | Sur la distance d'un point à une droite et sur la surface du triangle déterminé par trois points. | 519-524 |
| IV. | Sur la discussion de l'équation générale du second degré. | 525-532 |
| V. | Sur l'interprétation des inégalités en Géométrie analytique. | 533-537 |
| VI. | Sur les lieux géométriques. | 538-550 |
| VII. | Sur les déterminants et leur application en Géométrie analytique. | 551-558 |
| VIII. | Sur la réduction de l'équation du second degré à sa forme la plus simple par le changement des coordonnées. | 559-566 |
| IX. | Sur les théorèmes relatifs aux diamètres conjugués dans l'ellipse. | 567-572 |
| X. | Sur la théorie des tangentes. | 573-585 |
| XI. | Sur l'intersection de deux courbes du second degré. | 586-593 |
| XII. | Sur l'équation qui détermine les couples de sécantes communes à deux courbes du second degré. | 594-603 |
| XIII. | Sur la détermination des courbes du degré m passant par un nombre donné de points. | 604-608 |
| XIV. | Du plan tangent dans les surfaces algébriques. | 609-616 |
| XV. | Du plan polaire dans les surfaces du second degré. | 617-623 |
| XVI. | Du centre et des plans diamétraux. | 624-629 |
| XVII. | Des plans principaux dans les surfaces du second degré. | 630-638 |
| XVIII. | De la réduction de l'équation du second degré à sa forme la plus simple par le changement des coordonnées. | 639-648 |
1. Sur la composition des forces en Statique.
Dans cette Note, qui se rapporte à une question souvent étudiée, M. G. Darboux se propose de faire l'analyse des postulats qui sont nécessaires dans la démonstration du théorème fondamental de la Statique.
2. Étude sur la réduction d'un système de forces, de grandeurs et de directions constantes, agissant en des points déterminés d'un corps solide, quand ce corps change de direction dans l'espace.
3. Sur le système de quatre forces en équilibre.
4. Note relative à deux théorèmes de Lagrange sur le centre de gravité.
5. Sur l'équilibre astatique.
6. Sur un nouvel appareil à ligne droite de M. Hart.
M. Hart, qui avait déjà trouvé un premier système articulé réalisant, avec cinq tiges seulement, la description mécanique de la ligne droite, a fait connaître une nouvelle solution du même problème, dans laquelle il emploie le même nombre de tiges.... Nous nous proposons d'exposer la méthode de M. Hart, en la généralisant quelque peu et en mettant en évidence quelques conséquences très simples des résultats obtenus par l'auteur. G. D.
7. Recherches sur un système articulé.
Ce Mémoire se rapporte à un système de deux quadrilatères articulés que M. Kempe a défini et étudié seulement dans certains cas où la déformation est possible. La solution complète que donne M. G. Darboux permet de rattacher à une théorie générale deux appareils dus à M. Hart, au moyen desquels on peut décrire une ligne droite en n'employant que cinq tiges articulées.
8. Sur deux appareils nouveaux de Mécanique.
En commun avec M. G. Kœnigs.
Le premier de ces appareils, fondé sur un théorème démontré par M. G. Darboux (C M D, Note XVIII), a pour but de décrire le plan dans l'espace au moyen de tiges articulées. Le second fournit une représentation du mouvement d'un corps solide tournant librement autour de son centre de gravité; il est fondé sur l'utilisation simultanée, faite par M. G. Darboux (C M D, Note XVII), des deux modes, indiqués par Poinsot, de représentation de ce mouvement.
9. Nouvelle démonstration des formules d'Euler et d'Olinde Rodrigues.
10. Sur les mouvements algébriques.
11. Sur les renversements et les inversions planes.
1. Étude sur le Développement des Méthodes géométriques.
Conférence lue, le 24 septembre 1904, à la Section de Mathématiques appliquées du Congrès international d'Arts et de Science de l'Exposition universelle de Saint Louis.
Lus en séances publiques annuelles de l'Académie des Sciences par M. GASTON DARBOUX, en qualité de Secrétaire perpétuel.
1. Éloge historique de Joseph-Louis-François Bertrand,
Lu le 16 décembre 1901.
2. Éloge historique de François Perrier,
Lu le 21 décembre 1903.
3. Notice historique sur Charles Hermite,
Lue le 18 décembre 1905.
4. Notice historique sur Antoine d'Abbadie,
Lue le 2 décembre 1907.
Antoine d'Abbadie, explorateur de l'Éthiopie, membre de la section de Géographie et Navigation de l'Académie des Sciences, appartenait par ses origines et sa famille au Pays Basque. Il avait constitué dans le voisinage de Hendaye une belle propriété de plus de 300 hectares, au centre de laquelle il avait fait construire un magnifique château et un Observatoire astronomique. Pour assurer la continuation de son œuvre, il a légué cette propriété à l'Académie en lui imposant la condition de poursuivre les observations astronomiques qu'il avait commencées. M. l'abbé Verschaffel est à la tête de cet Observatoire, qui est placé sous la direction du Secrétaire perpétuel pour les Sciences mathématiques.
5. Notice historique sur le Général Meusnier,
Lue le 20 décembre 1909.
1. A l'Inauguration de la statue de J.-B. Dumas,
A Alais, le lundi 21 octobre 1889, Discours prononcé par M. G. Darboux, au nom de la Faculté des Sciences.
2. Aux Funérailles de Hébert,
A Paris, le mardi 8 avril 1890, Discours prononcé par M. G. Darboux, au nom de la Faculté des Sciences.
3. Aux Funérailles de Ossian Bonnet,
A Paris, le vendredi 24 juin 1892, Discours prononcé par M. G. Darboux, au nom de la Faculté des Sciences.
4. A l'Inauguration de la statue du Général Perrier,
A Valleraugue (Gard), le dimanche 28 août 1892, Discours prononcé par M. G. Darboux, au nom de l'Académie des Sciences.
5. Aux Funérailles de Joseph Bertrand,
A Paris, le vendredi 6 avril 1900, Discours prononcé par M. G. Darboux, au nom de la Société de secours des Amis des Sciences.
6. Sur Émile Fernet,
Allocution prononcée par M. G. Darboux, Secrétaire perpétuel.
7. Sur Marcelin Berthelot,
Allocution prononcée par M. G. Darboux, Secrétaire perpétuel.
8. Sur A. de Lapparent,
Allocution prononcée par M. G. Darboux, Secrétaire perpétuel.
9. Aux Funérailles de Henri Becquerel,
A Paris, le 29 août 1908, Discours prononcé par M. G. Darboux, au nom de l'Académie des Sciences.
1. A la Cérémonie de l'Hommage à M. de Lacaze-Duthiers,
A Paris, le 1er juillet 1909, Discours prononcé par M. G. Darboux, en qualité de Doyen de la Faculté des Sciences.
2. A la XVIe Conférence «Scientia»,
A Paris, le 28 juin 1900, Discours prononcé par M. G. Darboux, Président de cette réunion, à laquelle «beaucoup de savants, élèves et admirateurs, amis ou collègues de M. Darboux, avaient tenu à assister».
3. A la première Assemblée générale de l'Association Internationale des Académies,
A Paris, du 16 au 20 avril 1901, Discours prononcé par M. G. Darboux, en qualité de Président de cette Assemblée.
4. A l'Ouverture du Congrès international d'Arts et de Science,
A Saint Louis, le 19 septembre 1904, Allocution de M. G. Darboux, en qualité de Représentant de la France au Congrès.
5. Au Banquet officiel du Congrès international d'Arts et de Science,
A Saint Louis, le 23 septembre 1904, Discours prononcé par M. G. Darboux, en qualité de Représentant de la France au Congrès.
6. A la Séance générale du Congrès des Sociétés Savantes,
A Montpellier, le 6 avril 1907, Discours prononcé par M. G. Darboux, en qualité de Président du Congrès.
7. Au troisième centenaire de l'exploration de la rivière Hudson et au premier centenaire du lancement du Clermont par Robert Fulton,
Adresse de M. G. Darboux, Délégué de la République Française, au Gouverneur de l'État de New York, au Maire de la Ville de New York et aux Membres de la Commission Hudson-Fulton, lue le 27 septembre 1909.
1. Les origines, les méthodes et les problèmes de la Géométrie infinitésimale.
Conférence lue à Rome au palais Corsini, le 7 avril 1908, devant le IVe Congrès des Mathématiciens.
1. Sur Jules Hoüel.
2. Sur Marius Sophus Lie.
3. Sur Moutard.
4. Sur les Travaux scientifiques de Michel Chasles.
5. Sur Albert Gauthier-Villars.
M. G. Darboux, après MM. Ch. Wolf et J. Bertrand, rappelle les titres de M. A. Gauthier-Villars à la reconnaissance du monde savant.
6. La Vie et les Travaux de Paul Serret.
7. Sur Amédée Mannheim.
8. Sur Marcelin Berthelot.
9. Sur Henri de Parville.
10. Sur Hébert, Hermite, Duchartre, Pasteur, Tisserand, Hermite, A. Joly, Friedel, de Lacaze-Duthiers.
1. Rapport relatif à la Répartition du Fonds Bonaparte.
2. Rapport relatif à la Fondation Jean Debrousse.
3 à 6. Rapports sur divers Concours de Prix décernés par l'Académie des Sciences.