1. Die unmittelbaren Schlüsse oder Folgerungen.

Schließen heißt im logischen Sinne des Wortes: aus einem oder mehreren gegebenen Urteilen ein davon verschiedenes denknotwendig ableiten. Ein Schluß ist demnach derjenige Denkprozeß, durch den aus einem oder mehreren gegebenen Urteilen ein davon verschiedenes denknotwendig abgeleitet wird. Die überlieferte Logik unterscheidet zweierlei Hauptarten von Schlüssen: unmittelbare oder Folgerungen und mittelbare oder Schlüsse im eigentlichen Sinne. Unmittelbare Schlüsse sind solche, in denen die Ableitung aus einem, mittelbare solche, in denen die Ableitung aus einer Mehrheit von Urteilen erfolgt.

Ist die Folgerung die denknotwendige Ableitung eines Urteils aus einem davon verschiedenen gegebenen Urteil, so ist sie als Ganzes aus zwei Urteilen zusammengesetzt: dem Folgerungsurteil als demjenigen, welches — dem Grundurteil als demjenigen, aus welchem gefolgert wird[11]. Es ist ersichtlich, daß für das Folgerungsurteil zwei spezielle Bedingungen seiner formalen und materialen Gültigkeit in Betracht kommen: 1. die formale und materiale Gültigkeit seines Grundurteils, 2. die formale Gültigkeit des Folgerungsprozesses selbst. Die Gültigkeit des Folgerungsurteils — unter der Voraussetzung einer formal gültigen Ableitung — steht und fällt also mit der Gültigkeit des Grundurteils.

Die speziellen Arten der Folgerungen ergeben sich aus der Verschiedenheit der formalen Veränderungen, durch die aus dem Grundurteil das Folgerungsurteil gewonnen wird. Die traditionelle Logik unterscheidet als Hauptarten der Folgerungen solche durch: formale Äquipollenz; Konversion; Kontraposition; Subalternation und Opposition; zu diesen kommen noch zwei weniger wichtige Arten durch Modalitätswechsel und gleichsinnige Inhaltsänderung.

Folgerungen durch formale Äquipollenz (formale Gleichwertung) sind solche, bei denen aus einem gegebenen Urteil bei gleicher Stellung der materialen Urteilsglieder ein Urteil abgeleitet wird, das von dem Grundurteil nur seiner Form nach verschieden ist. Spezielle Fälle solcher Folgerungen sind[12]:

Wichtiger als die Folgerungen durch formale Äquipollenz sind die durch Konversion (Umkehrung). Sie bestehen darin, daß das Folgerungsurteil durch Vertauschung der materialen Glieder des Grundurteils gewonnen wird, wobei die Qualität der Aussage bestehen bleibt. Jenachdem ob die quantitative Bestimmtheit des Subjekts im Folgerungsurteil dieselbe bleibt wie im Grundurteil oder sich verändert, nennt man die Konversion eine reine (conversio pura, simplex) oder unreine bzw. veränderte (conversio impura, per accidens). — Folgerungen durch reine Umkehrung sind möglich:

Aus dem Verfahren der formalen Äquipollenz und Konversion zusammengesetzt ist die Folgerungsweise durch Kontraposition (Umwendung). Diese geschieht, indem die materialen Glieder des Grundurteils miteinander die Stelle wechseln und die bejahenden Urteile ihrer Form nach verneinende, die verneinenden ihrer Form nach bejahende werden. Folgerungen durch Kontraposition sind rein möglich: 1. aus allgemein bejahenden Urteilen (Grdurt.: „alle Werke Schopenhauers sind stilistisch gewandt geschrieben“; Flgsurt.: „keine stilistisch ungewandte Schrift ist ein Werk Schopenhauers“); 2. aus partikulär verneinenden Urteilen (Grdurt.: „manche Völker Asiens sind in der Kultur nicht mitfortgeschritten“; Flgsurt.: „ein Teil der in der Kultur nicht mitfortgeschrittenen sind die Völker Asiens“). Nur unrein oder verändert sind Folgerungen durch Kontraposition möglich aus allgemein verneinenden Urteilen; während sich aus partikulär bejahenden Urteilen keinerlei denknotwendige Folgerungen herleiten lassen:

Auf anderem Wege als bei den Folgerungen durch Konversion und Kontraposition kommen die Folgerungen durch Subalternation (Umordnung) zustande. Diese sind denknotwendige Ableitungen aus einem als wahr oder falsch beurteilten allgemeinen oder partikulären Urteil, dessen quantitative Bestimmtheit im Folgerungsurteil verändert, dessen Qualität aber dieselbe bleibt. Wenn es wahr ist, daß alle S ← P sind, dann ist es auch wahr, daß einige S ← P sind; und wenn es wahr ist, daß kein S ← P ist, dann ist es auch wahr, daß einige S ← nicht P sind. Wir nennen diese Ableitung von partikulären Urteilen aus allgemeinen Folgerungen durch Unterordnung, und können — da aus der Falschheit eines allgemeinen Urteils auf die Falschheit des ihm untergeordneten partikulären nicht denknotwendig geschlossen werden kann — sagen: Die Folgerungen aus der Wahrheit eines allgemeinen Urteils auf die Wahrheit des ihm untergeordneten sind gültig, die gleichen Folgerungen aus der Falschheit ungültig (in scholastischer Sprache bezeichnet als „Dictum de omni et nullo“)[13]. — Umgekehrt verhalten sich die Dinge bei den Folgerungen durch Überordnung (d. h. den Ableitungen allgemeiner aus partikulären Urteilen). Wenn es falsch ist, daß einige S ← P sind, dann ist es auch falsch, daß alle S ← P sind; und wenn es falsch ist, daß einige S ← nicht P sind, dann ist es auch falsch, daß alle S ← nicht P sind. Wir können also — da aus der Wahrheit eines partikulären Urteils auf die Wahrheit des entsprechenden übergeordneten nicht denknotwendig geschlossen werden kann — sagen: Die Folgerungen aus der Falschheit eines partikulären Urteils auf die Falschheit des ihm übergeordneten sind gültig, die gleichen Folgerungen aus der Wahrheit ungültig. Beide Gesetze kurz zusammengefaßt: Gültige Ableitungen durch Subalternation sind die Folgerungen durch Unterordnung aus der Wahrheit, durch Überordnung aus der Falschheit.

Den Folgerungen durch Subalternation verwandt sind die Folgerungen durch Opposition (Entgegensetzung). Darunter versteht man solche unmittelbaren Schlüsse, durch die aus der Wahrheit (oder Falschheit) eines quantitativ bestimmten Urteils auf die Falschheit (oder Wahrheit) des entsprechenden Urteils von entgegengesetzter Qualität gefolgert wird. Vorerst ist hierbei folgendes zu bemerken: Die Urteile: „alle S ← P“ und „einige S ← nicht P“, sowie: „kein S ← P“ und „einige S ← P“ heißen nach alter logischer Tradition kontradiktorisch-entgegengesetzte; die Urteile: „alle S ← P“ und „alle S ← nicht P“ konträr-entgegengesetzte und die Urteile: „einige S ← P“ und „einige S ← nicht P“ subkonträr-entgegengesetzte. Unter Zugrundelegung dieser Bezeichnungen ergibt sich: Wenn eines der Urteile „alle S ← P“ und „kein S ← P“ als wahr (oder falsch) gegeben ist, dann ist das ihnen kontradiktorisch-entgegengesetzte Urteil „einige S ← nicht P“ bzw. „einige S ← P“ falsch (oder wahr). Diese Tatsachen folgen unmittelbar aus den logischen Grundsätzen des Widerspruches und vom ausgeschlossenen Dritten. Danach können wir sagen: Die Folgerungen durch kontradiktorische Opposition sind durchweg gültig. Nicht ebenso liegen die Dinge bei den Folgerungen durch konträre und subkonträre Opposition. Wenn das Urteil „alle S ← P“ wahr ist, dann ist das Urteil „alle S ← nicht P“ falsch; wenn das Urteil „alle S ← P“ aber falsch ist, dann braucht es darum noch nicht wahr zu sein, daß „alle S ← nicht P“ sind. Mithin können wir sagen: Die Folgerungen durch konträre Opposition sind nur gültig aus der Wahrheit. Und weiter: Wenn es falsch ist, daß „einige S ← P“ sind, dann ist es wahr, daß „einige S ← nicht P“ sind; wenn es aber wahr ist, daß „einige S ← P“ sind, dann braucht es deswegen noch nicht falsch zu sein, daß „einige S ← nicht P“ sind. Die Folgerungen durch subkonträre Opposition sind also nur gültig aus der Falschheit. Alle drei Regeln kurz zusammengefaßt, gewinnen wir die logische Formel: Gültige Ableitungen sind die Folgerungen durch kontradiktorische Opposition aus der Wahrheit und Falschheit, durch konträre Opposition aus der Wahrheit und subkonträre Opposition aus der Falschheit.

2. Die Arten der mittelbaren Schlüsse und die kategorischen Deduktionen.

Mittelbare Schlüsse (oder Schlüsse im eigentlichen Sinne) sind solche, in denen aus einer Mehrheit gegebener Urteile ein davon verschiedenes denknotwendig abgeleitet wird. Die Urteile, aus denen abgeleitet wird, nennen wir Grundurteile oder Prämissen (die traditionelle Logik nennt sie grammatisierend „Vordersätze“), das Urteil, das abgeleitet wird, Schlußurteil oder Konklusio (Schlußsatz). Wo mittelbare Schlüsse nicht mehr als zwei Prämissen haben, nennt man die eine die obere (Obersatz), die andere die untere (Untersatz). So ist z. B. in dem Schlußverfahren: „Alle Körper ziehen einander an; Erde und Mars sind Körper; also ziehen Erde und Mars einander an“ das allgemeine Urteil: „alle Körper ziehen einander an“ die obere Prämisse (Obersatz), das spezielle Urteil: „Erde und Mars sind Körper“ die untere Prämisse (Untersatz) und das Endurteil: „also ziehen Erde und Mars einander an“ die Konklusio (Schlußsatz). Es ist ohne weiteres ersichtlich, daß nicht beliebig gewählte Urteile Prämissen für einen Schluß bilden können. Ein Schluß ist nur möglich, wenn die Grundurteile eine bestimmte logische Beziehung zueinander haben, oder genauer gesagt: einen denknotwendigen Zusammenhang untereinander herleiten. So wird z. B. in dem angeführten Beispiel ein denknotwendiger Zusammenhang hergestellt durch den in beiden Grundurteilen als gemeinsames materiales Glied enthaltenen Begriff „Körper“, indem zunächst ein allgemeines Gesetz über die Anziehung von Körpern aufgestellt, dann Erde und Mars als der Gattung Körper zugehörig bezeichnet und daraus geschlossen wird, daß Erde und Mars als Körper aufeinander nach dem Gesetz der Anziehung aller Körper einwirken. Auch hier wiederum liegen die Dinge so, daß die Gültigkeit des Schlußurteils — die formal-gültige Ableitung vorausgesetzt — mit der Gültigkeit der Prämissen steht und fällt.

Jenachdem ein Schluß von einem allgemeinen Urteil als Obersatz zu einem besonderen Urteil als Schlußsatz oder aber von besonderen Urteilen als Prämissen zu einem allgemeinen als Konklusio übergeht, nennt man ihn einen Schluß entweder vom Allgemeinen aufs Besondere oder vom Besonderen aufs Allgemeine. Zu diesen zählt die überlieferte Logik noch eine dritte Art von Schlüssen: die vom Besonderen aufs Besondere. Nach herkömmlicher Weise bezeichnet man die Schlüsse vom Allgemeinen aufs Besondere als deduktive oder Deduktionen, die Schlüsse vom Besonderen aufs Allgemeine als induktive oder Induktionen und die Schlüsse vom Besonderen aufs Besondere als Schlüsse per analogiam oder Analogieschlüsse.

Besprechen wir zunächst die deduktiven Schlüsse. Die überlieferte Lehre von den Schlußformen teilt die Deduktionen in die drei Hauptarten der kategorischen, hypothetischen und disjunktiven Schlüsse. Beispiele dafür sind: 1. Kategorischer Schluß: „Alle Römer waren kriegerisch; Cäsar war ein Römer; also war Cäsar kriegerisch“; 2. hypothetischer Schluß: „Wenn Cäsar ein Römer war, war er kriegerisch; Cäsar war ein Römer; also war Cäsar kriegerisch“; 3. disjunktiver Schluß: „Soldaten sind entweder tapfer oder keine Soldaten; Cäsar war tapfer; also war Cäsar ein Soldat.“ Diese Einteilung besteht jedoch nicht zu Recht. Es wird sich zeigen, daß die disjunktiven Schlüsse den kategorischen und hypothetischen nicht schlechthin koordiniert werden dürfen, da sie nicht wie diese einfach, sondern eigentümliche Zusammensetzungen von kategorischen und hypothetischen Schlüssen bilden. Demnach sind die deduktiven Schlüsse einzuteilen in einfache Deduktionen und Zusammensetzungen von solchen. Einfache Deduktionen sind teils die von der elementaren Form der eben erwähnten kategorischen Schlüsse (wir nennen sie kategorische oder elementare Deduktionen oder mit Aristoteles Syllogismen), teils die angeführten hypothetischen Schlüsse; Zusammensetzungen von deduktiven Schlüssen, sog. Ketten, sind teils reinliche, d. h. solche, die nur aus kategorischen Deduktionen gebildet sind, teils gemischte, d. h. solche, deren Analyse sowohl kategorische wie hypothetische Schlüsse als Bestandteile aufweist. Ordnen wir die Arten der deduktiven Schlüsse in einem übersichtlichen Schema, dann ergibt sich:

Erörtern wir fürs erste die Arten der kategorischen Deduktion. Als solche unterscheidet man nach Aristotelischem Vorbilde drei gültige Formen, die man von alters her als syllogistische Figuren (figurae Aristotelicae) bezeichnet[14]. Diese sind nach ihrer allgemeinsten Form:

Die materialen Bestandteile sind in allen drei Schlußformen dieselben: S, P und M, wobei M dasjenige Urteilselement bildet, das als beiden Prämissen gemeinsam den denknotwendigen Zusammenhang herstellt, aus welchem das Schlußurteil folgt. Man nennt dieses daher den Mittelbegriff (terminus medius), die beiden anderen materialen Glieder des Schlusses, die übereinstimmend in allen drei Figuren das Subjekt und Prädikat des Schlußurteils bilden, die äußeren Begriffe (termini externi). Von der Stellung des Mittelbegriffes in den Prämissen hängt die Einteilung der kategorischen Deduktionen ab. In der ersten Figur ist der Mittelbegriff Subjekt des Obersatzes und Prädikat des Untersatzes, in der zweiten Prädikat und in der dritten Subjekt beider Prämissen. Will man sich die Arten der Syllogismen hiernach durch ein einfaches Hilfsmittel der Anschauung mnemotechnisch näher bringen, so kann man die Stellung des Mittelbegriffes durch einen Pfeil symbolisieren, woraus das Bild entsteht:

Der Mittelbegriff ist bildlich gesprochen die Seele des syllogistischen Schlußverfahrens. Ohne Mittelbegriff kein syllogistischer Schluß; und jeder Syllogismus wird zum Fehlschluß (Paralogismus), in dem mit dem Mittelbegriff in den beiden Prämissen nicht ein und derselbe Inhalt gedacht wird. Nach der Bedeutung des Mittelbegriffes können wir den Syllogismus auch definieren als dasjenige Schlußverfahren, in dem aus zwei Urteilen, die eines ihrer materialen Glieder gemeinsam haben, ein drittes über deren nichtgemeinsame Bestandteile notwendig abgeleitet wird.

Besprechen wir die syllogistischen Figuren im einzelnen:

I. Als Grundform der ersten syllogistischen Figur haben wir genannt: M ← P; S ← M; also S ← P. Diese Grundform hat vier Modifikationen:

Es ist ohne weiteres ersichtlich, daß in dieser Aufstellung die Modifikationen a und b sowie c und d zusammengehören. Wir können sagen: a und b machen die erste, c und d die zweite Schlußweise der ersten Figur aus. Der Gedankengang der ersten Schlußweise ist folgender: Wenn einem Subjekt S das Prädikat M zukommt, dem Prädikat M ein Prädikat P, so kommt auch dem Subjekt S mittelbar das Prädikat P zu. Demnach können wir als logisches Prinzip der ersten Schlußweise der ersten Figur den Grundsatz aufstellen: Jedem Subjekt kommt mittelbar das Prädikat seines Prädikats zu. Der Gedankengang der zweiten Schlußweise der ersten Figur ist dem der ersten analog: wenn einem Subjekt S ein Prädikat M zukommt, ein Prädikat P von diesem M aber ausgeschlossen ist, so ist dieses P auch von S ausgeschlossen. Als logisches Prinzip der zweiten Schlußweise der ersten Figur können wir mithin schreiben: Keinem Subjekt kommt mittelbar als Prädikat zu, was nicht Prädikat eines Prädikats von ihm ist. — Als spezielle Bedingungen des Schlußverfahrens der ersten Figur lassen sich folgende zusammenstellen: 1. Die obere Prämisse muß allgemein sein, kann jedoch bejahend oder verneinend sein; 2. die untere Prämisse kann allgemein oder partikulär, muß jedoch bejahend sein. (Sind beide Prämissen negativ, so ist überhaupt kein Schluß möglich.) 3. Der Subjektsumfang des Schlußurteils richtet sich nach dem der unteren Prämisse, seine Qualität nach der der oberen. Beispiele der beiden Schlußweisen der ersten Figur sind:

(Entsprechende Beispiele für die Modifikationen b und d ergeben sich leicht.)

II. Die Grundform der zweiten syllogistischen Figur lautet: P ← M; S ← M; also S ← P. In ihren Modifikationen ergibt sie folgendes Bild:

Einer besonderen Erwähnung bedürfen diejenigen Syllogismen, in denen beide Prämissen und demzufolge auch die Konklusio aus Relationsurteilen bestehen. Hierhin gehören z. B. viele mathematische Schlüsse (auch die Formen des Rechnens), ferner alle diejenigen Deduktionen, in denen aus dem Verhältnis der Gleichheit, Ähnlichkeit oder Verschiedenheit zweier Gegenstände zu einem dritten auf die Gleichheit, Ähnlichkeit oder Verschiedenheit untereinander geschlossen wird (Grundform: S = M, M = P, also S = P). In diesen Formen ist der Mittelbegriff M der gemeinsame Beziehungspunkt, zu dem die materialen Glieder des Schlußurteils (S und P) in Relation gesetzt werden. Ihr logisches Prinzip ist also: Stehen zwei Begriffe zu einem dritten unmittelbar in logischer Relation, so stehen sie mittelbar auch untereinander in einer solchen. Daß es sich hier um Syllogismen handelt, kann nicht in Zweifel gezogen werden; wenngleich diese Formen von den oben besprochenen, deren Prämissen als Inhärenzurteile gedacht waren, charakteristisch abweichen. Man könnte jene geradezu Inhärenzsyllogismen, diese Relationssyllogismen nennen. Daß sie nicht, wie oben vom Syllogismus gesagt, Schlüsse vom Allgemeinen aufs Besondere bilden, beweist nicht, daß sie keine Syllogismen, wohl aber, daß die überlieferte Lehre, die im Syllogismus allemal einen Schluß vom Allgemeinen aufs Besondere sieht, einer Revision bedarf. — Als Beispiele der mannigfachen Formen von Relationssyllogismen seien hier aufgeführt:

Die gegebenen Ausführungen über die kategorischen Deduktionen beziehen sich durchgehends auf solche Fälle, in denen die Prämissen aus einfachen Urteilen gebildet sind. Demgegenüber muß betont werden, daß diese auch aus zusammengesetzten Urteilen, sowohl aus Beurteilungen wie Urteilsverbindungen und -gefügen, bestehen können. Die Schlußformen selbst erleiden dadurch keine Veränderung. Daß aus zwei verneinenden Beurteilungen als Grundurteilen kein Schluß möglich sei, ist bereits früher hervorgehoben worden. Sind beide Prämissen Beurteilungen apodiktischer Gültigkeit, dann ist auch das Schlußurteil apodiktisch; sind beide als assertorisch oder beide als problematisch beurteilt, dann hat auch das Schlußurteil assertorische oder problematische Modalität. Ist eine der Prämissen nur problematisch gültig, dann ist das Schlußurteil stets problematisch, selbst dann, wenn die andere Prämisse apodiktisch gilt. Und endlich: Ist die obere Prämisse tatsächlich, die untere notwendig gültig, dann ist das Schlußurteil assertorisch; ist jedoch die obere Prämisse notwendig, die untere tatsächlich gültig, dann kommt auch dem Schlußurteil apodiktische Modalität zu. Beispiele für diese Möglichkeiten ergeben sich dem, der ihrer bedarf, mit leichter Mühe.

Eine kurze Besprechung erfordern noch die Schlüsse, bei denen beide Prämissen hypothetische Gefüge sind. Sie sind Syllogismen, wenn sie (gleich den kategorischen Deduktionen aus einfachen Urteilen) drei materiale Bestandteile enthalten, deren einer das Mittelglied bildet (G = Grund; M = Mittelbegriff; F = Folge). Stellen wir bei ihrer Darstellung aus Gründen der Deutlichkeit die untere vor die obere Prämisse, dann ergibt sich folgendes Bild:

Syllogismen aus hypothetischen Prämissen: