3. Hypothetische Deduktionen und Zusammensetzungen deduktiver Schlüsse.

Von den Syllogismen aus hypothetischen Prämissen (als einer Unterart der kategorischen Deduktionen) sind streng zu scheiden die hypothetischen Deduktionen, die wir oben als zweite Art der einfachen deduktiven Schlüsse den elementaren Deduktionen entgegengesetzt haben. Hypothetische Deduktionen sind einfache Schlüsse, deren obere Prämisse ein hypothetisches Gefüge ist, während die untere Prämisse das eine Glied, das Schlußurteil das andere Glied dieses Gefüges enthalten, die darin entweder als gültig oder als ungültig beurteilt werden. Als Beispiel dieser diene zunächst ihre einfachste Form: „Wenn Q ← R, dann S ← P; nun Q  ← R gültig; also S ← P gültig.“ Deduktive Schlüsse sind die hypothetischen Ableitungen, weil die obere Prämisse in der ausgesagten Beziehung von Grund und Folge eine Regel ausdrückt, aus der an der Hand der bejahenden oder verneinenden Beurteilung eines ihrer Glieder die Gültigkeit oder Ungültigkeit des anderen Gliedes des Gefüges geschlossen wird.

Entsprechend den in der Urteilslehre angeführten Grundformen hypothetischer Gefüge, von denen die vierte und letzte die Form der Verneinung hypothetischer Urteile darstellt [1. wenn G, dann F; 2. wenn G nicht, dann F; 3. wenn G nicht, dann F nicht; 4. wenn G, dann F nicht], ergeben sich folgende Hauptformen hypothetischer Deduktionen mit ihren Modifikationen, die man als „modi ponentes“ und „modi tollentes“ (setzende und aufhebende Möglichkeiten) bezeichnet:

Die Schlußweise der hypothetischen Deduktionen geht also immer von der Wahrheit des Grundes auf die Wahrheit der Folge, von der Falschheit der Folge auf die Falschheit des Grundes. Die Voraussetzung der Gültigkeit des Schlußurteils ist neben der formalgültigen Ableitung wie bei allen Schlüssen die Gültigkeit der Prämissen. Ist z. B. das hypothetische Gefüge der oberen Prämisse falsch, so kann auch das Schlußurteil falsch sein; und ganz dasselbe gilt, wenn die untere Prämisse des hypothetischen Schlusses falsch ist. — Als Beispiel der Grundformen des „modus ponens“ (I) und des „modus tollens“ (II) seien angeführt:

Die traditionelle Logik hat den kategorischen und hypothetischen Deduktionen den disjunktiven Schluß als dritte einfache Form der deduktiven Schlüsse koordiniert. Schon oben war dagegen zu betonen gewesen, daß diese Einteilung falsch ist, weil die disjunktiven Schlüsse nicht einfache, sondern gemischte Zusammensetzungen einfacher Schlüsse sind. Das sei hier näher begründet:

Reinliche Zusammensetzungen deduktiver Schlüsse sind solche, die nur aus kategorischen Schlüssen zusammengesetzt sind; (reinliche Zusammensetzungen aus hypothetischen Schlüssen sind nach dem Wesen dieser nicht möglich). Die einfachste Form reinlicher Zusammensetzungen sind diejenigen Verbindungen von Schlüssen, in denen der Schlußsatz eines Syllogismus gleichzeitig den Obersatz eines anderen Syllogismus bildet; der in seiner Stellung vordere Syllogismus heißt dabei Prosyllogismus, der hintere Episyllogismus. Jenachdem die ganze Ableitung aus zwei, drei, vier oder mehr Syllogismen zusammengesetzt ist, heißt sie eine zwei-, drei-, vier- oder vielgliedrige Schlußkette (Polysyllogismus).

Von den Schlußketten scheidet man die sog. Kettenschlüsse (Sorites), die im Grunde jedoch lediglich verkürzte Schlußketten sind. In ihnen werden nämlich die Schlußsätze der einzelnen syllogistischen Glieder einfach übersprungen. Dem Verlauf des natürlichen Denkens stehen sie darum näher als die zuerst erwähnten Schlußketten. Zeigt doch dieses immer die Tendenz, das irgend Entbehrliche auszuscheiden und den Gesamtprozeß der Ableitung zu verkürzen. Nach alter logischer Tradition zerfallen die Kettenschlüsse in zwei Arten, deren erste man nach ihrem Entdecker den Aristotelischen, deren zweite man nach ihrem Entdecker Rudolf Goclenius, einem Marburger Philosophen aus den Jahren 1547-1628, den Goclenischen Sorites nennt. (B. Erdmann schlägt nach ihrem Wesen für den Goclenischen den Namen subsumierender, für den Aristotelischen den Namen analysierender Sorites vor.) Ihrer logischen Grundform nach sehen Schlußkette, Aristotelischer und Goclenischer Kettenschluß folgendermaßen aus:

Aus der Schlußkette a ist durch Ausfall der Schlußurteile der einzelnen Glieder der Goclenische, aus der Schlußkette b der Aristotelische Kettenschluß ableitbar. Darum gelten für beide Arten von Ketten die gleichen allgemeinen Regeln, deren wichtigste besagen: Das Schlußurteil einer Kette kann nur allgemein sein, wenn alle Prämissen allgemein sind, ist aber partikulär, sobald eine ihrer Prämissen partikuläre Quantität hat. Ferner: das Schlußurteil einer Kette kann nur bejahend sein, wenn alle ihre Prämissen bejahend sind, ist aber verneinend, wenn eine ihrer Prämissen negativ ist. Wie es Syllogismen aus beurteilenden, Syllogismen aus hypothetischen Grundurteilen gibt, so auch Schlußketten und Kettenschlüsse. Als Hauptformen der Kettenschlüsse aus hypothetischen Gefügen seien aufgeführt: 1. wenn G, dann M1; wenn M1, dann M2; wenn M2, dann M3; wenn M3, dann F; also: wenn G, dann F; 2. wenn G, dann M1; wenn M1, dann M2; wenn M2, dann M3; wenn M3, dann nicht F; also: wenn G, dann nicht F. Die Modalität des Schlußurteiles einer Kette ist problematisch, wenn eines ihrer Glieder ein problematisches Urteil ist. Formen von Schlußketten und Kettenschlüssen aus Relationsurteilen sind nach den oben angeführten Beispielen von Polysyllogismen leicht aufzustellen. (Ausführliches hierzu bei Drobisch, Neue Darstellung der Logik, 4. Aufl. 1875, § 105 ff.)

Die gemischten Zusammensetzungen deduktiver Schlüsse bedürfen nach den dargestellten Voraussetzungen keiner näheren Erörterung mehr. Schon oberflächliche Prüfung ergibt das Vorhandensein einer Mannigfaltigkeit von möglichen Verbindungen hypothetischer mit kategorischen Deduktionen, mit Schlußketten und Kettenschlüssen, zum Teil — wie bei den oben besprochenen disjunktiven Zusammensetzungen — solche, in denen außer mittelbaren Schlüssen deduktiver Konsequenz unmittelbare Schlüsse oder Folgerungen mit eingewebt sind. Als Beispiele gemischter Zusammensetzungen deduktiver Schlüsse seien ihrer Form nach noch aufgeführt:

4. Logische Theorie des deduktiven Schließens.

Die logische Theorie des deduktiven Schließens hat Antwort zu geben auf die Frage: Welcher Art sind in den deduktiven Schlußweisen die Beziehungen zwischen den Prämissen und der Konklusio, genauer gesagt: die Beziehungen zwischen den einzelnen materialen Gliedern des ganzen Schlußverfahrens?

Bei den hypothetischen Deduktionen ergeben sich die hierher gehörigen Bestimmungen leicht. Sind im hypothetischen Gefüge die beiden Elemente im logischen Verhältnis von Grund und Folge zueinander gedacht, dann besteht zwischen ihnen das Verhältnis, daß in der Gültigkeit des Grundes die der Folge, in der Ungültigkeit der Folge die des Grundes notwendig eingeschlossen ist. Diese logische Tatsache bildet das Fundament der hypothetischen Schlüsse und begründet zugleich ihre Berechtigung. Als logischen Grundsatz der hypothetischen Deduktionen können wir mithin den Satz aufstellen: Mit dem Grunde ist die Folge denknotwendig gesetzt, mit der Folge der Grund denknotwendig aufgehoben.

Nicht so einfach liegen die Dinge bei den kategorischen Deduktionen. Den mannigfachen Theorien des Urteils entsprechen ebenso viele Theorien des syllogistischen Schließens, die kurz skizziert seien:

Der oben entwickelten logischen Theorie des Urteils entspricht eine Einordnungstheorie des Syllogismus. Kommt einem Subjekt das Prädikat M, diesem das Prädikat P zu oder auch nicht zu, dann kommt eben diesem Subjekt mittelbar auch das Prädikat P zu oder nicht zu (S ← M ← P = S (M)← P). Das syllogistische Schließen ist demnach ein Urteilen, und zwar ein mittelbares (d. h. ein durch Urteile vermitteltes) Urteilen. Als Grundsatz der kategorischen Deduktionen können wir mithin schreiben: Jedem Subjekt kommt mittelbar das Prädikat seines Prädikats zu, und keinem Subjekt kommt mittelbar zu, was nicht Prädikat eines Prädikats von ihm ist (Erdmann).

Diese Formulierung gilt aber ersichtlich nur für solche Syllogismen, deren Prämissen fürs erste einfache, zum zweiten Inhärenzurteile sind (Prinzip der mittelbaren Inhärenz). Für die oben sog. Relationssyllogismen und Syllogismen aus hypothetischen Prämissen haben wir mithin den entwickelten Grundsatz noch zu erweitern. Daraus ergeben sich die logischen Grundsätze: Stehen zwei Begriffe zu einem dritten in logischer Relation, so stehen sie mittelbar auch untereinander in einer solchen (Prinzip der mittelbaren Relation); und: Mit dem Grunde ist wie die Folge auch die Folge seiner Folge mittelbar gesetzt; von dem Grunde ist als mittelbare Folge alles ausgeschlossen, was von einer seiner Folgen als Folge ausgeschlossen ist (Prinzip der mittelbaren Folge).

Prämissen und Konklusio verhalten sich in allen deduktiven Schlüssen wie logischer Grund und Folge. Wie aus der Wahrheit der Prämissen bei formal gültiger Ableitung die Wahrheit des Schlußsatzes, so folgt aus der Falschheit des Schlußsatzes umgekehrt, daß entweder die Ableitung formal ungültig oder aber eine der Prämissen falsch ist. Daß aus falschen Prämissen gelegentlich auch Richtiges folgen kann, beweist gegen diese Tatsachen so wenig, wie der Umstand, daß bei mehreren Fehlern in einer Rechnung gelegentlich Richtiges herauskommt, gegen die Zahlenverhältnisse des kleinen Einmaleins.

5. Die induktiven Schlüsse und die Theorie der Induktion.

Induktive Schlüsse sind solche, in denen aus einer Mehrheit besonderer Urteile ein davon verschiedenes zusammenfassend- oder erweiternd-allgemeines Urteil abgeleitet wird. Sie sind mithin Schlüsse vom Besonderen aufs Allgemeine; ihrer Einteilung nach entweder zusammenfassende oder erweiternde Induktionen.

Das Wesen der zusammenfassenden (auch: registrierenden) Induktionen besteht darin, daß eine beliebig große Anzahl gegebener Urteile mit gleichem Subjekt oder Prädikat im Schlußurteil zu einem Urteil vereinigt wird, wobei die Konklusio in dem einen Fall eine kopulative, im anderen eine konjunktive Urteilsverbindung wird. Demnach können wir ihre Arten als kopulative und konjunktive Zusammenfassungen auseinanderhalten. Als selbständige Schlußweisen haben diese Ableitungen nur untergeordnete Bedeutung, weil ihr Schlußurteil lediglich in formaler Hinsicht von den Prämissen abweicht, dagegen material über den Bestand des in den Prämissen Ausgesagten nicht hinausgeht. Dagegen bilden sie Voraussetzungen der erweiternden Induktionen, als deren logische Vorstufe sie darum bezeichnet werden müssen. — Ihrer — positiven (a) und negativen (b) — Grundform nach lauten sie:

Nicht nur formal, sondern auch material von den Prämissen verschieden ist die Konklusio in den sog. erweiternden Induktionen. Diese sind Schlußweisen, in denen aus den gegebenen besonderen Urteilen nicht ein zusammenfassend-, sondern ein erweiternd-allgemeines Urteil abgeleitet wird; und jenachdem ob diese Erweiterung von einigen Arten einer Gattung auf diese Gattung als Ganzes (Umfangserweiterung) oder von einigen Merkmalen eines Begriffes auf dessen Inhalt überhaupt (Inhaltserweiterung) geht, sind sie zweckmäßig teils als verallgemeinernde, teils als ergänzende Erweiterungen zu bezeichnen. Ordnet man die Arten der induktiven Schlüsse nach alledem in einem übersichtlichen Schema, dann ergibt sich folgende Tafel: