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Ich wähle als Beispiel für die Art, wie eine Seele sich im Bilde ihrer Umwelt zu verwirklichen sucht, inwiefern also gewordne Kultur Ausdruck und Abbild einer Idee menschlichen Daseins ist, die Zahl, die aller Mathematik als schlechthin gegebenes Element zugrunde liegt. Und zwar deshalb, weil die Mathematik, in ihrer ganzen Tiefe den wenigsten erreichbar, einen einzigartigen Rang unter allen Schöpfungen des Geistes behauptet. Sie ist eine Wissenschaft strengsten Stils wie die Logik, aber umfassender und bei weitem gehaltvoller; sie ist eine echte Kunst neben der Plastik und Musik, was die Notwendigkeit einer leitenden Inspiration und die großen formalen Konventionen in ihrer Entwicklung angeht; sie ist endlich eine Metaphysik vom höchsten Range, wie Plato und vor allem Leibniz beweisen. Jede Philosophie ist bisher in der Verbundenheit mit einer zugehörigen Mathematik erwachsen. Die Zahl ist die bildgewordene Idee der kausalen Notwendigkeit, wie die Vorstellung von Gott, die jede Kultur aus ihrer tiefsten Tiefe neu gestaltet, die bildgewordene Idee der Notwendigkeit des Schicksals ist. In diesem Sinne darf man das Dasein von Zahlen ein Mysterium nennen, und das religiöse Denken aller Kulturen hat sich diesem Eindruck nie entzogen.
Wie alles Werden das ursprüngliche Merkmal der Richtung (Nichtumkehrbarkeit), so trägt alles Gewordne das Merkmal der Ausdehnung und zwar so, daß nur eine künstliche Trennung der Bedeutung dieser Worte möglich erscheint. Das eigentliche Geheimnis alles Gewordnen und also (räumlich-stofflich) Ausgedehnten aber verkörpert sich im Geistigen jeder Kultur im Typus der mathematischen (starren) im Gegensatz zur chronologischen Zahl. Und zwar liegt in ihrem Wesen die Absicht einer mechanischen Grenzsetzung. Die Zahl ist darin dem Worte verwandt, das — als Begriff, „begreifend“, „bezeichnend“ — ebenfalls Welteindrücke abgrenzt. Das Tiefste ist hier allerdings unfaßlich und unaussprechlich. Die wirkliche, zum Ding gewordene Zahl, das exakt vorgestellte, gesprochene, geschriebene Zahlzeichen — Ziffer, Formel, Zeichen, Figur —, das allein der mathematischen Behandlung unterliegt, ist wie das gedachte, gesprochene, geschriebene Wort bereits ein optisches Symbol dafür, versinnlicht und mitteilbar, in welchem die Grenzsetzung abgebildet erscheint. Der Ursprung der Zahlen gleicht dem Ursprung des Mythus. Der Römer erhob die numina, unbestimmbare Natureindrücke („das Fremde“) zu Gottheiten, indem er sie durch einen Namen, sie begrenzend, bannte. Ebenso sind Zahlen und Worte gestaltetes, in Form gebanntes Weltgefühl. Mit ihnen gelangt der Geist („das Eigne“) zur Macht. Mit ihnen ordnet und zergliedert er die Welt. Alle echten Erkenntnisakte — nicht Erlebnisakte — als solche an das Vorhandensein einer Kultursprache gebunden, bezwecken das gleiche. Die Definition, das Urteil, das Gesetz, das System sind Resultate vollzogener Grenzsetzungen und die Feststellung eines Kausalverhältnisses, in der sich das Wesen aller Naturwissenschaft erschöpft, besteht lediglich in der präzisen Abgrenzung zweier Eindrücke, die im Hinblick auf die Zahl Ursache und Wirkung, im Hinblick auf das Wort Grund und Folge heißen. Hierauf beruht die innere Verwandtschaft des Baues einer hochentwickelten Sprache (Grammatik, Satzbau) mit der zugehörigen Mathematik. Die Logik ist immer eine Art Mathematik und umgekehrt. Mithin liegt auch in allen Bewußtseinsakten, welche zur mathematischen Zahl in Beziehung stehen — messen, zählen, zeichnen, wägen, ordnen, teilen —, die gemeinsame Tendenz auf Abgrenzung von Gewordnem und Ausgedehntem und erst durch kaum noch bewußte Akte dieser Art gibt es für den wachen Menschen objektive Gegenstände, Eigenschaften, Beziehungen, Einzelnes, Einheit und Mehrheit, kurz die als notwendig und unerschütterlich empfundene Struktur desjenigen Weltbildes, das er „Natur“ nennt und als solche „erkennt“. Natur ist das Zählbare. Geschichte ist der Inbegriff dessen, was zur Mathematik kein Verhältnis hat. Daher die mathematische Gewißheit der Naturgesetze, die staunende Einsicht Galileis, daß die Natur „scritta in lingua matematica“ sei und die von Kant hervorgehobene Tatsache, daß die exakte Naturwissenschaft genau so weit reicht wie die Möglichkeit der Anwendung mathematischer Methoden.
In der Zahl als dem Zeichen der vollendeten extensiven Begrenzung liegt demnach, wie Pythagoras infolge einer großartigen, durchaus religiösen Intuition mit innerster Gewißheit begriff, das Wesen alles Wirklichen, das geworden, erkannt, begrenzt zugleich ist. Indes darf man Mathematik, wenn man darunter den Besitz einer eingebornen virtuellen Zahlenwelt versteht, nicht mit der viel engeren wissenschaftlichen Mathematik, der Lehre von den Zahlen verwechseln. Das eine ist eine erschöpfende und notwendige Eigenschaft des Bewußtseins, das andere eine mögliche Art, sie geistig zu entwickeln. Die geschriebene Mathematik, ein System starrer Sätze, repräsentiert so wenig wie die in theoretischen Werken niedergelegte Philosophie den ganzen Besitz dessen, was im Schoße einer Kultur an mathematischen und philosophischen Möglichkeiten vorhanden war. Es gibt noch ganz andere Wege, das den Zahlen zugrunde liegende Urgefühl zu versinnlichen, das Gewordne und Ausgedehnte, sei es Stoff oder Raum, einem gestaltenden Prinzip zu unterwerfen. Am Anfang jeder Kultur steht ein archaischer Stil, den man nicht nur in der frühhellenischen Kunst hätte geometrisch nennen können. Es liegt etwas Gemeinsames, ausdrücklich Mathematisches im Dipylonstil der altgriechischen Grabvasen, im Tempelstil der 4. Dynastie Ägyptens mit seiner unbedingten Herrschaft der geraden Linie und des rechten Winkels, im hieratischen Stil der altchristlichen Sarkophagreliefs und im romanischen Ornament. Jede Linie, jede menschliche oder Tierfigur mit ihrer gar nicht imitativen Tendenz offenbart hier ein mystisches Zahlendenken in unmittelbarer Beziehung auf das Geheimnis und den Kult des Todes (des Starren).
Gotische Dome und dorische Tempel sind steingewordne Mathematik. Gewiß hat Pythagoras die antike Zahl als das Prinzip einer Weltordnung greifbarer Dinge, als Maß oder Größe, wissenschaftlich erfaßt. Aber sie wurde eben damals, ebenfalls als schöne Ordnung von sinnlich-körperhaften Einheiten, durch den strengen Kanon der hellenischen Statue und der dorischen wie ionischen Säulenordnung zum Ausdruck gebracht. Alle großen Künste sind ebensoviel Arten zahlenmäßiger bedeutungsvoller Grenzgebung. Man denke an das Raumproblem in der Malerei. Eine hohe mathematische Begabung kann auch ohne jede Wissenschaft produktiv sein und zum vollen Bewußtsein ihrer selbst gelangen. Man wird doch angesichts des gewaltigen Zahlensinnes, den die Raumgliederung der Pyramidentempel, die Bau-, Bewässerungs- und Verwaltungstechnik, vom ägyptischen Kalender ganz zu schweigen, schon im Alten Reiche um 2800 v. Chr. voraussetzt, nicht behaupten wollen, daß das wertlose „Rechenbuch des Ahmes“ aus dem Neuen Reiche das Niveau der ägyptischen Mathematik bezeichne. Die Eingebornen Australiens, deren Geist durchaus der Stufe des Urmenschen angehört, besitzen einen mathematischen Instinkt oder, was dasselbe ist, einen noch nicht durch Worte und Zeichen bewußt gewordnen Schatz an Zahlen, der in bezug auf die Interpretation reiner Räumlichkeit den griechischen bei weitem übertrifft. Sie haben als Waffe den Bumerang erfunden, dessen Wirkung auf eine gefühlsmäßige Vertrautheit mit Zahlenarten schließen läßt, die wir der höheren geometrischen Analysis zuweisen würden. Sie besitzen dementsprechend — aus einem später zu erläuternden Zusammenhange — ein äußerst kompliziertes Zeremoniell und eine so feine sprachliche Abstufung der Verwandtschaftsgrade, wie sie nirgends, selbst in hohen Kulturen nicht, wieder beobachtet worden ist. Dem entspricht es, daß die Griechen in ihrer reifsten Zeit unter Perikles in Analogie zur euklidischen Mathematik weder einen Sinn für das Zeremoniell des öffentlichen Lebens noch für die Einsamkeit besaßen, sehr im Gegensatz zum Barock, das neben der Analysis des Raumes den Hof des Sonnenkönigs und ein auf dynastischen Verwandtschaften beruhendes Staatensystem entstehen sah.
Es ist der Stil einer Seele, der in einer Zahlenwelt, aber nicht in ihrer wissenschaftlichen Fassung allein zum Ausdruck kommt.