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Daraus folgt ein entscheidender Umstand, der den Mathematikern selbst bisher verborgen geblieben ist.
Eine Zahl an sich gibt es nicht und kann es nicht geben. Es gibt mehrere Zahlenwelten, weil es mehrere Kulturen gibt. Wir finden einen indischen, arabischen, antiken, abendländischen Zahlentypus, jeder von Grund aus etwas Eignes und Einziges, jeder Ausdruck eines andern Weltgefühls, jeder Symbol von einer auch wissenschaftlich genau begrenzten Gültigkeit, Prinzip einer Ordnung des Gewordnen, in der sich das tiefste Wesen einer einzigen und keiner andern Seele spiegelt, derjenigen, welche Mittelpunkt gerade dieser und keiner andern Kultur ist. Es gibt demnach mehr als eine Mathematik. Denn ohne Zweifel ist das architektonische System der euklidischen Geometrie ein ganz andres als das der kartesischen, die Analysis von Archimedes eine andre als die von Gauß, nicht nur der Formensprache, der Absicht und den Mitteln nach, sondern vor allem in der Tiefe, im ursprünglichen Phänomen der Zahl, dessen wissenschaftliche Entwicklung sie darstellt. Diese im Geiste und durch den Geist empfangene Zahl, das Grenzerlebnis, das in ihr mit innerster Notwendigkeit versinnlicht und Form geworden ist, mithin auch die gesamte Natur, die ausgedehnte Welt, deren Bild durch diese spontane Grenzgebung entstand und die immer nur der Behandlung durch eine einzige Art von Mathematik zugänglich ist, das alles spricht nicht vom allgemeinen, sondern jedesmal von einem ganz bestimmten Menschentum.
Es hängt also für den Stil einer entstehenden Mathematik alles davon ab, in welcher Kultur sie wurzelt, was für Menschen über sie nachdenken. Denn die Zahl geht dem Geiste vorauf, nicht umgekehrt. Zahlen sind schöpferische, nicht geschaffene Wesenheiten. Der Geist kann die in ihnen verborgnen formalen Möglichkeiten zur wissenschaftlichen Entfaltung bringen, sie handhaben, an ihrer Behandlung zur höchsten Reife gelangen; sie zu modifizieren ist er völlig außerstande. In den frühesten Formen des Ornaments und der Architektur, schon in der dorischen Säule und der Kathedralgotik ist die Idee der euklidischen Geometrie und der Infinitesimalrechnung verwirklicht, Jahrhunderte bevor der erste Mathematiker dieser Kulturen geboren wurde.
Ein tiefes inneres Erlebnis, das eigentliche Erwachen des Ich, welches das Kind zum höhern Menschen, zum Gliede der ihm angehörigen Kultur macht, bezeichnet den Beginn des Zahlen- wie des Sprachverständnisses. Erst von hier an gibt es für das Bewußtsein Gegenstände als etwas in jedem Betrachte Begrenztes und Wohlunterschiedenes, erst von hier an genau bestimmbare Eigenschaften, Begriffe, eine kausale Notwendigkeit, ein System der Umwelt, eine Weltform, Weltgesetze — das „Gesetzte“ ist seiner Natur nach immer das Begrenzte, Starre, den Zahlen Unterworfene — und ein plötzliches Gefühl dafür, was Zahlen, sei es in Gestalt einer bildenden Kunst oder einer mathematischen Wissenschaft, bedeuten. Man begreift, daß sie dem Urmenschen wie dem Kinde noch verschlossen sind und daß eine entscheidende — historische oder biographische — Epoche eintritt, sobald der in seiner Bedeutung erfaßte Akt des Zählens, Messens, Zeichnens, Formens eine ganz neue Welt aus einem neu erschlossenen Innenleben hervorgehen läßt. Dies Erlebnis aber, mit dem der große Stil beginnt, trennt Kulturen, Arten der Seele als Individuen aus dem primitiv Menschlichen ab.
Nun hat Kant den Besitz menschlichen Wissens nach Synthesen a priori (notwendig und allgemeingültig) und a posteriori (aus Erfahrung stammend) eingeteilt und die mathematische Erkenntnis den ersteren zugerechnet. Zweifellos hat er damit ein starkes inneres Gefühl in eine abstrakte Fassung gebracht. Aber ganz abgesehen davon, daß eine scharfe Grenze zwischen beiden, wie sie nach der ganzen Herkunft des Prinzips unbedingt gefordert werden müßte, nicht vorhanden ist (wofür die moderne höhere Mathematik und Mechanik mehr als hinreichend Beispiele gibt), erscheint auch das a priori, sicherlich eine der genialsten Konzeptionen aller Erkenntniskritik, als ein höchst schwieriger Begriff. Kant setzt mit ihm, ohne sich die Mühe eines Beweises zu geben — der sich auch gar nicht erbringen läßt —, sowohl die Unveränderlichkeit der Form aller Geistestätigkeit als ihre Identität für alle Menschen voraus. Infolgedessen ist ein Umstand von gar nicht zu überschätzender Tragweite völlig übersehen worden, vor allem deshalb, weil Kant bei der Prüfung seiner Gedanken nur das geistige Material und den intellektuellen Habitus seiner Zeit zu Rate zog. Er betrifft den schwankenden Grad dieser „Allgemeingültigkeit“. Neben gewissen Faktoren von zweifellos weitreichender Geltung, die wenigstens scheinbar unabhängig davon sind, zu welcher Kultur, in welches Jahrhundert der Erkennende gehört, liegt allem Denken auch noch eine ganz andere Notwendigkeit der Form zugrunde, welcher der Mensch eben als Glied einer bestimmten und keiner anderen Kultur unterworfen ist. Das sind nun zwei sehr verschiedene Arten des apriorischen Gehaltes und es ist eine nie zu beantwortende, weil jenseits aller Erkenntnismöglichkeiten liegende Frage, welches die Grenze zwischen ihnen ist und ob es eine solche überhaupt gibt. Daß die bisher als selbstverständlich geltende Konstanz der geistigen Formen eine Illusion ist, daß es innerhalb der uns vorliegenden Geschichte mehr als einen Stil des Erkennens gibt, hat man bisher nicht anzunehmen gewagt. Aber es sei daran erinnert, daß der consensus omnium nicht nur eine allgemeine Wahrheit, sondern auch einen allgemeinen Irrtum beweisen kann. Ein dunkler Zweifel war allenfalls immer da und man hätte das Richtige schon aus der Nichtübereinstimmung sämtlicher Denker erschließen sollen. Aber daß diese nicht auf eine Unvollkommenheit des menschlichen Geistes, auf ein „Noch nicht“ einer endgültigen Erkenntnis zurückgeht, kein Mangel, sondern eine schicksalhafte historische Notwendigkeit ist — das ist eine Entdeckung. Das Tiefste und Letzte kann nicht aus der Konstanz, sondern allein aus der Verschiedenheit und nur aus der organischen Periodizität dieser Verschiedenheit erschlossen werden. Die vergleichende Morphologie der Erkenntnisformen ist eine Aufgabe, die dem abendländischen Denken noch vorbehalten ist.