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Wäre Mathematik eine bloße Wissenschaft wie die Astronomie oder Mineralogie, so würde man ihren Gegenstand definieren können. Man kann es nicht und hat es nicht gekonnt. Mögen wir Westeuropäer auch den eignen wissenschaftlichen Zahlbegriff gewaltsam auf das anwenden, was die Mathematiker in Athen und Bagdad beschäftigte, so viel ist sicher, daß Thema, Absicht und Methode der gleichnamigen Wissenschaft dort ganz andre waren. Es gibt keine Mathematik, es gibt nur Mathematiken. Was wir Geschichte „der“ Mathematik nennen, vermeintlich die fortschreitende Verifikation eines einzigen und unveränderlichen Ideals, ist in der Tat, sobald man das täuschende Bild der historischen Oberfläche beseitigt, eine Mehrzahl in sich geschlossener, unabhängiger Prozesse, eine wiederholte Geburt neuer, ein Aneignen, Umbilden und Abstreifen fremder Formenwelten, ein rein organisches, an eine bestimmte Dauer gebundenes Aufblühen, Reifen, Welken und Sterben. Man lasse sich nicht täuschen. Der ahistorische griechische Geist schuf seine Mathematik aus dem Nichts; der historisch angelegte Geist des Abendlandes, der die angelernte antike Wissenschaft schon besaß — äußerlich, nicht innerlich —, mußte die eigne durch ein scheinbares Ändern und Verbessern, durch ein tatsächliches Vernichten der ihm inadäquaten euklidischen gewinnen. Das eine geschah durch Pythagoras, das andere durch Descartes. Beide Akte sind in der Tiefe identisch.
Die Verwandtschaft der Formensprache einer Mathematik mit der der benachbarten großen Künste wird demnach keinem Zweifel unterliegen. Das Ziel jeder Mathematik ist ein in sich vollendetes System von Sätzen, das die synthetische Ordnung a priori des starren Ausgedehnten repräsentiert, dieselbe unablässig erstrebte Synthese, welche auch im Formproblem, jeder bildenden Kunst und in dem Ringen jedes einzelnen Künstlers um die technische Meisterschaft auf seinem Gebiete zutage tritt. Das Formgefühl des Bildhauers, Malers, Tondichters ist ein wesentlich mathematisches. In der geometrischen Analysis und der projektiven Geometrie des 17. Jahrhunderts offenbart sich dieselbe Ordnung, welche die gleichzeitige Instrumentalmusik fugierten Stils durch die Regeln des Kontrapunktes, dieser Geometrie des Tonraumes, welche die ihr verschwisterte Ölmalerei durch das Prinzip einer nur dem Abendlande bekannten Perspektive, der gefühlten Geometrie des Bildraumes, ins Leben rufen, ergreifen, durchdringen möchte. Sie ist das, was Goethe die Idee nannte, deren Gestalt im Sinnlichen unmittelbar angeschaut werde, während die bloße Wissenschaft nicht anschaue, sondern nur beobachte und zergliedere. Aber die Mathematik geht über Beobachten und Zergliedern hinaus. Sie verfährt in ihren höchsten Augenblicken intuitiv, nicht abstrahierend. Von Goethe stammt das tiefe Wort, daß der Mathematiker nur insofern vollkommen sei, als er das Schöne des Wahren in sich empfinde. Hier wird man fühlen, wie nahe das Geheimnis im Phänomen der Zahl dem Geheimnis der Kunstform liegt, die ebenfalls in einer bedeutsamen Grenzgebung, im schönen Maß, in der abgewogenen Größe, der strengen Beziehung, der Harmonie, kurz in einer vollkommenen Ordnung von Sinnlichem ihr Ziel findet. Damit tritt der geborene Mathematiker neben die großen Meister der Fuge, des Meißels und des Pinsels, die ebenfalls jene große Ordnung aller Dinge, die der bloße Mitmensch ihrer Kultur in sich trägt, ohne sie wirklich zu besitzen, in Symbole kleiden, verwirklichen, mitteilen wollen. Damit wird das Reich der Zahlen zum intuitiven Abbild der Weltform neben dem Reich der Töne, Linien und Farben. Deshalb bedeutet das Wort „schöpferisch“ im Mathematischen mehr als in den bloßen Wissenschaften. Newton, Gauß, Riemann waren künstlerische Naturen. Man lese nach, wie ihre großen Konzeptionen sie plötzlich überfielen. „Ein Mathematiker,“ meinte der alte Weierstraß, „der nicht zugleich ein Stück von einem Poeten ist, wird niemals ein vollkommener Mathematiker sein.“
Mathematik ist also auch eine Kunst. Sie hat ihre Stile und Stilperioden. Sie ist nicht, wie der Laie meint — auch der Philosoph, insofern er hier als Laie urteilt —, der Substanz nach unveränderlich, sondern wie jede Kunst von Epoche zu Epoche unvermerkten Wandlungen unterworfen. Man sollte die Entwicklung der großen Künste nie behandeln, ohne auf die gleichzeitige Mathematik einen gewiß nicht unfruchtbaren Seitenblick zu werfen. Einzelheiten in den sehr tiefen Beziehungen zwischen den Tendenzen der Musiktheorie von Orlando Lasso an und den Entwicklungsphasen der Funktionentheorie sind niemals untersucht worden, obwohl die Ästhetik mehr daraus hätte lernen können als aus aller „Psychologie“. Alle ganz großen Mathematiker seit Fermat, Pascal und Descartes (1630) sind transzendente Analytiker, alle antiken von Pythagoras an (540) anschaulich-körperhaft denkende Naturen gewesen. Soll ich noch einmal auf die enge Verwandtschaft dieser Begabungen mit der anbrechenden Blütezeit dort der reinen Instrumentalmusik, hier der ionischen Marmorskulptur hinweisen? Die antike Mathematik, ursprünglich beinahe rein planimetrisch, zeigt in der Entwicklung von Pythagoras zu Archimedes eine Tendenz zum stereometrischen Denken alles Zahlenmäßigen. Dem entspricht die Tendenz der Flächenmalerei attisch-korinthischen Stils über das der Fläche aufgesetzte Relief hinaus zur Rundplastik. Die Statue ging teils aus der figürlich — reliefmäßig — behandelten Säule (Hera des Cheramyes), teils aus der zur Wandverkleidung dienenden Holz- oder Erztafel (Artemis der Nikandre) hervor. Sowohl das Holz wie der Poros wurden mit dem Schnitzmesser bearbeitet und erst die Behandlung des Marmors mit dem Meißel entsprach ganz dem künstlerischen Gefühl der Schöpfung eines Körpers. Aber das Entsprechende geschieht im Abendlande. Während die auch weiterhin so genannte Geometrie sich zur Analysis des reinen Raumes umbildet, aus der Schritt für Schritt das unmittelbar Optische beseitigt wird — man beachte, wie weit schon der Koordinatenbegriff von Descartes über den von Fermat hinausgeht —, gewinnt die Instrumentalmusik ihre neuen Ausdrucksmittel. Seit 1520 beginnt die in Oberitalien erfundene Geige die Laute zu verdrängen. Das Fagott ist seit 1525 bekannt. In Deutschland hat sich während des 16. und 17. Jahrhunderts die Orgel zum raumbeherrschenden Instrument entwickelt. Monteverdi (1567–1643), der mit der Einführung des Dominantseptakkordes die eigentliche Chromatik begründet, besaß das erste wirkliche Orchester und um 1630 erscheint mit Frescobaldi der erste große Orgelvirtuose. Und neben der analysis situs, dieser Meisterschöpfung von Leibniz, steht die mächtige Raumsymbolik der letzten Werke Rembrandts, der 1669 starb — die des Selbstbildnisses in München, des Darmstädter Christus und des Evangelisten Matthäus.
Sicherlich unterscheidet auch dies das Formwollen jeder Mathematik von den rein wissenschaftlichen Absichten aller Physik und Chemie und rückt sie in die Nähe der bildenden Künste, daß ihr Element, die starren Zahlen, seien sie nun optisch oder transzendent aufgefaßt, keine empirischen Wirklichkeiten sind, sondern reine Formen des Ausgedehnten wie ornamentale Linien und musikalische Harmonien, ihr Verfahren also, mit Kant zu reden, synthetisch, künstlerisch gesprochen Komposition ist, in welcher der echte Künstler einem höheren Zwange — dem „a priori“ Kants — unterliegt. Das mag in den populären Teilen einer Mathematik weniger hervortreten, aber die Zahlengebilde höherer Ordnung, zu denen jede von ihnen und im Unterschiede von jeder andern alsbald aufsteigt, wie das indische Dezimalsystem, die antiken Gruppen der Kegelschnitte, der Primzahlen und der regelmäßigen Polyeder, im Abendlande der Zahlkörper, die mehrdimensionalen Räume, die höchst transzendenten Gebilde der Transformations- und Mengenlehre, die Gruppe der nichteuklidischen Geometrien, sind nicht mehr von rein verstandesmäßiger Herkunft und setzen, um in ihren letzten, völlig metaphysischen Gründen durchschaut zu werden, eine Art visionärer Erleuchtung voraus. Hier handelt es sich um ein inneres Erlebnis, nicht nur um Erkenntnis. Erst hier beginnt die große Symbolik der Zahlen. Diese Formen, wie sie im Geiste großer Meister im Namen ihrer Kultur, als Ausdruck der letzten Geheimnisse ihres Weltgefühls entstehen, offenbaren dem Eingeweihten etwas wie den Urgrund seines Daseins. Diese Schöpfungen muß man wie das Innere eines Domes, wie die Verse der Engel im Faustprolog oder eine Kantate von Bach auf sich wirken lassen, wozu es glücklicher und seltener Stunden bedarf. Nur wer dies vermag, und es wird immer nur eine sehr kleine Zahl reifer Geister sein, begreift Plato, wenn er die ewigen Ideen seines Kosmos „die Zahlen“ nannte.