Der Untergang des Abendlandes, Erster Band

Die antike Mathematik als Lehre von anschaulichen Größen will ausschließlich die Tatsachen des Gegenwärtigen deuten, und sie beschränkt also ihre Forschung wie ihren Geltungsbereich auf Gegenstände der Nähe und des Kleinen. Dieser Konsequenz gegenüber ergibt sich etwas sehr Unlogisches im praktischen Verhalten der abendländischen Mathematik, was eigentlich erst seit Entdeckung der nichteuklidischen Geometrien recht erkannt worden ist. Zahlen sind reine Formen des erkennenden Geistes. Ihre exakte Anwendbarkeit auf die reale Anschauung ist also ein Problem für sich. Die Kongruenz mathematischer Systeme mit der Empirie ist nichts weniger als selbstverständlich. Trotz des Laienvorurteils von der unmittelbaren mathematischen Evidenz der Anschauung, wie es sich bei Schopenhauer findet, stimmt die euklidische Geometrie, welche mit der populären Geometrie aller Zeiten eine oberflächliche Identität besitzt, nur in sehr engen Grenzen („auf dem Papier“) mit der Anschauung annähernd überein. Wie es bei großen Entfernungen steht, lehrt die einfache Tatsache, daß Parallelen sich am Horizont berühren. Die gesamte malerische Perspektive beruht auf ihr. Trotzdem ging Kant, der für einen abendländischen Denker in unverzeihlicher Weise vor der „Mathematik der Fernen“ auswich und sich stets, ganz „antik“, auf winzige Figuren berief, an denen gerade ihrer Kleinheit wegen das spezifisch abendländische, das infinitesimale Raumproblem gar nicht in Erscheinung treten konnte, von einer naiven Größenvergleichung aus. Euklid vermied es ebenfalls, aber für einen antiken Denker mit Recht, sich für die anschauliche Gewißheit seiner Axiome etwa auf ein Dreieck zu berufen, dessen Punkte durch den Standort des Beobachters und zwei Fixsterne gebildet werden, das also weder gezeichnet noch „angeschaut“ werden kann. Es war hier dasselbe Gefühl wirksam, das vor dem Irrationalen zurückschreckte und das Nichts nicht als Null, als Zahl, zu begreifen wagte, das also auch im Anschauen kosmischer Verhältnisse dem Unermeßlichen aus dem Wege ging, um das Symbol des Maßes zu bewahren.

Aristarch von Samos, der um 270 das Weltsystem entwarf, welches bei seiner Wiederentdeckung durch Kopernikus die metaphysische Leidenschaft des Abendlandes im tiefsten erregte — man denke an Giordano Bruno —, das eine Erfüllung gewaltiger Ahnungen und eine Bestätigung jenes faustischen, gotischen Weltgefühls war, das schon in der Architektur seiner Kathedralen der Idee des unendlichen Raumes ein Opfer dargebracht hatte, wurde mit seinem Gedanken von der Antike völlig gleichgültig aufgenommen und bald — man möchte sagen absichtlich — vergessen. In der Tat ist das aristarchische Weltsystem für diese Kultur seelisch belanglos. Es wäre ihrer Grundidee sogar gefährlich geworden. Und doch war es im Unterschiede von dem des Kopernikus — diese entscheidende Tatsache ist immer unbeachtet geblieben — durch eine besondere Fassung dem antiken Weltgefühl genau angepaßt. Aristarch nahm als Abschluß des Kosmos eine körperlich durchaus begrenzte, optisch zu beherrschende Hohlkugel an, in deren Mitte das kopernikanisch gedachte Planetensystem sich befindet. Damit war das Prinzip des Unendlichen, das den sinnlich-antiken Grenzbegriff gefährdet hätte, überwunden. Kein Gedanke an einen grenzenlosen Weltraum taucht auf, der hier schon unvermeidlich erscheint und dessen Konzeption dem babylonischen Denken längst gelungen war. Im Gegenteil. Archimedes beweist in seiner berühmten Schrift von der „Sandzahl“ — wie schon das Wort verrät, der Widerlegung aller infinitesimalen Tendenzen, obwohl sie immer wieder als erster Schritt auf dem Wege zum modernen Integrationskalkül betrachtet wird —, daß dieser stereometrische Körper, denn etwas anderes ist der aristarchische Kosmos nicht, mit Atomen (Sand) erfüllt, zu sehr großen, aber nicht zu unendlichen Resultaten führe. Das heißt aber gerade alles, was uns die Analysis bedeutet, verneinen. Das Weltall unsrer Physik ist, wie die immer wieder scheiternden und sich dem Geiste von neuem aufdrängenden Hypothesen über den stofflich, d. h. mittelbar anschaulich gedachten Weltäther beweisen, die strengste Verleugnung aller materiellen Begrenztheit. Plato, Apollonius und Archimedes, sicherlich die feinsten und kühnsten Mathematiker der Antike, haben eine rein optische Analysis des Gewordnen auf der Grundlage des plastisch-antiken Grenzwertes vollkommen durchgeführt. Sie gebrauchen tiefdurchdachte und uns schwer zugängliche Methoden einer Integralrechnung, die selbst mit der Methode des bestimmten Integrals von Leibniz nur scheinbare Ähnlichkeit besitzt, und sie wenden geometrische Örter und Koordinaten an, die durchaus benannte Maßzahlen und Strecken und nicht wie bei Fermat und vor allem bei Descartes unbenannte räumliche Beziehungen, Werte von Punkten in bezug auf ihre Lage im Raum sind. Hierher gehört vor allem die Exhaustionsmethode des Archimedes in seiner kürzlich entdeckten Schrift an Eratosthenes, wo er z. B. die Quadratur des Parabelsegments auf der Berechnung eingeschriebener Rechtecke (nicht mehr ähnlicher Polygone) begründet. Aber gerade die geistreiche, unendlich verwickelte Art, wie er in Anlehnung an gewisse geometrische Ideen Platos zum Resultat kommt, macht den ungeheuren Gegensatz zwischen dieser Intuition und der oberflächlich ähnlichen Pascals etwa fühlbar. Es gibt keinen schärferen Gegensatz hierzu — wenn man vom Riemannschen Integralbegriff ganz absieht — als die leider heute noch sogenannten Quadraturen, bei denen die „Fläche“ als durch eine Funktion begrenzt bezeichnet wird und von einer zeichnerischen Handhabe keine Rede mehr ist. Nirgends kommen beide Mathematiken einander so nahe und nirgends läßt sich die unüberschreitbare Kluft zweier Seelen, deren Ausdruck sie sind, gewisser fühlen.

Die reinen Zahlen, deren Phänomen die Ägypter im Stil ihrer Tempelhallen, Pyramiden und Statuenreihen mit einer tiefen Furcht vor ihrem Ursprung gleichsam verbargen, waren auch für die Hellenen der Schlüssel zum Sinn des Gewordenen, Starren und also Vergänglichen. Die mathematische Zahl als formales Grundprinzip der ausgedehnten Welt, die nur aus dem wachen menschlichen Bewußtsein und für dieses da ist, steht durch das Medium der kausalen Notwendigkeit zum Tode in Beziehung, wie die chronologische Zahl zum Werden, zum Leben, zur Notwendigkeit des Schicksals. Dieser Zusammenhang der mathematischen Form mit dem Ende des organischen Seins, mit der Erscheinung seines anorganischen Restes, des Leichnams, wird sich immer deutlicher als der Ursprung aller großen Kunst enthüllen. Wir bemerkten schon die Entwicklung der frühen Ornamentik aus dem Bestattungskult. Zahlen sind Symbole des Vergänglichen. Starre Formen verneinen das Leben. Formeln und Gesetze breiten Starrheit über das Bild der Natur. Zahlen töten. Es sind die Mütter Fausts, die hehr in Einsamkeit thronen, „in der Gebilde losgebundne Reiche

Hier berühren sich Goethe und Plato im Ahnen eines letzten Geheimnisses. Die Mütter, das Unzugängliche — Platos Ideen — bezeichnen die Möglichkeiten eines Seelentums, seine ungeborenen Formen, welche sich in der sichtbaren, aus der Idee dieses Seelentums heraus mit innerster Notwendigkeit geordneten Welt als tätige und geschaffene Kultur, als Kunst, Gedanke, Staat, Religion verwirklicht haben. Hierauf beruht die Verwandtschaft des Zahlensystems einer Kultur mit deren Weltidee, eine Beziehung, die es über das bloße Wissen und Erkennen zur Bedeutung einer Weltanschauung erhebt und die bewirkt, daß es so viele Mathematiken — Zahlenwelten — gibt als es hohe Kulturen gibt. So allein wird es begreiflich und notwendig, daß die größten mathematischen Denker, bildende Künstler im Reiche der Zahlen, aus tief religiöser Intuition zur Auffindung der entscheidenden mathematischen Probleme ihrer Kultur gelangt sind. So hat man sich die Schöpfung der antiken, apollinischen Zahl durch Pythagoras, den Stifter einer Religion, zu denken. Dies Urgefühl hat Nicolaus Cusanus, den großen Bischof von Brixen, geleitet, als er um 1450 von der Betrachtung der Unendlichkeit Gottes in der Natur ausgehend die Grundzüge der Infinitesimalrechnung fand. Leibniz, der ihre Idee zwei Jahrhunderte später vollendete, hat selbst aus rein metaphysischen Betrachtungen über das göttliche Prinzip und seine Beziehung zum unendlichen Ausgedehnten die analysis situs entwickelt, vielleicht die genialste Interpretation des reinen, von allem Sinnlichen befreiten Raumes, deren reiche Möglichkeiten erst im 19. Jahrhundert durch Graßmann in seiner Ausdehnungslehre und Riemann in seiner Symbolik der zweiseitigen Flächen, welche die Natur von Gleichungen repräsentieren, entfaltet worden sind. Descartes, ein tiefer Christ aus dem Kreise von Port Royal, hat, einem innern Bedürfnis folgend, anläßlich seiner philosophisch-mathematischen Unterweisung die Pfalzgräfin Elisabeth und Gustav Adolfs Tochter, Königin Christine von Schweden, wieder zum Katholizismus bekehrt. Und Kepler wie Newton, beide streng religiöse Naturen, blieben sich, wie Plato, durchaus bewußt, gerade durch das Medium der Zahlen das Wesen einer göttlichen Weltordnung intuitiv erfaßt zu haben.