1. Aus a wird i (unreine Umkehrung). Z. B. der Satz: alle kongruenten Dreiecke sind auch Dreiecke von gleichem Inhalt, läßt nur eine unreine Umkehrung zu: einige Dreiecke von gleichem Inhalt sind auch kongruent. Reine Umkehrung ist nur als Ausnahme in dem Fall möglich, wenn der Umfang des Subjekts- und des Prädikatsbegriffes sich decken; z. B.: alle gleichseitigen Dreiecke sind auch gleichwinklig. Das Verhältnis der Begriffe läßt sich am besten durch Kreise veranschaulichen. Es zeigt sich, daß der dem Subjektsbegriff S entsprechende Kreis entweder ganz in den Umfang des Kreises P fällt, wie bei 1., oder daß beide Kreise sich decken, wie bei 2. Daraus ergibt sich, daß jedenfalls einige S, unter Umständen alle in den Umfang des Kreises P fallen, so daß bei 1. nur unreine, bei 2. reine Umkehrung möglich ist.

2. Aus i wird i (reine Umkehrung). Einige Parallelogramme sind regelmäßige Figuren, einige regelmäßige Figuren sind Parallelogramme. In dem für i natürlichen Falle 1. schneiden sich die Kreise, und der beiden gemeinsame Raum versinnlicht die Möglichkeit der reinen Umkehrung. Der Kreis P kann aber auch ganz in den Kreis S fallen, wie bei 2., dann ist die Umkehrung unrein, z. B.: einige Parallelogramme sind Rechtecke, alle Rechtecke sind Parallelogramme; oder S in sich schließen, wie bei 3. und 4., wo sich wieder i ergibt.

3. Aus e wird e (reine Umkehrung). Kein Schuldloser ist unglücklich, kein Unglücklicher schuldlos. Die beiden Kreise S und P sind vollständig getrennt, kein S ist P und kein P S.

4. Aus o folgt nichts. Durch das Urteil: einige S sind nicht P, ist das Verhältnis von S und P zu wenig bestimmt, als daß etwas daraus gefolgert werden könnte. Die Fälle 1., 2. und 3. sind alle von o aus möglich, es läßt sich aber kein allen gemeinsames Urteil mit P als Subjekt daraus ableiten.

§ 42. Die Kontraposition.

1. Aus a wird e. Aus: jedes S ist P, folgt: alle NichtP sind nicht S oder kein NichtP ist S; z. B.: jeder wirklich religiöse Mensch handelt auch sittlich; wer nicht sittlich handelt, ist kein wirklich religiöser Mensch. Nach den Figuren § 41 für a ist klar, daß, da S ganz in P liegt, alles, was außerhalb des Kreises P liegt, also NichtP ist, auch außerhalb des Kreises S liegen muß, also nicht S ist.

2. Aus e wird i. Wenn kein S P ist, so sind mindestens einige NichtP S, vgl. die Fig. § 41 e; denn da S ganz von P getrennt ist, so fällt es jedenfalls in den Raum außerhalb P, d. h. von NichtP; z. B.: nichts Gutes ist unschön, einiges nicht Unschöne ist gut.

3. Aus o wird i. Wenn einige S nicht P sind, so sind mindestens einige NichtP S. Nach den 3 Figuren § 41 o muß jedenfalls ein Teil von S außerhalb P liegen, also mit einigen NichtP zusammenfallen; z. B.: einiges Lebende ist nicht beseelt, einiges Unbeseelte ist lebendig.

4. Aus i folgt nichts. Durch Kontraposition würde sich ergeben: einige NichtP sind nicht S, und dies würde für Figur § 41. i. 1. 3. 4. zutreffen, aber bei Fig. 2 ist die Möglichkeit denkbar, daß S die Gesamtheit alles Seienden umfaßt, dann wäre es nicht richtig, daß einige NichtP nicht S sind, denn alle NichtP wären S.

§ 43. Die Umwandlung der Relation.

§ 44. Die Subalternation.

Bei der Subalternation wird daraus, daß ein Urteil von dem ganzen Umfang des Subjektsbegriffes gilt, geschlossen, daß es auch von einem Teil desselben gilt. Dagegen folgt aus der Verneinung des partikulären auch die Verneinung des entsprechenden allgemeinen Urteils. Es folgt 1. aus der Wahrheit von a die von i, 2. aus der Unwahrheit von i die von a.

§ 45. Die Äquipollenz.

§ 46. Die Opposition.

Der unmittelbare Schluß durch Opposition besteht darin, daß aus der Wahrheit eines Urteils die Unwahrheit seines Gegenteils gefolgert wird und umgekehrt. Wie die Begriffe, so können auch die Urteile in einem kontradiktorischen und in einem konträren Gegensatz stehen. Im kontradiktorischen Gegensatz stehen zwei Urteile, von denen das eine dasselbe bejaht, was das andere verneint, also: das allgemein bejahende und das partikulär verneinende, das allgemein verneinende und das partikulär bejahende. Im konträren Gegensatz stehen diejenigen Urteile, von denen zwar nur eines wahr sein kann, die aber weitere Möglichkeiten übrig lassen: das allgemein bejahende und das allgemein verneinende; denn beide können falsch sein, und dann ist noch das partikulär bejahende und das partikulär verneinende möglich, z. B. falsch a und e, richtig i: einige Menschen erreichen ein Alter von hundert Jahren. Daneben wird noch das subkonträre Verhältnis unterschieden, in welchem das partikulär bejahende und das partikulär verneinende Urteil zueinander stehen, und das Verhältnis der Subalternation (vgl. § 44) oder Unterordnung, das von solchen Urteilen gilt, die das von dem ganzen Umfang des Subjektsbegriffes Ausgesagte auch auf einen Teil desselben beziehen.

Diese Verhältnisse der Urteile lassen sich in folgendem Schema veranschaulichen:

Der unmittelbare Schluß durch Opposition erfolgt demgemäß nach folgenden Regeln:

1. Aus der Wahrheit eines Urteils folgt die Unwahrheit seines kontradiktorischen Gegenteils.

2. Aus der Unwahrheit eines Urteils die Wahrheit seines kontradiktorischen Gegenteils.

3. Aus der Wahrheit eines Urteils die Unwahrheit des konträr entgegengesetzten.

4. Aus der Unwahrheit eines Urteils die Wahrheit des entsprechenden subkonträren.

§ 47. Die modale Konsequenz.

§ 48. Der Wert der unmittelbaren Schlüsse.

Wichtiger sind: die Opposition, die Konversion und die Kontraposition. Die Opposition führt zur scharfen Fassung des gegenseitigen Verhältnisses der Urteile. Die unreine Konversion des allgemein bejahenden Urteils gibt Aufschluß darüber: 1. daß Subjekt und Prädikat nicht notwendig zusammengehören, 2. daß sie miteinander vereinbar sind. Die reine Konversion des allgemein verneinenden Urteils vermittelt die wichtige Erkenntnis, daß zwei Begriffe A und B einander gegenseitig ausschließen. Die Kontraposition stellt die negative Seite der Zusammengehörigkeit zweier Begriffe dar: wenn alle S P sind, so findet sich überall, wo P sich nicht findet, auch S nicht.

Konversion und Kontraposition des kategorischen Urteils erleiden jedoch dadurch eine gewisse Einschränkung, daß sie Urteile voraussetzen, in denen das Prädikat auch wirklich Subjekt werden und als der höhere Begriff gegenüber dem Subjektsbegriff angesehen werden kann, wie in dem Beispiel: alle kongruenten Dreiecke sind auch Dreiecke von gleichem Inhalt. Dagegen lassen sich alle diese unmittelbaren Schlüsse auch vom hypothetischen Urteil aus vollziehen, und hier gewinnen besonders die genannten beiden Formen größere Bedeutung. Die unreine Konversion von a: Wenn A gilt, so gilt B: zuweilen wenn B gilt, gilt A, drückt dann aus, daß aus der Wahrheit der Folge nicht einfach auf die Wahrheit des Grundes geschlossen werden kann; die reine Konversion von e: Wenn A nicht gilt, so gilt B nicht, wenn B nicht gilt, so gilt A nicht: daß, wenn mit der Verneinung des Grundes die Verneinung der Folge verknüpft ist, auch das Umgekehrte wahr ist. Die Kontraposition aber: Wenn A gilt, so gilt B, wenn B nicht gilt, so gilt A nicht, wird zum Ausdruck des Gesetzes der logischen Notwendigkeit, daß mit der Folge der Grund aufgehoben ist, z. B. das Urteil: Wenn einer durchs Herz geschossen wird, so stirbt er, gestattet unmittelbar den Schluß aus der Kontraposition: Wenn einer nicht stirbt, so wurde er nicht durchs Herz geschossen, aber nicht den durch reine Konversion: Wenn einer stirbt, so wurde er durchs Herz geschossen; denn die Folge, das Sterben, ist auch noch an andere Gründe geknüpft.

B. Der mittelbare Schluß.

§ 49. Wesen und Formen des mittelbaren Schlusses.

Die Syllogismen werden je nach der Stellung des Mittelbegriffes in verschiedene Schlußfiguren eingeteilt. Es sind 4 Fälle der Stellung des Mittelbegriffs möglich. Er ist entweder in beiden Prämissen Prädikat, oder in beiden Subjekt, oder in der einen Prämisse Subjekt, in der andern Prädikat; der letztere Fall läßt wieder zwei Möglichkeiten offen, da der Mittelbegriff entweder im Ober- oder im Untersatz Prädikat und im andern Subjekt sein kann. Bezeichnet man den Subjektsbegriff mit S, den Prädikatsbegriff mit P und den Mittelbegriff mit M, so lassen sich die 4 Schlußfiguren in folgendem Schema darstellen:

Die drei ersten Figuren wurden schon von Aristoteles aufgestellt, die vierte von dem Arzt und Philosophen Galenus († 200 n. Chr.); sie wird daher die galenische genannt.

Innerhalb einer jeden Figur würden sich nun durch Kombination von Quantität und Qualität der Prämissen nach den Buchstaben a e i o 16 Formen denken lassen, die folgende Tafel darstellt, wobei der erste Buchstabe auf den Obersatz, der zweite auf den Untersatz sich bezieht.

Im ganzen würden sich also 64 Kombinationsformen der Prämissen oder Modi denken lassen. Von diesen erweist sich aber eine größere Anzahl als unbrauchbar, teils aus allgemeinen Gründen, die für alle 4 Figuren gleichmäßig gelten, teils weil sie den besonderen Gesetzen der einzelnen Figuren widersprechen.

§ 50. Allgemeine Gesetze über die Erfordernisse der kategorischen Schlüsse.

b) Die eine Prämisse ist allgemein, die andere partikulär verneinend: e o. Über das Verhältnis von S und P läßt sich nichts aussagen, weil die unbestimmte partikulär verneinende Prämisse neben andern Formen auch die allgemein verneinende nicht ausschließt, so daß die Unsicherheit von a) nur vermehrt ist.

c) Beide Prämissen sind partikulär verneinend: o o. Da das bei b) Gesagte hier noch mehr gilt, so ist die Unsicherheit eine noch größere.

Durch diese Regel werden 4 Formen beseitigt: ee, eo, oe, oo.

2. Aus rein partikulären Prämissen folgt nichts (ex mere particularibus nihil sequitur).

a) Beide Prämissen sind partikulär bejahend: i i. Das Verhältnis der Begriffe S und P zu M ist zu unbestimmt, als daß daraus über das Verhältnis von S und P etwas erschlossen werden könnte; vgl. die folgenden Figuren, die alle i i entsprechen.

b) Eine Prämisse ist partikulär bejahend, die andere partikulär verneinend: io, oi. Auf Grund der Voraussetzung ergibt sich eine Reihe von Möglichkeiten, zwischen denen nicht entschieden werden kann; vgl. die Fig.

c) Beide Prämissen sind partikulär verneinend: oo. Dieser Fall deckt sich mit 1. c).

Es fallen also außer oo noch weg: ii, io, oi in jeder Form, also 12 weitere Modi.

3. Aus einem partikulären Obersatz und einem verneinenden Untersatz ergibt sich kein logisch gültiger Schlußsatz.

a) Der Obersatz ist partikulär bejahend, der Untersatz allgemein verneinend: i e: Einige M sind P. Kein S ist M. Aus den unter dieser Voraussetzung möglichen Kreiskombinationen ergibt sich zwar der Schlußsatz: Einige P sind nicht S; aber wenn der Oberbegriff P als Subjekt verwendet wird, so sind die Voraussetzungen verändert, der Schluß ist dann aus einem partikulären Untersatz und einem verneinenden Obersatz gewonnen worden. Sonst aber ergibt sich kein bestimmtes Resultat, vgl. Fig.

b) Der Obersatz ist partikulär bejahend: oe und

c) der Untersatz ist partikulär verneinend, sind schon durch 1. und 2. ausgeschlossen.

Durch diese Regel fällt ein neuer Modus weg: i e, so daß von den 64 Modi im ganzen 32 beseitigt wurden, die in der Tafel S. 99 durch Klammern bezeichnet sind.

Außerdem wurden aber noch verschiedene Modi durch die besonderen Gesetze der einzelnen Figuren ausgeschlossen. Der Beweis für die übrigbleibenden Modi wurde von Aristoteles und den Scholastikern durch Zurückführung auf die Modi der ersten Figur geführt; deutlicher und anschaulicher ist der Beweis durch Kreise.

§ 51. Die erste Figur.

Nach allen diesen 4 Figuren, die den Voraussetzungen dieses Modus entsprechen, ergibt sich, daß der Kreis S innerhalb des Kreises P liegen oder mit demselben sich decken muß, weil er in den Kreis M fällt, der selbst von P umschlossen wird oder mit demselben sich deckt.

2. Celarent

Da M ganz von P getrennt ist, so muß auch S, das ganz in M liegt, von P getrennt sein.

3. Darii

Kreis M muß ganz in Kreis P liegen; wenn also einige S M sind, so müssen mindestens diese „einige S” auch in P liegen.

4. Ferio

Da M ganz außerhalb P liegt, so müssen mindestens diejenigen S, die M sind, ebenfalls außerhalb P liegen.

§ 52. Die zweite Figur.

Da P ganz von M getrennt ist, so muß auch S, das in M liegt, ganz von P getrennt sein.

2. Camestres

Dieser Schluß des Astronomen Leverrier führte zur Entdeckung des Neptun durch Galle (1846).

Camestres hat Ähnlichkeit mit Cesare, nur S und P haben ihre Rollen vertauscht. Der Beweis ist daher mit veränderten Zeichen derselbe.

3. Festino

Da M von P getrennt ist, so müssen auch diejenigen S, die in den Kreis M fallen, von P getrennt sein.

4. Baroco

Da P ganz in Kreis M fällt, so können diejenigen S, die nicht in Kreis M fallen, auch nicht in Kreis P fallen.

§ 53. Die dritte Figur.