Auf der gradlinigen Fortpflanzung des Lichtes beruht die hübsche Erscheinung in einer Dunkelkammer, einem Zimmer, das man ganz verfinstert hat. Bringt man in einem Fensterladen eine kleine Öffnung (1 mm weit) an, so dringen von den außenliegenden Gegenständen Lichtstrahlen in das Zimmer, treffen dort einen Papierschirm oder die Wand und erzeugen so ein Bild der äußeren Gegenstände. Das Bild ist verkehrt, lichtschwach, aber deutlich. Durch Vergrößerung der Öffnung wird das Bild lichtstärker, aber undeutlicher. Sonnenstrahlen, die zwischen den Blättern eines Baumes zu Boden fallen, erzeugen dort kreisrunde oder rundlich begrenzte Bilder; bei einer Sonnenfinsternis dagegen Bilder, die der Form der verfinsterten Sonne entsprechen.

187. Schatten.

Wegen der gradlinigen Fortpflanzung des Lichtes erhält der Raum hinter einem undurchsichtigen Körper kein Licht vom leuchtenden Körper; dieser lichtleere Raum heißt der Schatten. Wir befinden uns nachts im Erdschatten; bei einer Mondsfinsternis tritt der Mond in den Erdschatten, bei einer Sonnenfinsternis befinden wir uns im Mondschatten.

Ist der leuchtende Körper ein Punkt, so hat der Schatten die Form eines Kegels, der vom undurchsichtigen Körper nach rückwärts sich immer mehr erweitert (Schattenkegel).

Ist der leuchtende Gegenstand selbst einigermaßen ausgedehnt, so entsteht außer dem Haupt- oder Kernschatten noch ein Halbschatten, d. h. ein Raum, in welchem nur ein Teil des Lichtes des leuchtenden Gegenstandes eindringt.

In Fig. 236 ist SUOS′ der Kernschatten, welcher rings umgeben ist vom Halbschatten HUS, H′OS′. Eine Stelle des Halbschattens erhält um so weniger Licht, je näher sie dem Kernschatten liegt.

Ist der schattengebende Körper UO kleiner als der leuchtende Gegenstand (Fig. 237), so ist der Kernschatten begrenzt, da er sich in OSU kegelförmig zuspitzt, ist jedoch umgeben von einem sich kegelförmig erweiternden Halbschatten.

So gibt die Erde, von der Sonne beschienen, einen Kernschatten, der in eine Spitze ausläuft, also kegelförmig ist (weil ja die Erde kleiner ist als die Sonne), und einen diesen Kernschatten umgebenden Halbschatten, der außen noch am meisten Licht enthält und um so dunkler, tiefer wird, je mehr man sich dem Kernschatten nähert. Bei einer Mondsfinsternis zeigt der Erdschatten auf dem Monde keine scharfe Grenze, sondern einen verwaschenen Rand, den Halbschatten.

188. Geschwindigkeit des Lichtes.

Das Licht braucht, wie jede Bewegung, eine gewisse Zeit, um sich von einem Orte zu einem andern fortzupflanzen. Diese Zeit ist für irdische Erscheinungen so kurz, daß man sie für gewöhnlich vernachlässigen kann; in demselben Momente, in welchem der Blitz in der Wolke aufleuchtet, sehen wir ihn schon; den Blitz der Kanone sieht man im Moment des Abfeuerns.

Die Geschwindigkeit des Lichtes wurde zuerst gemessen durch Olaf Römer, einen dänischen Astronomen, und zwar durch Beobachtung der Verfinsterung der Jupitertrabanten (1676). Der Planet Jupiter J wird von 4 Monden umkreist, vom innersten M sehr rasch, in 42¹⁄₂ Stunden, wobei er jedesmal in den Schatten des Jupiter kommt und verfinstert wird, was von der Erde aus leicht beobachtet werden kann. Die Zeit zwischen dem Beginne einer Verfinsterung und dem Beginne der nächsten ist gleich der (synodischen) Umlaufszeit des Trabanten, und sollte demnach stets dieselbe sein. Nun fand O. Römer: Wenn die Erde in Konjunktion oder Opposition mit dem Jupiter, also in E oder E₂ steht, so beträgt diese Zeit 42¹⁄₂ Stunden (ca.), befindet sich aber Jupiter im Quadranten, also die Erde in E₁ oder E₃, so ist diese Zeit um 14 Sekunden länger oder kürzer, je nachdem sich die Erde vom Jupiter weg oder auf ihn zu bewegt. Erklärung: Wenn die Erde sich in E oder E₂ befindet, so hat sie sich in den 42¹⁄₂ Stunden nahezu parallel zum Laufe des Jupiter bewegt, also ist ihre Entfernung von ihm nahezu gleich geblieben. Befindet sich die Erde aber in E₁, so bewegt sie sich gerade vom Jupiter weg, entfernt sich also in 42¹⁄₂ Stunden um ca. 590 000 geogr. Meilen von ihm. Da nun beim Beginne der zweiten Verfinsterung das Licht die Erde nicht mehr an demselben Orte, sondern an einem weiter entfernten Orte trifft, so braucht es eine gewisse Zeit, um diese 590 000 g. M. zurückzulegen, und um soviel erscheint der Eintritt der zweiten Verfinsterung verzögert. Diese Verzögerung beträgt 14", also legt das Licht in 14 Sekunden 590 000 g. M. zurück, also in 1" 42 100 g. M. Daß in E₃, wo sich die Erde gerade auf den Jupiter zu bewegt, die Verfinsterung um 14" verfrüht erscheint, erklärt sich ähnlich.

Dem französischen Physiker Fizeau gelang es, die Geschwindigkeit des Lichtes zu messen, durch Verwendung von verhältnismäßig kurzen irdischen Entfernungen. Er fand eine Geschwindigkeit von 315 364 km pro 1".

Wegen der großen Geschwindigkeit des Lichtes werden irdische Entfernungen stets in ungemein kleinen Zeiten durchlaufen. Zu den großen Entfernungen des Weltraumes braucht es eine entsprechend große Zeit: von der Sonne zur Erde 8' 11", und bis zum äußersten Planeten Neptun 4 St. 19 M. Bis zum nächsten Fixstern, welcher 223 000 Erdweiten entfernt ist, braucht das Licht 3 J. 6 M.

189. Stärke des Lichtes und deren Messung. Photometer.

Während das Licht sich von einem Punkt aus nach allen Seiten ausbreitet, nimmt es an Stärke ab. Diejenige Lichtmenge, welche von L ausgehend die Fläche f trifft, breitet sich, wenn man eine Fläche in 2 mal (n mal) größerer Entfernung aufstellt, auf eine 4 mal (n² mal) größere Fläche F (Fig. 109). Es trifft also auf eine kleine Flächeneinheit von F nur mehr 4 mal (n² mal) weniger Licht als auf die gleiche Flächeneinheit von f, oder F wird 4 mal (n² mal) weniger stark beleuchtet als f. Die Beleuchtungsstärke einer Fläche ist dem Quadrat ihrer Entfernung von der Lichtquelle umgekehrt proportional, oder: die Lichtstärke nimmt ab, wie das Quadrat der Entfernung zunimmt. Das Sonnenlicht ist auf dem Mars 2,3 mal, auf dem Neptun ca. 900 mal schwächer, auf der Venus 1,9 mal, auf dem Merkur zwischen 4,6 und 10,6 mal stärker als bei uns.

Daß wir ein Gaslicht in einer Entfernung von ¹⁄₂ m ohne Schaden, und in einer Entfernung von 10 km (bei reiner Luft noch viel weiter), also bei 400 000 000 mal geringerer Stärke noch sehen können, zeugt von der vorzüglichen Einrichtung unseres Auges.

Unter Lichtstärke einer Flamme oder eines leuchtenden Körpers überhaupt versteht man die Menge Licht, welche die Flamme aussendet. Um die Lichtstärke zweier Flammen zu vergleichen, entfernt man die stärkere so weit, bis eine gewisse Fläche von ihr eben so stark beleuchtet wird als von der schwächeren Flamme. Ist hiebei die stärkere Flamme 2 mal (n mal) so weit von der Fläche entfernt, wie die schwächere, so folgt nach dem ersten Satz, daß ihre Lichtstärke 4 mal (n² mal) so groß ist wie die der schwächeren. Die Lichtstärken zweier Flammen, welche ein und dieselbe Fläche uns verschiedenen Entfernungen him, verhalten sich wie die Quadrate ihrer Abstände von der Fläche.

Auf diesem Satze beruhen die Photometer, Apparate, durch welche man die Lichtstärken zweier Flammen vergleicht. Beim Photometer von Rumford (Fig. 240) werden durch zwei Flammen L und L′ von einem Stabe K auf einem Schirm zwei Schattenbilder S und S′ entworfen, von denen jedes von der andern Flamme beleuchtet wird. Entfernt man die eine Flamme so weit, daß die Schatten gleich hell erscheinen, so verhalten sich die Lichtstärken wie die Quadrate der Entfernungen der Flammen vom Schirm.

Beim Photometer von Bunsen ist auf einem Schirm von Seidenpapier ein kleiner Stearinfleck angebracht; dieser ist durchscheinend, so daß er, wenn hinter dem Schirm eine Flamme brennt, hell auf dunklem Grunde erscheint. Nähert man nun auch von vorn ein Licht A, so sieht man bei einer bestimmten Annäherung den Stearinfleck verschwinden. Entfernt man A und nähert ein anderes Licht B von vorn, bis wieder der Stearinfleck verschwindet, so erhält nun der Schirm von B ebensoviel Licht als vorher von A, also verhalten sich die Lichtstärken von A und B wie die Quadrate ihrer Entfernungen vom Schirm.

Die gebräuchlichste Lichteinheit ist die Normalkerze oder deutsche Vereinskerze, das Licht einer Paraffinkerze von 22 mm Durchmesser und 30 mm Flammenhöhe. Es liefert z. B. ein Petroleumrundbrenner von 25 mm Durchmesser bei 54 g Ölverbrauch pro Stunde 16 Kerzen Lichtstärke.

Unter 1 Meterkerze versteht man die Beleuchtungsstärke, welche eine kleine Fläche von 1 Normalkerze in 1 m Entfernung bei senkrechter Beleuchtung empfängt. Eine Flamme von N Normalkerzen Lichtstärke liefert demnach in a m Entfernung bei senkrechtem Einfallen eine Beleuchtung von N a² Meterkerzen, bei schiefem: N a² cos α Meterkerzen.

Aufgaben:

109. Bei einem Photometer von Rumford ist eine deutsche Vereinskerze 64 cm, eine Petroleumlampe 1,53 m vom Schirm entfernt, so daß die Schatten gleich dunkel erscheinen. Wie viele Normalkerzen beträgt die Leuchtkraft dieser Lampe?

110. Wie viele Meterkerzen beträgt im vorigen Beispiel die Beleuchtung des Schirmes durch die Lampe allein?

111. In welcher Entfernung beleuchten 3 Argandbrenner à 22 N.K. eine Wand ebenso stark als eine Vereinskerze in ¹⁄₂ m Entfernung? Wie viele Meterkerzen hat die Beleuchtung?

190. Reflexion des Lichtes.

Trifft das Licht auf die Grenzfläche zweier Stoffe (Medien), so teilt es sich in zwei Teile; der eine Teil dringt in das zweite Medium ein (und wird entweder durchgelassen oder verschluckt, wovon später), der andere Teil kehrt in das erste Medium zurück, wird zurückgeworfen oder reflektiert.

Ist diese Grenzfläche rauh und uneben wie bei Holz, Stein, Erde, Papier, so wird das auffallende Licht nach allen Seiten hin zurückgeworfen, gleichgültig, wie es einfällt: zerstreute Zurückwerfung oder diffuse Reflexion. Sie bewirkt, daß wir solche Gegenstände überhaupt sehen, da die reflektierten Lichtstrahlen in unser Auge fallen, wo es sich auch befinden mag. Wir nennen einen Gegenstand hell, wenn er verhältnismäßig viele Lichtstrahlen zurückwirft (weißes Papier), dagegen dunkel, wenn er sehr wenig Licht zurückwirft (braune Stoffe, Erde u. s. w.) und schwarz, wenn er fast gar kein Licht zurückwirft. Einen absolut schwarzen Körper, der gar kein Licht zurückwirft, gibt es nicht; ein solcher müßte auch bei der stärksten Beleuchtung ganz unsichtbar sein; sehr schwarz ist Tusch und Lampenruß.

191. Definition des optischen Bildes.

Das Auge sieht einen Punkt, wenn von den Lichtstrahlen, die von dem Punkte ausgehen, ein (kegelförmiges) Bündel ins Auge fällt.

Werden alle Strahlen eines solchen Bündels durch irgend welche Ursachen von ihrer Bahn abgelenkt, so daß sie nachher wieder in einem Punkte A′ oder A′′′ (Fig. 241) zusammentreffen, so nennt man diesen Punkt A′ oder A′′′ ein optisches Bild des Punktes A. Denn die Lichtstrahlen setzen dann ihren geradlinigen Weg fort und bilden wieder ein kegelförmiges Strahlenbündel. Trifft dieses Bündel in das Auge, so hat es denselben Eindruck, wie wenn es vom Strahlenbündel des leuchtenden Punktes getroffen würde; das Auge glaubt in A′ den leuchtenden Punkt zu sehen. Deshalb nennt man A′ das Bild von A, und zwar ein reelles Bild; ebenso A′′′.

Werden jedoch die Strahlen eines solchen Bündels so abgelenkt, daß sie sich nicht wirklich in einem Punkte schneiden, aber doch so laufen, als wenn sie alle von einem Punkte A′′ herkämen, so nennt man diesen Punkt A′′ ein virtuelles Bild. Wird ein Auge in den Gang dieser Lichtstrahlen gebracht, so hat es den Eindruck, wie wenn die Strahlen wirklich von A′′ herkämen, es glaubt, in A′′ den leuchtenden Punkt A zu sehen.

Werden aber die Strahlen so abgelenkt, daß sie nach der Ablenkung keinen Vereinigungsort (weder einen reellen, noch virtuellen) haben, so hat das Auge, das man in den Gang solcher Lichtstrahlen bringt, wohl noch den Eindruck von Licht, Helligkeit, Farbe, aber nicht mehr den Eindruck, als sehe es den Punkt A. Es entsteht kein optisches Bild.

192. Reflexionsgesetze.

Ist die Grenzfläche zweier Medien glatt, so erfolgt die Reflexion nach den Reflexionsgesetzen (regelmäßige Reflexion):

1) Jeder Lichtstrahl wird nur nach einer Richtung reflektiert.

2) Der einfallende Strahl, der reflektierte und das Einfallslot liegen in einer Ebene, Reflexionsebene. Die Reflexionsebene steht senkrecht auf der reflektierenden Ebene.

3) Der Einfallswinkel ist gleich dem Reflexionswinkel, d. h. der Winkel, welchen der einfallende Strahl mit dem Einfallslot bildet, ist gleich dem Winkel, welchen der reflektierte Strahl mit dem Einfallslot bildet.

Der Reflexionsapparat: Auf einem Brettchen ist ein im Halbkreise gebogenes Blech befestigt, in Grade geteilt und in der Mitte mit einem Spalte versehen. Im Mittelpunkte des Kreises (Fig. 243) ist ein kleiner Spiegel drehbar aufgestellt und mit einem Zeiger verbunden, welcher auf ihm senkrecht steht, also die Spiegelnormale oder das Einfallslot darstellt, und mit seinem Ende längs des Halbkreises sich bewegt. Läßt man durch den Spalt einen Lichtstrahl auf den Spiegel fallen, dreht diesen, so daß der Zeiger etwa auf 32° zeigt, also der Einfallswinkel 32° beträgt, so wird das Licht reflektiert, und trifft den Halbkreis bei 64°; demnach ist auch der Reflexionswinkel 32°. Durch Versuche mit verschiedenen Einfallswinkeln findet man das Gesetz bestätigt.

193. Planspiegel.

Eine glatte Grenzfläche zweier Medien nennt man Spiegel, und zwar Planspiegel, wenn die Fläche eben ist.

Wenn ein Bündel paralleler Lichtstrahlen auf einen Planspiegel fällt, so sind auch die reflektierten Strahlen unter sich parallel.

Treffen Lichtstrahlen von einem leuchtenden Punkte aus divergent den Spiegel, so divergieren auch die reflektierten Strahlen und zwar so, als ob sie von einem Punkte herkämen, der hinter dem Spiegel liegt eben so weit wie der leuchtende Punkt vor demselben und zwar in der Verlängerung der vom leuchtenden Punkte auf den Spiegel gezogenen Senkrechten (Spiegelnormale).

Ableitung: Es sei (Fig. 244) SS′ der ebene Schnitt des Spiegels und L der leuchtende Punkt; ich mache LS ⊥ SS′, verlängere LS, so daß L′S = LS, und beweise, daß jeder reflektierte Strahl durch L′ geht. Sei LA ein beliebiger Strahl, so ziehe ich L′A und verlängere ihn nach AA′, so ist △ LAS ≅ △ L′AS; [denn SL = SL′, SA = SA, ∢ LSA = ∢ L′SA = R]; also ∢ LAS = ∢ L′AS; aber ∢ L′AS = S′AA′, demnach ∢ LAS = ∢ S′AA′ also auch, wenn MA ⊥ SS′ (Einfallslot), ∢ LAM = ∢ A′AM; AA′ ist also, da Einfallsw. = Reflexionsw., der reflektierte Strahl von LA. Was von LA bewiesen wurde, kann ebenso von jedem beliebigen anderen Strahle LB, LC etc. bewiesen werden; also gehen die reflektierten Strahlen wirklich so, als wenn sie von L′ herkämen. Man sagt: Der Planspiegel entwirft von dem leuchtenden Punkte L ein virtuelles Bild in L′, das in der Verlängerung der Spiegelnormale eben so weit hinter dem Spiegel liegt als der leuchtende Punkt vor dem Spiegel. Das angegebene Gesetz gilt nicht bloß von Strahlen, welche in der Ebene LSS′ liegen. Läßt man, wie in Figur 245 angedeutet, von L Strahlen ausgehen, die nicht in einer Ebene liegen, so werden sie auch so reflektiert, als wenn sie vom Punkte L′ herkämen, dessen Lage dem angegebenen Gesetze entspricht. Beweis ebenso.

Aufgaben:

112. Unter welchem Gesichtswinkel sieht man einen 1,2 m hohen Gegenstand in 15 m Entfernung?

113. Unter welchem Gesichtswinkel sieht man sich selbst, wenn man 4 m vor einem Spiegel steht, bei 1,7 m Größe? Wie groß muß der Spiegel sein, um die ganze Figur zu zeigen?

114. Dreht man einen Spiegel um den Winkel α, so dreht sich jeder von ihm reflektierte Strahl um den Winkel 2α. Beweis?

115. Wenn man 3,6 m vor einem Spiegel steht, unter welchem Gesichtswinkel sieht man dann das Spiegelbild eines 60 cm großen Gegenstandes, der 2 m (10 m) vor dem Spiegel steht?

115 a. Welche Bewegung macht das Bild eines Punktes, der sich einem Spiegel nähert?

115 b. Wenn bei einem Glasspiegel nicht nur die hintere mit Metall belegte Fläche, sondern auch die vordere Glasfläche spiegelt, um wie viel scheinen die zwei Bilder eines Punktes voneinander entfernt zu sein?

194. Winkelspiegel.

Zwei unter einem Winkel gegeneinander geneigte Planspiegel bilden einen Winkelspiegel. Befindet sich ein leuchtender Punkt zwischen beiden, so entstehen von ihm mehrere Bilder. Es sei A der leuchtende Punkt (Fig. 246), so entwirft Spiegel I das Bild A′; da dies Bild vor Spiegel II liegt, so entwirft dieser das Bild A′′; dies Bild liegt vor I, also entwirft I das Bild A′′′; dies liegt vor II, also entwirft II das Bild A′′′′; A′′′′ liegt hinter I, also spiegelt es sich nicht mehr. Nun spiegelt sich A auch in II; II entwirft also das Bild B; von ihm entwirft I das Bild B′; von ihm entwirft II das Bild B′′; von ihm I das Bild B′′′, das bei der in der Figur angenommenen Anordnung (∢ v. 45°) mit A′′′′ zusammenfällt.

Die Bilder liegen in einem Kreise, dessen Ebene senkrecht zur Schnittlinie der Spiegel ist; ihre Anzahl, den Gegenstand mitgerechnet, ist 8, allgemein = 360a, wenn die Neigung der beiden Spiegel a° ist. Die Anzahl der Bilder wächst, wenn der Winkel kleiner wird. Das Kaleidoskop besteht aus drei unter je 60° gegen einander geneigten spiegelnden Glasstreifen, die in eine Röhre gefaßt sind; vor derselben zwischen zwei Deckgläsern liegen kleine Stückchen farbigen Glases, welche durch Drehen und Schütteln immer in andere Lage gebracht werden können. Durch die Spiegelung setzen sich aus den Glasstückchen und deren Spiegelbildern sechsseitige Sternfiguren zusammen, die durch ihre Regelmäßigkeit gefallen und durch ihre Wandelbarkeit ergötzen.

Das Debuskop ist ein Winkelspiegel aus zwei Silberspiegeln zusammengestellt; sein Winkel kann beliebig verändert werden; stellt man es auf eine Zeichnung, so sieht man sie zu einem regelmäßigen Stern vervielfältigt, und kann sich so aus unregelmäßigen Strichen Motive zu gefälligen Sternmustern suchen.

Aufgaben:

116. Bei einem Winkelspiegel von 45° ist ein Strahl nach zweimaliger Brechung senkrecht zu seiner ursprünglichen Richtung.

116 a. Bei einem Winkelspiegel von 90° ist ein Strahl nach zweimaliger Brechung seiner ursprünglichen Richtung parallel.

195. Sphärische Spiegel.

Ein sphärischer Spiegel ist gekrümmt wie die Oberfläche einer Kugel; ist dabei die innere, hohle Seite spiegelnd, so heißt er ein Hohlspiegel oder konkaver sphärischer Spiegel; ist die äußere Seite spiegelnd, so heißt er ein konvexer Spiegel.

Brennpunkt des Hohlspiegels.

Die Hohlspiegel sind gewöhnlich rund, und die Verbindungslinie des Krümmungsmittelpunktes mit der Mitte des Spiegels, also OM, ist die Hauptachse; jede andere durch O gehende Linie heißt eine Nebenachse des Spiegels.

Wir lassen ein Bündel paralleler Lichtstrahlen der Hauptachse MO parallel auf den Spiegel fallen (Fig. 247) und untersuchen den Gang der reflektierten Strahlen. Es sei LJ ein solcher Strahl, so kann man das in J liegende Flächenstückchen des Spiegels als eben betrachten; das Einfallslot ist dann der Krümmungsradius JO, da er senkrecht auf der Fläche steht. Macht man den Reflexionswinkel gleich dem Einfallswinkel, und nennt den Schnittpunkt des reflektierten Strahles mit der Achse F, so ist LJO = OJF (Reflexionsges.), LJO = JOF (Wechselwinkel), also OJF = JOF, somit △ FJO gleichschenklig, oder JF = FO. Wir nehmen nun an, J liege so nahe an M, daß man ohne nennenswerten Fehler JF = FM setzen kann, so ist auch FM = FO, d. h. der reflektierte Strahl schneidet die Achse in der Mitte des Radius. Für jeden anderen parallelen Strahl L′J′ gilt dieselbe Ableitung und das gleiche Resultat, ebenso auch für jeden Strahl, der in einem andern Achsenschnitte des Spiegels liegt.

Folglich: Alle parallel der Hauptachse auffallenden Strahlen gehen nach der Reflexion durch denselben Punkt F um so genauer, je näher sie an der Mitte M auffallen, Zentralstrahlen.

Läßt man Sonnenlicht auf den Hohlspiegel fallen, so wird es in einen kleinen Fleck vereinigt, ebenso aber auch alle Wärmestrahlen; es ist deshalb in diesem Punkte (Flecke) sehr viel Wärme vereinigt, so daß ein leicht entzündlicher Körper dort entzündet wird. Man nennt deshalb diesen Punkt F den Brennpunkt oder Fokus, seinen Abstand vom Spiegel, also FM, die Brennweite oder Fokaldistanz, f, und den Hohlspiegel auch Brennspiegel.

Ist die Öffnung eines Hohlspiegels einigermaßen groß im Verhältnis zum Radius, so weichen die reflektierten Strahlen beträchtlich von dem eben beschriebenen Gange ab, gehen also nicht mehr alle durch den Brennpunkt, sondern berühren eine krumme Linie, welche im Brennpunkte eine Spitze hat, Brennlinie oder katakaustische Linie.

Betrachtet man nicht nur den in der Figur gezeichneten Achsenschnitt, sondern alle Achsenschnitte, so liefert jeder eine Brennlinie; sie erfüllen eine Brennfläche, die katakaustische Fläche.

196. Bildgleichung des Hohlspiegels.

Wir lassen das Licht ausgehen von einem auf der Hauptachse im Endlichen liegenden Punkte L und untersuchen den Gang der reflektierten Strahlen (Fig. 249). Ist LJ der einfallende Strahl, OJ das Einfallslot, JB der reflektierte Strahl, so daß LJO = OJB, und B dessen Schnittpunkt mit der Achse, so ist in △ BJL der Winkel an der Spitze halbiert, daher

Betrachten wir nur Zentralstrahlen, so daß ohne nennenswerten Fehler LJ = LM und BJ = BM, so ist

Bezeichnet man den Abstand des leuchtenden Punktes vom Spiegel, also LM, mit a, den Abstand des Punktes B vom Spiegel mit b und setzt r = 2 f, so wird aus obiger Proportion:
a : b = (a - 2 f) : (2 f - b); hieraus
2 a f - a b = a b - 2 b f,
2 a f + 2 b f = 2 a b, und durch Division mit 2 a b f
1a + 1b = 1f. Aus dieser Gleichung kann b berechnet werden. Für jeden anderen Zentralstrahl LJ gilt dieselbe Ableitung, folglich gehen alle reflektierten Strahlen durch denselben Punkt B. Man hat also den Satz: Liegt der leuchtende Punkt auf der Hauptachse, so gehen die reflektierten Strahlen alle durch einen Punkt B der Hauptachse. Dieser Punkt B ist deshalb ein reelles Bild des leuchtenden Punktes L, und sein Abstand b vom Spiegel berechnet sich aus der Gleichung 1a + 1b = 1f (Bildgleichung).

197. Größe, Art und Lage der Bilder beim Hohlspiegel.

Hält man in B einen kleinen Schirm, so wird ein Punkt desselben von allen reflektierten Strahlen getroffen, also beleuchtet: das Bild ist auf einem Schirm auffangbar.

Liegt der leuchtende Punkt nicht in L (Fig. 250), sondern senkrecht zur Achse etwas entfernt in L′, so kann man L′O als dessen Achse ansehen und findet sein Bild in B′, wobei auch B′B senkrecht zur Achse. Besteht der leuchtende Körper aus der Linie LL′, so ist das Bild BB′.

Vergleicht man die Größe des Bildes BB′ mit der Größe des Gegenstandes LL′, so hat man LL′ : BB′ = LO : BO; aber LO : BO = LM : BM = a : b (siehe Ableitung), also LL′ : BB′ = a : b; d. h. die Größen von Gegenstand und Bild verhalten sich wie ihre Abstände vom Spiegel.

Wir betrachten an der Hand der Bildgleichung 1b = 1f - 1a die Bilder, welche entstehen, wenn der leuchtende Punkt vom Unendlichen immer näher an den Spiegel rückt, und kontrollieren die Richtigkeit durch einfache Versuche mittels eines Hohlspiegels, einer Flamme und eines beweglichen Papierschirmes.

Liegt der Punkt im Unendlichen, so ist a = ∞, 1a = 0, also 1b = 1f, also b = f; das Bild liegt im Brennpunkte. Rückt L vom Unendlichen gegen den Spiegel (Fig. 251), so wird a kleiner, 1a größer, demnach 1b kleiner, also b größer; das Bild rückt vom Brennpunkte aus vom Spiegel weg, anfangs sehr langsam, später rascher. Rückt L bis in den Mittelpunkt O, so ist a = 2 f, also b = 2 f, d. h. auch das Bild ist im Mittelpunkt angekommen und ist so groß wie der Gegenstand. Während der leuchtende Punkt vom Unendlichen bis zum Mittelpunkt rückt, rückt das Bild vom Brennpunkte bis zum Mittelpunkte; die Bilder sind dabei verkehrt, reell, verkleinert, aber wachsend.

Rückt L noch näher an den Spiegel (Fig. 252), so wird a noch kleiner, 1a größer, somit 1b kleiner, also b größer, d. h. das Bild rückt noch weiter vom Spiegel. Kommt der leuchtende Punkt in den Brennpunkt, so ist a = f, also 1b = 0 und b = ∞, d. h. das Bild liegt im Unendlichen; die reflektierten Strahlen laufen parallel. Während der leuchtende Punkt vom Mittelpunkte bis zum Brennpunkte rückt, rückt das Bild vom Mittelpunkte ins Unendliche; die Bilder sind verkehrt, reell, vergrößert und wachsend. Der Brennpunkt selbst bekommt dadurch noch eine weitere Bedeutung: die vom Brennpunkt ausgehenden Strahlen sind nach der Reflexion parallel der Achse.

Rückt L noch näher an den Spiegel (Fig. 253), so wird a < f, also 1a > 1f, somit b negativ; das bedeutet, das Bild liegt hinter dem Spiegel (wie beim Planspiegel), ist demnach virtuell, d. h. die Lichtstrahlen laufen nach der Reflexion so, als wenn sie von einem hinter dem Spiegel liegenden Punkte herkämen. Die Bilder können nicht auf dem Schirme aufgefangen werden. So lange a noch nahezu = f ist, ist b sehr groß, die Bilder liegen sehr weit hinter dem Spiegel und sind deshalb stark vergrößert. Rückt der leuchtende Punkt ganz an den Spiegel, ist also a = 0, also 1a = ∞, so ist 1b = - ∞, also b = 0, d. h. auch das Bild liegt am Spiegel. Während der leuchtende Punkt vom Brennpunkte an den Spiegel rückt, liegt das Bild hinter dem Spiegel und rückt vom Unendlichen auch bis zum Spiegel: die Bilder sind dabei virtuell, aufrecht und vergrößert, aber abnehmend.

198. Konstruktion der Bilder beim Hohlspiegel.