1. Zweck einer Abbildung. Nehmen wir an, wir betrachten irgendein Raumobjekt, mag es nun eine Maschine oder ein Apparat sein, ein Werk der Plastik oder der Architektur oder auch eine Landschaft. Wenn wir dann über die gegenseitige Lage der einzelnen Teile des Objektes, über die relativen Größenverhältnisse und schließlich auch über die wirklichen Maße des Gegenstandes zu einem gewissen Urteil gelangt sind, so daß der Gegenstand uns klar zum Bewußtsein gekommen ist, so sagen wir, daß wir eine Vorstellung von dem Objekte haben. Der bloße Anblick von einer Stelle aus wird meistens gar nicht dazu ausreichen. Denn jedes Objekt verdeckt sich, wenn es nicht durchsichtig ist, zum Teil selbst: wir werden vielmehr im allgemeinen mehrere Ansichten brauchen. Bei kleineren Gegenständen genügen zu diesem Zwecke etwa schon Bewegungen des Kopfes oder Oberkörpers. Ausgedehnteren Objekten gegenüber, wie zum Beispiel bei einem Gebirgsstock, sind unter Umständen ganze Wanderungen nötig, um eine wirkliche Anschauung derselben zu gewinnen.

Bildliche Darstellungen irgendwelcher Art dienen nun in erster Linie dem Zwecke, dem Beschauer die Möglichkeit zu bieten, sich von den betreffenden Objekten eine Vorstellung zu bilden, ohne daß er sie wirklich vor Augen hat. Die Bilder ersetzen also bis zu einem gewissen Grade die Objekte.

Sicher muß unser Vorstellungsvermögen schon ziemlich ausgebildet sein, wenn wir uns auf Grund einer Zeichnung ein Objekt vorstellen können. Aber wir eignen uns diese Fähigkeit durch fortgesetzte Übung an, fast ohne es zu merken. Schon dem Kinde geben wir ein Bilderbuch in die Hand; es vergleicht die Gegenstände in der Natur mit denen im Bilde und lernt dadurch allmählich Sehen. So kommt es, daß heutzutage bei uns auch der Ungebildete und Ärmste imstande ist, sich ein Gebäude oder eine Landschaft einigermaßen vorzustellen, wenn er davon eine Abbildung, etwa eine Photographie, zu sehen bekommt.

Aus alledem folgt nun, daß eine bildliche Darstellung die Gegenstände so wiedergeben muß, wie wir sie sehen, und wir werden deswegen aus dem Vorgang des Sehens eine Definition für den Begriff des »Bildes« abzuleiten haben.

2. Mechanische Vorrichtung zur Herstellung eines Bildes. Zunächst wollen wir jetzt eine Vorrichtung kennen lernen, welche es uns ermöglicht, das, was wir ein »Bild« eines Gegenstandes nennen, mechanisch herzustellen. Eine durchsichtige Glasplatte sei in einem Holzrahmen vertikal vor uns aufgestellt. Hinter der Glasplatte, von unserem Standpunkte aus gerechnet, befindet sich der abzubildende Gegenstand. Wir sehen denselben durch die Glasplatte hindurch. Um die Betrachtung zu vereinfachen, wollen wir das eine Auge schließen, also den Gegenstand nur mit einem Auge betrachten. Aber auch dann würden wir noch bei jeder Bewegung des Körpers oder Kopfes das Objekt in einer anderen Ansicht erblicken; deswegen ist es weiter nötig, unser Auge im Raume zu fixieren: man erreicht dies, indem man noch ein Stativ mit einer undurchsichtigen Platte anbringt, in welche eine kleine Öffnung, ein Guckloch, geschnitten ist. Wir wollen nun den Gegenstand betrachten, indem wir das Auge ganz nahe an dieses Guckloch bringen; dadurch ist dem Auge eine feste Stelle im Raume angewiesen. Man vergleiche dazu auch die Abbildung 1, welche dem Buche von Albrecht Dürer: »Unterweisung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheit«, Nürnberg 1525, entnommen ist. Rechts erkennt man den von uns beschriebenen Apparat, als Objekt dient der links im Lehnstuhl sitzende Mann.

Wir nehmen ferner an, daß die Glasplatte auf der dem Auge zugewandten Seite so präpariert sei, daß wir auf ihr zeichnen können, was etwa durch Bestreichen mit Damarlack zu erreichen wäre. Nun endlich gehen wir dazu über, die Linien des Körpers, wie wir sie von dem Guckloch aus sehen, auf der Glasplatte nachzuzeichnen. Es decken sich also für mein Auge die gezeichneten Linien und die wirklichen Konturen des Gegenstandes.

Nachdem die Zeichnung fertiggestellt ist, denken wir uns das Objekt entfernt. Die Glasplatte bestreichen wir auf der Rückseite mit weißer Deckfarbe, so daß sie undurchsichtig wird; im übrigen bleibt sie an der gleichen Stelle. Die auf der anderen Seite befindliche Zeichnung wird dann auf das an dem Sehloch befindliche Auge annähernd den gleichen Eindruck machen wie der Gegenstand selbst; ich werde ihn immer noch vor mir zu sehen glauben. Weil also diese Zeichnung eine Vorstellung des Gegenstandes in uns wachzurufen imstande ist, nennen wir sie ein »Bild« des Gegenstandes. Freilich enthält unser Bild nur Linien; von den Unterschieden der Helligkeit, von Licht und Schatten, von der Farbe des Objektes haben wir ganz abgesehen. Aber man kann nicht alles auf einmal erreichen; es wäre eine zweite Aufgabe, auch diese Eigenschaften im Bilde wiederzugeben. Die erste und wichtigste Aufgabe ist jedenfalls die Herstellung einer Linienzeichnung, welche die Umrisse und überhaupt die wichtigsten Linien des Gegenstandes wiedergibt. Ja, sie genügt in vielen Fällen schon ganz allein. Denn gerade die Linie wirkt mit einer ganz wunderbaren Kraft und Stärke auf unsere Vorstellung.

3. Definition des perspektivischen Bildes. Wir müssen jetzt aber dazu übergehen, für den Begriff des Bildes eine mathematisch strenge Herleitung zu geben, indem wir aus dem Vorgange des Nachzeichnens auf der Glastafel das rein Geometrische herausschälen.

Statt der Glastafel denken wir uns eine ebene Fläche, also eine mathematische Ebene Π, gewählt; sie ist gegeben durch das Blatt Papier, das Reißbrett oder die Schultafel, auf der die Zeichnung hergestellt wird. Wir nennen diese Ebene kurz die »Bildebene« oder auch die »Tafel«. Der abzuzeichnende Körper sei ebenfalls ein mathematischer, nämlich ein Würfel abcdefgh. In Fig. 1 geben wir zunächst eine Darstellung des ganzen Vorganges. Statt der kleinen Öffnung, durch welche wir hindurchsehen, denken wir uns einen Punkt O im Raume gegeben, den wir in Erinnerung an unseren Apparat immer noch das »Auge« nennen. Wenn wir ferner an dem Gegenstand einzelne Linien ins Auge faßten und sie auf der Glastafel nachzeichneten, so lösen wir jetzt diese Linien in einzelne Punkte auf und betrachten zunächst einen Punkt des Körpers, z. B. die Ecke a. Was heißt es nun, daß wir auf der Glasplatte die verschiedenen Punkte des Gegenstandes nachzeichneten? Offenbar befinden sich dann der betreffende Punkt a, die Bleistiftspitze a', welche ihn auf der Glastafel markiert, und das Guckloch in einer geraden Linie. Denn wenn sich zwei Punkte im Raume für mein Auge decken, so liegen sie auf einer Geraden durch das Auge. Darauf beruht ja alles Visieren. Mathematisch ausgedrückt heißt das aber folgendes: wir ziehen durch den Punkt O eine Gerade nach dem Punkte a und bringen diese zum Schnitt mit der Bildtafel. Der Schnittpunkt ist eben a'. Wir nennen a' das »Bild« oder den »Riß« des Punktes a. Die durch O gehenden Geraden oder Strahlen bezeichnen wir als »Projektionsstrahlen« oder »Projizierende Strahlen« oder »Sehstrahlen«, den ganzen Vorgang als »Zentralprojektion«.

Denken wir uns nach allen Punkten der Linien des Gegenstandes diese Strahlen gezogen und mit der Bildebene zum Schnitt gebracht, so bilden alle diese Schnittpunkte das, was wir »ein perspektivisches Bild« des Objektes oder auch eine »Perspektive« des Würfels heißen.

In Fig. 2 ist ein solches Bild a'b'c'd'e'f'g'h' in seiner wahren Gestalt wiedergegeben. Die Bildebene Π ist hier die Ebene des Zeichenblattes. Oft wird auch nicht nur der ganze geometrische Prozeß, sondern das Bild selbst als eine Zentralprojektion bezeichnet. Wie sich für unser Auge die Ansicht eines Körpers ändert und immer wieder anders erscheint, wenn wir unseren Standpunkt dem Körper gegenüber verändern, so ist dieses perspektivische Bild auf der Bildtafel von zwei Faktoren abhängig: nämlich erstens davon, wie der Punkt O gegenüber der Bildtafel angenommen wird, und zweitens davon, welche Lage der Körper zur Bildtafel einnimmt. Sind aber der Punkt O und der Körper fest angenommen, so ist auch das Bild vollständig bestimmt. Man kann also sagen:

Unter »Perspektive« versteht man weiter auch die Lehre, wie man solche Bilder unmittelbar auf der Zeichenfläche mit Bleistift, Lineal und Zirkel konstruiert, ohne den mühsamen Prozeß des Nachzeichnens auf einer Glastafel durchführen zu müssen. Da es sich für uns bloß um die Wiedergabe der Linien des Körpers handelt, so spricht man auch von »Linearperspektive« oder »Linienperspektive«.

Solche perspektivische Bilder hat jeder schon oft gesehen; denn jede Photographie ist eines. Wir werden später zeigen, daß der photographische Apparat rein mechanisch derartige Bilder herstellt.

Den Begriff der Zentralprojektion gewannen wir als eine Vereinfachung des Vorganges des Nachzeichnens: er ist eine mathematische Abstraktion aus dem Sehprozeß. Wir werden nicht erwarten dürfen, daß sich diese mathematische Operation mit dem Begriff des Sehens deckt. Denn der physiologische Vorgang des Sehens ist ja tatsächlich auch ein äußerst verwickelter. Wir sehen nicht mit einem Auge, sondern mit beiden Augen, und wir halten die Augen nicht ruhig, sondern bewegen sie nach allen Seiten hin und her; wir tasten den Körper mit den Augen förmlich ab. Trotzdem leistet uns der Vorgang der Zentralprojektion schon in seiner rohen Annäherung wertvolle Dienste. Denn die perspektivischen Bilder sind unter allen gesetzmäßig definierten Abbildungen weitaus die anschaulichsten und naturgetreuesten. Bevor wir aber dazu übergehen, die Gesetze und Herstellungsweisen dieser Bilder zu erörtern, müssen wir davon handeln, wie man noch auf andere Weise Bilder oder Abbildungen von räumlichen Gegenständen erhalten kann.

§ 2. Der gerade (rechtwinklige) Riß.

4. Die Senkrechte von einem Punkte auf eine Ebene. Hängen wir einen schweren Körper, z. B. eine kleine Metallkugel oder ein Gewicht, vermittels eines Fadens etwa an der Decke eines Zimmers auf, so nimmt der Faden, nachdem der Körper zur Ruhe gelangt ist, unter dem Einfluß der Anziehung der Erde eine ganz bestimmte Lage an, welche nach dem Erdmittelpunkt hin gerichtet ist. Wir nennen diese Richtung »lotrecht« oder »vertikal«. Denken wir uns weiter unter dem Faden ein Gefäß mit einer Flüssigkeit, z. B. Wasser oder Quecksilber, so bildet deren Oberfläche eine Ebene, die wir als »wagrecht« oder »horizontal« bezeichnen. Wir sagen dann weiter, daß die Richtung des Fadens auf der Oberfläche der Flüssigkeit senkrecht stehe oder lotrecht zu ihr sei. Das an einem Faden befestigte Gewicht liefert ja auch den sog. »Senkel«, und mittels dieses allbekannten Instrumentes werden beim Bau eines Hauses die Steine in horizontalen Lagen angeordnet und die Mauern lotrecht aufgeführt.

Diese physikalische Tatsache erleichtert dann aber das Verständnis für den folgenden mathematischen

Die Ebene Π₁ kann ganz beliebig im Raume liegen. Ist sie im besondern eine wagrechte Ebene, so fällt die senkrechte zu ihr mit der »Vertikalen« zusammen.

5. Der gerade (rechtwinklige) Riß. Den Fußpunkt p₁ der von einem Punkte p auf eine Ebene Π₁ gefällten Senkrechten nennt man den geraden oder rechtwinkligen oder orthogonalen Riß des Punktes p auf die Ebene Π₁. Die Ebene Π₁ heißt wieder die Bildtafel, Bildebene oder kurz Tafel. Statt Riß wird auch das Wort Projektion gebraucht, das allerdings gleichzeitig den ganzen Vorgang bezeichnet. Man sagt auch: der Punkt p ist orthogonal auf die Ebene Π₁ projiziert worden.

Was wir für einen einzelnen Punkt durchgeführt haben, können wir jetzt auch auf einen Körper und die an ihm auftretenden Linien anwenden. Es sei z. B. ein Würfel abcdefgh gegeben und die Ebene Π₁; wir erläutern den ganzen Vorgang, wie er sich im Raume abspielt, durch die Fig. 4. a sei eine Ecke des Würfels. Wir denken uns durch a das Lot zur Ebene Π₁ gezeichnet, welches in a₁ die Tafel Π₁ durchsetzt. a₁ ist der gerade Riß des Punktes a. Eine zweite Ecke b des Würfels liefert ebenso den Riß b₁. Dann wird man leicht einsehen, daß alle Punkte auf der Verbindungsstrecke ab Risse haben, welche auf der Verbindungsstrecke a₁b₁ liegen, d. h. a₁b₁ ist der Riß von ab. Führen wir die Projektion für alle Ecken und Kanten des Würfels durch, so erhalten wir die Figur a₁b₁c₁d₁e₁f₁g₁h₁, die den orthogonalen Riß des Würfels in der Ebene Π₁ gibt. In Fig. 5 ist weiter ein solcher Riß in seiner wahren Gestalt wiedergegeben. Dabei wurde also die Ebene des Papiers als Tafel Π₁ gewählt. Der Würfel selbst schwebt im Raume über der Buchseite.

Die Figur kann auch dazu dienen, folgenden übrigens leicht zu beweisenden Satz zu veranschaulichen:

Beispielsweise sind ab und cd zwei im Raume parallele Gerade, und ihre Risse a₁b₁ und c₁d₁ sind ebenfalls parallel.

Wir wollen nun noch eine ganz selbstverständliche Eigenschaft einer solchen Darstellung kennen lernen.

A sei eine Gerade, welche senkrecht auf der Tafel Π₁ steht (Fig. 6). Wählen wir auf ihr beliebig einen Punkt a, so fällt das Lot, das man von ihm aus auf die Tafel fällen kann, natürlich mit der Geraden A zusammen, und der rechtwinklige Riß des Punktes a wird der Punkt a₁, in dem die Gerade A die Bildebene durchbohrt. Aber auch jeder andere Punkt b, c … von A hat einen Riß b₁, c₁ …, der stets mit a₁ sich deckt. Mit anderen Worten: Die Gerade A, welche auf der Bildtafel senkrecht steht, hat als Riß einen Punkt, ihren Schnittpunkt mit der Tafel.

Stellen wir uns ferner eine Ebene efki vor (Fig. 6), welche auf der Bildebene senkrecht steht, also z. B. eine lotrechte, vertikale Mauer, wenn Π₁ horizontal gedacht wird, und ist ef die Schnittlinie dieser Ebene mit der Tafel, so fallen die geraden Risse aller Punkte dieser Ebene auf die Linie ef. Eine solche Ebene hat demnach als Riß eine Gerade, nämlich die Schnittlinie der Ebene mit der Tafel.

Gerade und Ebenen, welche auf der Bildebene senkrecht stehen, verschwinden folglich gewissermaßen im geraden Riß; aus dem Riß kann man die Ausdehnung solcher Geraden und Ebenen nicht beurteilen. Ist z. B. in Fig. 6 defghikl ein Würfel, der mit seiner einen Fläche defg in der Tafel liegt, so ist der gerade Riß des Würfels eben dieses Quadrat defg. Die vier Kanten dh, ei, fk, gl erscheinen als Punkte, und die vier Ebenen deih, efki, fglk und gdhl, welche auf der Tafel senkrecht stehen, gehen durch die Projektion in die Geraden de, ef, fg, gd über. Setzen wir aber auf diesen ersten Würfel einen zweiten Würfel hiklmnop, so hat dieser zweite Würfel den gleichen Riß defg, und auch das aus den beiden Würfeln bestehende Prisma defgmnop hat den Riß defg. Fig. 7 gibt wieder die wahre Gestalt der Risse.

Auch solche rechtwinklige Risse hat ein jeder schon gesehen. Denn jeder Plan einer Stadt ist ein derartiger Riß; die Bildtafel ist dabei eine horizontale Ebene. Wir wollen dieses Beispiel aber auch noch dazu benutzen, um uns darüber klar zu werden, mit welchem Rechte man auch diese rechtwinkligen Risse als Bilder der betreffenden Gegenstände bezeichnet. Wir fragen uns mithin: von wo aus betrachtet sieht eine Stadt so aus wie ihr Plan? Besteigen wir einen der Türme der Stadt und blicken von ihm aus, also aus einer Höhe von vielleicht 100 m, auf dieselbe herunter, so wird nur die nächste Umgebung des Turmes so erscheinen wie auf dem Plane. Von den weiter entfernt gelegenen Häusern dagegen sehen wir noch Fenster, Türen usf. Steigen wir aber in einem Ballon bis zu einer Höhe von etwa 1000 m über der Stadt auf, so wird schon ein größerer, unmittelbar unter dem Ballon gelegener Teil der Stadt uns so erscheinen, wie er auf dem Plane wiedergegeben ist. Je höher wir uns über die Stadt erheben, um so mehr sehen wir die Stadt unter uns so wie auf dem Plane. Aber erst wenn wir das Auge auf einer Senkrechten zur Bildebene über alle Maßen weit entfernt denken (Fig. 6), dann würde es die Gegenstände so sehen, wie sie im rechtwinkligen Riß dargestellt sind. Alle Sehstrahlen sind jetzt parallel, da sie alle senkrecht auf der Bildebene stehen. Wir erkennen demnach:

Weil alle zur Bildebene senkrechten Abmessungen im rechtwinkligen Riß verschwinden, so können wir aus einem Plan keinen Aufschluß gewinnen über die Höhe der einzelnen Häuser, der Mauern, Türme.

6. Bestimmung eines Gegenstandes durch zwei rechtwinklige Risse. Ist es nun aber nicht möglich, einen Gegenstand vollständig durch Risse zu bestimmen, so daß alle Abmessungen desselben, Länge, Breite, Höhe usf., aus den Darstellungen entnommen werden können? Da ein Riß in einer Ebene nach dem Obigen nicht genügt, so geben wir uns noch einen zweiten Riß in einer zweiten Tafel. Wir wählen also noch eine zweite Bildtafel Π₂, die der Einfachheit wegen auf der ersten Bildtafel Π₁ senkrecht stehe. Die in Fig. 8 gegebene Ansicht möge wieder dazu dienen, sich die räumlichen Überlegungen klar zu machen. Es ist nun natürlich nötig, beide Tafeln und die in ihnen liegenden Risse zu unterscheiden. Die Ecke a des Würfels liefert in der ersten Tafel Π₁ den Riß a₁. Außerdem hat der Punkt a aber auch einen Riß in der zweiten Tafel. Wir erhalten denselben nach unserer Definition, indem wir uns von a eine Senkrechte zu Π₂ konstruiert denken. Durchsetzt diese Senkrechte in a₂ die zweite Tafel, so ist dieser Punkt der Riß von a in der Π₂. Wir nennen a₁ den ersten, a₂ den zweiten Riß des Punktes a. Wie ferner der Würfel abcdefgh in der Π₁ den Riß a₁b₁c₁d₁e₁f₁g₁h₁ liefert, so läßt sich nun auch der zweite Riß a₂b₂c₂d₂e₂f₂g₂h₂ des Würfels in der Π₂ konstruieren. Die beiden Risse werden also durch die rechts unten angebrachten Zahlen unterschieden. Die erste Tafel Π₁ können wir uns als eine horizontale Ebene denken, und wir nennen den in ihr gelegenen ersten Riß auch den »Grundriß« oder die »Horizontalprojektion«. Die zweite Tafel Π₂ ist dann eine Vertikalebene, und der in ihr gelegene zweite Riß heißt auch »Aufriß« oder die »Vertikalprojektion«. Was für den ersten Riß erörtert wurde, gilt natürlich ganz ebenso auch für den zweiten. In Sonderheit erscheinen wieder Gerade, welche zur Aufrißebene Π₂ senkrecht stehen, in ihr als Punkte und Ebenen, welche auf Π₂ senkrecht stehen, bilden sich als Gerade in der Π₂ ab.

Denken wir uns jetzt die beiden Tafeln Π₁ und Π₂ etwa in Holz gefertigt und miteinander fest verbunden. Weiter sei ein Würfel im Raume gegeben und in seiner Lage gegen die beiden Tafeln fixiert (Fig. 8). Wir wollen von dem Würfel den Grundriß und den Aufriß zeichnen. Nachdem dieses geschehen ist, entfernen wir den Würfel. Dann ist durch die beiden auf den Tafeln gezeichneten Risse der Würfel immer noch bestimmt. Denn wir können von jeder seiner Ecken die Lage im Raume bestimmen. In der Tat sind z. B. a₁ und a₂ die beiden Risse einer Ecke, so errichten wir im Punkt a₁ der Grundrißebene eine Senkrechte zur Π₁, und ebenso konstruieren wir im Punkte a₂ der Aufrißebene eine Senkrechte zu ihr. Dann werden sich diese beiden Lote schneiden, und ihr Schnittpunkt gibt die Ecke a. In der gleichen Weise können wir für alle anderen Ecken des Würfels ihre Lage im Raume bestimmen. Also ist auch der ganze Würfel dadurch festgelegt: es wäre möglich, z. B. durch Stäbchen und Glasperlen die Ecken des Würfels wirklich im Raume anzugeben. Überhaupt kann man sagen:

7. Das Zusammenlegen der Tafeln. Es wäre recht unbequem, wollte man sich stets der beiden senkrecht zueinander befestigten Tafeln bedienen, wenn man sich auf Grund irgendwelcher Risse einen Körper vorstellen soll. Was wir wollen, ist eine auf einem Blatte befindliche Zeichnung, die dann bequem überall zu benutzen ist. Zu einer solchen gelangen wir, wenn wir die zweite Tafel sich mit der ersten vereinigen lassen. Es sei K die Schnittlinie der beiden Tafeln (Fig. 9), die wir kurz die Kante nennen. Wir drehen nun die Π₂ um K wie um ein Scharnier so lange, bis Π₂ mit Π₁ zusammenfällt.

Die Figur 9 veranschaulicht wieder zunächst den räumlichen Vorgang. Der beliebige Punkt a hat als ersten Riß den Punkt a₁, als zweiten Riß den Punkt a₂' Es fragt sich, wohin a₂' gelangt, wenn die Aufrißebene Π₂ durch die Drehung mit der Grundrißebene zur Deckung gebracht wird. Die beiden Senkrechten aa₁ und aa₂' bestimmen doch eine Ebene, welche auf der Kante K senkrecht steht. Der Schnittpunkt dieser in Fig. 9 schraffierten Ebene mit der Kante K sei a. Es ist also jetzt sowohl a₁a ⊥ K1 als auch a₂'a ⊥ K. Bei der Drehung der Aufrißebene beschreibt a₂' einen Kreis mit dem Mittelpunkt a und dem Radius a₂'a, der in der schraffierten Ebene a₁aa₂'a liegt. Ist also a₂ die Lage, welche a₂' nach Ausführung der Drehung annimmt, so muß auch a₂a ⊥ K sein; demnach fällt a₂ auf die Verlängerung der Linie a₁a, und es ist a₂a = a₂'a.

In Fig. 10 bilden wir nun das Zeichenblatt selbst ab; es ist gewissermaßen doppelt zu nehmen, da es sowohl die Grund- als die Aufrißebene vorstellt. Die Kante K ist als eine horizontale Linie darauf gezeichnet. Dann müssen die beiden Risse a₁ und a₂ offenbar auf einem Lote zur Kante K gelegen sein; der Schnittpunkt des Lotes a₁a₂ mit K ist der Punkt a. Es folgt also:

Geben wir uns irgend zwei Punkte, jedoch so, daß sie auf einer Senkrechten zu K liegen, und ist der eine durch die Bezeichnung a₁ als erster Riß, der andere durch die Bezeichnung a₂ als zweiter Riß gekennzeichnet, so bestimmen diese beiden Risse einen ganz bestimmten Punkt a im Raume. Um uns denselben vorzustellen, denken wir uns die eine Hälfte des Zeichenblattes, in der a₂ liegt, um K in die Höhe gedreht, bis sie auf der anderen Hälfte des Blattes senkrecht steht. Dann sind die beiden Tafeln in ihre wahre Lage gebracht, und wir finden den Punkt a auf die Weise wie es in 6. auseinandergesetzt wurde.

Einfacher ist es übrigens zu beachten, daß in Fig. 9

aa₁ = a₂'a = a₂a.

Es gibt also in Fig. 10 die Strecke a₂a den Abstand des Punktes von der Zeichenebene. Wir haben uns demnach in a₁ eine Senkrechte zur Fläche des Papiers errichtet zu denken. Auf dieser Senkrechten liegt der Punkt in einem Abstande von der Zeichenfläche, der durch a₂a gegeben ist.

Es ist sehr nützlich sich zu überlegen, wie die beiden Risse eines Punktes gelegen sind, wenn der betreffende Punkt verschiedene Lagen im Raume annimmt. In den Figuren 9 und 10 ist noch ein zweiter Punkt b eingetragen.

In Fig. 11 sind ferner die beiden Risse eines Würfels wirklich gezeichnet, von dem die Fig. 8 die Lage im Raume angab. Diese hier nur ihrem Wesen nach kurz skizzierte Methode des Grund- und Aufrisses wird in der darstellenden Geometrie weiter ausgeführt. Außer den perspektivischen Bildern und den geraden Rissen gibt es noch eine dritte Art von Bildern, die sog. »Schrägbilder« oder »Parallelprojektionen«. Bei ihnen ist die Projektionsrichtung nicht senkrecht zur Bildebene, sondern beliebig gegen sie geneigt. Die in diesem Buche zur Erläuterung beigegebenen Figuren, z. B. 1, 4, 6, 8, sind solche Schrägbilder. Man vergleiche darüber das Bändchen »Projektionslehre« in dieser Sammlung.

Nach diesen einleitenden Betrachtungen wollen wir uns nun eingehender mit den perspektivischen Bildern beschäftigen.