Linné, der bald darauf die Systematik durch die Errichtung seines auf die Sexualität gegründeten Systems zu einem vorläufigen Abschluß brachte, fußte, was diese Grundlage anbetraf, wesentlich auf Camerarius, wenn dessen Lehre durch ihn auch keine nennenswerte Fortbildung erfuhr. Letzteres geschah erst durch die Untersuchungen Koelreuters, die späterer Besprechung vorbehalten bleiben.

18. Der weitere Ausbau der Mechanik, Optik und Akustik.

Die von Galilei, Newton, Huygens und anderen ausgeübte Methode, welche durch die Verknüpfung des Versuchs mit dem mathematischen Beweisverfahren zum Auffinden der Naturgesetze führt, blieb während des 18. Jahrhunderts, wie zur Zeit ihrer Schöpfer, im wesentlichen auf die Astronomie und die Mechanik beschränkt. Auch galt es, während dieses Zeitraumes die von Newton696 und Leibniz697 ins Leben gerufene höhere Analysis zur Bewältigung derjenigen großen Aufgaben geeignet zu machen, die zunächst auf den Gebieten der Mechanik, der Optik und der Akustik einer Lösung harrten.

Naturwissenschaft und Mathematik.

Daß die höhere Mathematik im Verlauf des 18. Jahrhunderts zu dem »Riesenschwerte« des Astronomen und Physikers und später des modernen Naturforschers überhaupt wurde, ist vor allem den Mitgliedern der Familie Bernoulli und Leonhard Euler zu verdanken. Der älteste und zugleich einer der bedeutendsten unter den zahlreichen großen Mathematikern dieser Familie ist Jakob Bernoulli (1654–1705). Er ist als einer der wichtigsten Bahnbrecher auf den Gebieten der Infinitesimalrechnung, der Reihenlehre, Kombinationslehre und Wahrscheinlichkeitsrechnung zu nennen698. Jacob Bernoulli beschäftigte sich mit den beiden zuletzt genannten Gegenständen seit etwa 1680. Sein großes Werk, in dem er die eigenen und die Forschungen anderer Mathematiker über Kombinatorik und Wahrscheinlichkeitsrechnung zusammenfaßte, erschien jedoch erst einige Jahrzehnte später699. Es enthält auf dem Gebiete der ersteren, und zwar in der noch heute üblichen Form, so ziemlich alles, was den Bestand dieser Disziplin ausmacht700. Bei weitem der wichtigste Abschnitt des Werkes ist der letzte701. Bernoulli stellte sich darin die Aufgabe, die Wahrscheinlichkeitsrechnung auf »bürgerliche, sittliche und wirtschaftliche Verhältnisse« anzuwenden. Im Hinblick auf die ganz neuen Bahnen, welche damit diesem Zweige der Mathematik gewiesen werden, ist es doppelt bedauerlich, daß dieser Abschnitt unvollendet geblieben ist. Die Wahrscheinlichkeit wird als ein Grad der Gewißheit erklärt, der sich von der Gewißheit selbst wie ein Teil vom Ganzen unterscheidet. Besteht die absolute Gewißheit (a oder 1) aus 5 Wahrscheinlichkeiten (oder Teilen), von denen 3 für das Eintreten eines Ereignisses und zwei dagegen sprechen, so besitzt das Ereignis 3/5a oder 3/5 der Gewißheit.

Die Untersuchung gipfelt in dem Bernoullischen Theorem702, das man auch das Gesetz der großen Zahlen genannt hat. Das Theorem betrifft die Frage, ob durch Vermehrung der Beobachtungen, oder durch fortgesetzte Häufung der Einzelfälle, die Wahrscheinlichkeit dafür wächst, daß die Zahl der günstigen zur Zahl der ungünstigen Fälle schließlich das wahre Verhältnis erreicht. Bernoulli formuliert das Problem und bejaht es auf Grund eines mathematischen Beweisverfahrens. Sehr treffend bemerkt er, die Aufgabe habe sozusagen ihre Asymptote, indem, auch bei beliebiger Vermehrung der Beobachtungen, ein bestimmter Grad von Wahrscheinlichkeit, das wahre Verhältnis der Fälle gefunden zu haben, nicht überschritten werden könne.

Als Beispiel wählt Bernoulli eine zugedeckte Urne, in der sich ohne unser Vorwissen 3000 weiße und 2000 schwarze Steine befinden. Durch häufiges Ziehen und jedesmaliges Zurücklegen der Steinchen in die Urne wird man mit immer größerer, schließlich mit an Gewißheit grenzender Wahrscheinlichkeit das Verhältnis 3 : 2 ermitteln, indem dieser Wert mit der Häufung der Fälle in immer engere Grenzen eingeschlossen wird. Wir sind daher, sagt Bernoulli, gezwungen, bei allen Geschehnissen eine gewisse Notwendigkeit anzuerkennen. Würde man nämlich alle Ereignisse durch alle Ewigkeit hindurch beobachten, so würde schließlich die Wahrscheinlichkeit in volle Gewißheit übergehen. Man müsse also bei noch so zufällig erscheinenden Dingen doch eine Notwendigkeit annehmen und zu dem Schlüsse kommen, daß alles in der Welt in bestimmter Gesetzmäßigkeit vor sich gehe.

Jacob Bernoullis Arbeiten über unendliche Reihen703 sind darauf zurückzuführen, daß sie häufig ein Mittel bieten, um zu einer Lösung von Integrationsaufgaben zu gelangen. Deshalb hatten sich schon die Begründer der Infinitesimalrechnung, Wallis und Newton, mit der Entwicklung von Funktionen in unendliche Reihen befaßt704. So hatte Wallis die Fläche zwischen der Hyperbel und ihren Asymptoten durch eine unendliche Reihe dargestellt. Man findet bei ihm auch schon die Reihe der reziproken Quadratzahlen:

1/(1²) + 1/(2²) + 1/(3²) + ...,

deren Summierung jedoch erst Euler vollzog.

Die erste Integration mit Hilfe der Reihenentwicklung gelang Nikolaus Mercator (1668) bei seiner Quadratur der gleichseitigen Hyperbel705. Auch Leibniz hat sich mit der Summation einiger unendlichen Reihen befaßt, die auf die Ermittlung von π hinauslaufen. In ihren ersten Anfängen geht die Lehre von den unendlichen Reihen sogar auf Euklid und Archimedes zurück. Die eigentliche Begründung der Theorie der unendlichen Reihen erfolgte jedoch erst durch Newton, den Entdecker der allgemeinen Binomialformel. Für ganzzahlige positive Exponenten, die eine endliche Reihe ergeben, war die Entwicklung der Formel (a + b)ⁿ schon lange vor Newton bekannt.

Auf Jacob Bernoullis Arbeiten über unendliche Reihen kann hier nicht näher eingegangen werden. Die Ergebnisse verdienen hier nur insoweit Erwähnung, als sie zur angewandten Mathematik hinüberleiten. So gelang es Bernoulli, die Beziehung zwischen den Koordinaten der elastischen Kurve durch eine Reihe auszudrücken, die Parabel und die logarithmische Linie mit Hilfe einer solchen zu rektifizieren, und anderes mehr706.

Von Jacob Bernoulli und seinem Bruder Johann wurde die Aufmerksamkeit der Mathematiker auch wieder auf die für die Physik besonders wichtigen Maxima- und Minimaaufgaben gelenkt und durch die Behandlung der sogenannten isoperimetrischen Probleme ein Grund geschaffen, auf dem später Euler, Lagrange und andere die Variationsrechnung errichten konnten.

Die isoperimetrischen Probleme handeln von Kurven, die gewissen Maxima- und Minimabedingungen genügen. Das älteste dieser Probleme lautet: Welche unter allen isoperimetrischen Kurven schließt die größte Fläche ein? Schon das Altertum beantwortete diese Frage dahin, daß die verlangte Kurve der Kreis sei707.

Das erste isoperimetrische Problem, mit dem sich Johann Bernoulli beschäftigte, betrifft die Brachystochrone, die Linie des kürzesten Falles708. Johann Bernoulli formulierte dies Problem mit folgenden Worten: »Zwei gegebene Punkte, die verschiedenen Abstand vom Erdboden haben und nicht senkrecht übereinander liegen, sollen durch eine Kurve verbunden werden, auf der ein beweglicher Körper, vom oberen Punkte ausgehend, vermöge seiner Schwere in der kürzesten Zeit zum unteren Punkte gelangt«. Nachdem er die Lösung gefunden, forderte er nach damaliger Sitte »die scharfsinnigsten Mathematiker des ganzen Erdkreises« auf, gleichfalls die Aufgabe zu lösen. Leibniz gelang dies noch am nämlichen Tage, an dem er davon Kenntnis erhielt. Auch Newton und Jacob Bernoulli fanden übereinstimmend die Lösung, daß die Zykloide die gesuchte Kurve sei. Die Verwunderung war umso größer, als Huygens diese Kurve schon als diejenige erkannt hatte, in der die Fallbewegung von allen Punkten aus dieselbe Zeit beansprucht. Er hatte ihr aus diesem Grunde den Namen »Tautochrone« beigelegt. So zeige, sagt Jacob Bernoulli in der Bekanntgabe seiner Lösung709, eine Kurve, die von so vielen Mathematikern untersucht worden sei, daß an ihr nichts mehr zu erforschen übrig schien, plötzlich eine ganz neue Eigenschaft.

Die Begründung der mathematischen Physik.

Die beiden älteren Bernoulli errichteten in erster Linie auf den geschaffenen Grundlagen das Gebäude der Differential- und Integralrechnung.

Eine Auswahl aus seinen Vorlesungen über die Methoden der Integralrechnung schrieb Johann Bernoulli in den Jahren 1691 und 1692 nieder710. Ein von ihm herrührendes Werk über die Differentialrechnung scheint verloren gegangen zu sein. Johann und Jacob Bernoulli ist es besonders zu danken, daß sich das von Leibniz gefundene Verfahren der Infinitesimalrechnung rasch einbürgerte.

Johann Bernoulli beginnt nach einigen allgemeinen Betrachtungen mit der Quadratur von Flächen und der Rektifikation von Kurven. Danach wendet er sich physikomechanischen Problemen zu, z. B. den zuerst von Tschirnhausen eingehender untersuchten kaustischen Linien, und der Kettenlinie. Später sehen wir Daniel Bernoulli vorzugsweise damit beschäftigt, schwierige mechanische Probleme, bei denen die von Huygens und selbst noch von Newton in seinen »Prinzipien« befolgte geometrische Methode keine Aussicht auf Erfolg bot, vermöge des neuen Hilfsmittels zu bewältigen. Daniel Bernoulli ist daher als der Hauptbegründer desjenigen Wissenszweiges zu nennen, den man als mathematische Physik bezeichnet. Er führte in die Mechanik das Prinzip von der Erhaltung der Kraft ein, das schon Huygens bei seinen Untersuchungen über das zusammengesetzte Pendel vorgeschwebt hat, und brachte dieses Prinzip bei seinen Arbeiten über die Bewegung flüssiger Körper überall zur Anwendung (Hydrodynamik 1738)711. Huygens hatte es dahin ausgesprochen, daß ein frei fallender Körper, wie immer man seine Bewegungsrichtung ändert, nur bis zur ursprünglichen Höhe wieder emporsteigen kann, da die Wirkung der Ursache gleichwertig sei. Aus diesem Grunde hatte Huygens auch die Möglichkeit eines Perpetuum mobile bestritten. Obgleich Daniel Bernoulli712 die große Bedeutung des Prinzips von der Erhaltung der Kraft wohl ahnte, blieb es doch dem 19. Jahrhundert vorbehalten, es in seiner Allgemeingültigkeit nachzuweisen und die gesamte Naturlehre darauf zu begründen.

Zu den mechanischen Vorgängen, mit denen sich das 18. Jahrhundert beschäftigte, gehörten auch der Fall und der Wurf. Galilei hatte zwar die Theorie dieser Bewegungen entwickelt und damit für die Mechanik eine neue Ära eröffnet. Er hatte jedoch von einem sehr wesentlichen Faktor, dem Luftwiderstande, abgesehen, nicht etwa weil er die Wichtigkeit dieses Faktors nicht kannte, sondern weil sich Galilei die erwähnte Beschränkung noch auferlegen mußte.

Ein Gesetz für den Widerstand, den Flüssigkeiten und Gase auf bewegte Körper ausüben, stellte zuerst Newton auf. Er gelangte zu der Annahme, daß der Widerstand des Mediums für ein und denselben Körper dem Quadrate der Geschwindigkeit proportional sei. Auf Newtons Veranlassung wurden Versuche angestellt, um das Gesetz zu prüfen. Es erwies sich auch für mittlere Geschwindigkeiten als gültig.

Die Bahn, die ein geworfener Körper unter dem Einfluß des Luftwiderstandes beschreibt, suchte zuerst Johann Bernoulli zu bestimmen. Es ergab sich jedoch, daß die mathematische Analyse zur Bewältigung dieser Aufgabe nicht imstande war, und daß eine angenäherte Lösung des ballistischen Problems sich nur durch die Vereinigung von Versuch und Rechnung erhoffen ließ. Am erfolgreichsten in dieser Richtung war die Arbeit von Robins713, die Euler unter dem Titel »Neue Grundsätze der Artillerie«714 in deutscher Sprache herausgab. Robins zeigte, daß Newtons Gesetz nur für geringe Geschwindigkeiten gilt, daß aber mit größeren Geschwindigkeiten der Widerstand weit stärker wächst, als jenes Gesetz angibt.

Um die Geschwindigkeit des Geschosses in irgend einem Punkte der Wurfbahn bestimmen zu können, konstruierte Robins sein »ballistisches Pendel«. Ein Körper von bedeutendem Gewicht wurde so aufgehängt, daß er pendeln konnte. Schoß man eine Kugel gegen diesen Körper, so ließ sich aus dem Gewicht, den Dimensionen und dem Ausschlag des Pendels die Geschwindigkeit der Kugel den Stoßgesetzen gemäß berechnen. Nach dem Stoß besitzen nämlich das Pendel, dessen Masse M, und die Kugel, deren Masse m und deren Geschwindigkeit im Augenblicke des Zusammentreffens v sei, die gleiche Geschwindigkeit V. Gemäß den Stoßgesetzen ist aber

mv = (M + m)V.

Daraus folgt, daß

v = (M + m)/m · V ist715.

Mit dem Einfluß des Widerstandes, den Gase und Flüssigkeiten der Bewegung entgegensetzen, haben sich die theoretische und die Experimentalphysik seit Bernoulli und Robins immer wieder beschäftigt, ohne indes bei der Kompliziertheit der in Betracht kommenden Umstände bisher zu einem abschließenden Ergebnis zu gelangen.

Fast noch übertroffen wurden die Leistungen Daniel Bernoullis durch diejenigen Eulers. Leonhard Euler wurde am 15. April des Jahres 1707 in Basel geboren und war ein Schüler des daselbst ein Lehramt bekleidenden Johann Bernoulli. Auf die Empfehlung Daniel Bernoullis hin kam Euler mit 20 Jahren an die Akademie zu Petersburg. Bezeichnend für seine ungewöhnliche mathematische Befähigung ist Folgendes. Als es galt, gewisse astronomische Tafeln zu berechnen, erklärten die Mathematiker der Akademie, hierzu einer Frist von einigen Monaten zu bedürfen. Euler dagegen erbot sich, jene Tafeln in drei Tagen fertig zu stellen, und hielt auch Wort. Doch hatte er diese Leistung mit dem Verluste eines Auges zu bezahlen, das er infolge einer durch die Überanstrengung herbeigeführten Krankheit einbüßte. Im Jahre 1741 berief Friedrich der Große durch ein aus dem Feldlager stammendes Schreiben Euler an die Preußische Akademie der Wissenschaften. Volle 25 Jahre arbeitete er als eine Zierde dieser Gesellschaft in der Residenz der Preußischen Könige an dem Ausbau der neueren Mathematik. Dabei entfaltete der große Mann eine beispiellose Produktivität. Allein in den Jahrbüchern der Berliner Akademie veröffentlichte er 121, zum Teil sehr umfangreiche, Abhandlungen716. Nach Maupertuis' Tode leitete Euler die Akademie. Schließlich traten aber Zerwürfnisse ein, die Euler veranlaßten, sein Verhältnis zur Berliner Akademie zu lösen und, einer Aufforderung Katharinas der Zweiten folgend, nach Petersburg zurückzukehren. An seine Stelle trat in die Berliner Akademie als würdiger Nachfolger Lagrange ein. Trotzdem Euler bald darauf völlig erblindete, erlahmte seine wissenschaftliche Tätigkeit nicht. Noch wenige Stunden vor seinem am 7. September 1783 erfolgten Tode war er damit beschäftigt, die Bewegung des in demselben Jahre erfundenen Luftballons zu berechnen.

Bevor wir uns Eulers Arbeiten auf den Gebieten der mathematischen Physik und der Astronomie zuwenden, haben wir ihn als das kennen zu lernen, was er in erster Linie war, nämlich als Mathematiker. Gibt es doch keinen Zweig der reinen Mathematik, der ihm nicht eine außerordentliche Förderung verdankte717. Er war es, der die Bemühungen Vietas zum Abschluß brachte und die Algebra zu einer »internationalen mathematischen Kurzschrift« gestaltete718. In seiner »Einführung in die Analysis des Unendlichen« vom Jahre 1748719 gab er eine umfassende Erörterung der Kurven, welche durch die allgemeine Gleichung zweiten Grades definiert werden. Während er dadurch die analytische Geometrie förderte, verstand er es andererseits, den höheren Kalkül von beengenden geometrischen Fesseln loszulösen und ihn zu einer selbständigen Disziplin zu gestalten. Euler vor allem gelang ferner die scharfe Erfassung des Funktionsbegriffes, dem die ersten Kapitel der »Introductio« gelten, jenes Begriffes, den man wohl zu den wichtigsten Schöpfungen der neueren Mathematik gerechnet hat720. Im Anschluß an Bernoullis Untersuchungen über isoperimetrische Probleme erfand Euler als einen besonderen Teil der höheren Analysis die Variationsrechnung.

Während Johann Bernoulli über die isoperimetrischen Probleme sich dahin geäußert hatte, daß man wohl vergebens nach einem allgemeinen Verfahren für ihre Lösung suchen werde, unternahm Euler die ersten Schritte zur Ausbildung einer »Methode, Kurven zu finden, denen eine Eigenschaft im höchsten oder geringsten Grade zukommt.« Eine Auswahl geeigneter Abschnitte der betreffenden umfangreichen Schrift Eulers wurde neuerdings in deutscher Übersetzung veröffentlicht721. Ein näheres Eingehen auf den Inhalt des gewöhnlich als »Methodus inveniendi« bezeichneten Hauptwerkes von Euler ist hier nicht am Platze722. Bemerkt sei nur, daß die von Euler befolgte Methode wesentlich geometrisch ist, wodurch die Behandlung der einfacheren Probleme sehr klar und durchsichtig wird. Euler hat sein Verfahren als Variationsrechnung bezeichnet und es mit folgenden Worten erläutert. »Die Variationsrechnung ist die Methode, die Änderung aufzufinden, die ein aus beliebig vielen Veränderlichen zusammengesetzter Ausdruck erleidet, wenn man entweder alle oder nur einige Variabeln sich ändern läßt«723.

In einem Anhang zu dem Werke »Methodus inveniendi« setzt Euler die Bedeutung, welche die in diesem vorgetragenen Lehren für die Lösung physikalischer Probleme besitzen, des Näheren auseinander. Er meint, »es geschehe nichts in der Natur, dem nicht irgendein Verhältnis des Maximums oder des Minimums zu Grunde liege«. Daraus ergibt sich für die Forschung ein direktes und ein indirektes Verfahren. Das eine führt zur Bestätigung des anderen, wodurch ein hoher Grad von Gewißheit verbürgt wird. Handelt es sich z. B. darum, die Krümmung eines an den beiden Enden aufgehängten Seiles festzustellen, so geschieht dies entweder direkt, indem man die Wirkungen untersucht, welche die Schwere auf das Seil ausübt. Oder man bedient sich der Methode der Maxima und Minima und erörtert mit ihrer Hilfe, welche Gestalt das Seil annehmen muß, damit sein Schwerpunkt in die möglichst tiefe Lage gelangt. Auf beiden Wegen erhält man ein und dieselbe Kurve, die Kettenlinie, die der Parabel sehr ähnlich sieht724.

Von der Kettenlinie, bei welcher die Elastizität keine Rolle spielt, ging man zur Untersuchung derjenigen Kurven über, die ein elastisches Band unter der Einwirkung von Kräften annimmt. Die hierbei entstehenden Gestalten waren längst bekannt. Jedermann kennt z. B. die in Abb. 120 dargestellte Form, die ein aus Fischbein oder Stahl hergestellter Streifen annimmt, wenn wir an den Endpunkten A und C zwei Kräfte in den Richtungen AD und CD wirken lassen, und der Streifen in B festgehalten wird.

Von der Untersuchung der elastischen Kurven, bei denen die Theorie der Maxima und Minima gleichfalls eine Rolle spielt, ging man zu den Schwingungen elastischer Bänder über. Der erste, der sich mit diesen Problemen eingehender befaßte, war Daniel Bernoulli. Wird die schwingende Bewegung hinreichend schnell, so wird durch sie ein Ton hervorgerufen, dessen Natur sich mit Hilfe von Experimenten untersuchen läßt. So vermochte man auf physikalischem Wege das Ergebnis der mathematischen Analyse zu bestätigen und tiefer in das Wesen der elastischen Körper einzudringen. Auch dies geschah besonders durch Euler. Er unterschied dabei verschiedene Fälle, z. B. das Verhalten eines elastischen Bandes, das an einem Ende befestigt ist, oder desjenigen, das an beiden Endpunkten festgehalten wird. Bei diesen Untersuchungen sonderte Euler die Schwingungen von Körpern, die erst infolge ihrer Spannung elastisch sind (elastische Saite) von den Schwingungen an sich elastischer Bänder725. Die Töne, die dadurch hervorgerufen werden, hat besonders Chladni in seiner »Akustik«726 untersucht und mit den mathematisch gefundenen Ergebnissen Eulers in guter Übereinstimmung gefunden.

Eine der frühesten Arbeiten Eulers auf dem Gebiete der angewandten Mathematik betrifft die von Newton gegebene Theorie der Gezeiten727. Die Pariser Akademie der Wissenschaften hatte bei der Wichtigkeit des Gegenstandes zu Beginn des 18. Jahrhunderts zahlreiche Flutbeobachtungen in den französischen Häfen anstellen lassen. Dabei hatte sich gezeigt, daß man diese Beobachtungen nur zum Teil aus Newtons Theorie erklären konnte. Die Akademie schrieb deshalb im Jahre 1740 Preise über diese Frage aus. Unter den gekrönten Arbeiten befanden sich auch diejenigen von Euler und Bernoulli. Es gelang, auf der durch Newton geschaffenen Grundlage, mit Hilfe der höheren Analysis manche Umstände in Rechnung zu ziehen, die bei den Gezeiten mitwirken, so daß z. B. das Zurückbleiben der Flutwelle hinter der Kulmination des Mondes bestimmt werden konnte.

Auch die Lösung einer zweiten, für die Nautik sehr wichtigen Aufgabe, an der sich Galilei in seinen letzten Lebensjahren vergebens abgemüht hatte, des Problems der Längenbestimmung, blieb Euler vorbehalten. Galilei und das Altertum hatten ihren Berechnungen gewisse astronomische Erscheinungen, wie die Verfinsterungen der Jupitermonde oder die viel seltener vorkommenden Mondfinsternisse, zugrunde gelegt. Schon vor Galilei erfolgten neue Vorschläge, deren Durchführung die endliche Lösung des so lange schwebenden Problems herbeiführen sollte. Da der Mond infolge seiner Bewegung um die Erde seinen Ort rasch ändert, kann der Abstand des Mondes von bestimmten Fixsternen, der von Minute zu Minute ein anderer ist, zum Vergleich der Ortszeiten und damit zur Längenbestimmung dienen. Es würde dazu nur eine Tabelle erforderlich sein, die für einen bestimmten Ort der Erde die Abstände des Mondes für die einzelnen Tage, Stunden und Minuten angibt. Wird dann die betreffende Distanz an dem Orte der Beobachtung zu einer anderen Tageszeit gemessen, so läßt sich aus dem Unterschiede der Zeiten der Längenunterschied berechnen728. Ein zweites in Vorschlag gebrachtes Verfahren729 beruht auf der Anwendung genauer Chronometer, die während der ganzen Dauer der Reise die Zeit desjenigen Ortes angeben, den man zum Ausgangspunkte für die Längenbestimmung gewählt hat. Die Verwirklichung dieser beiden Vorschläge wurde lebhaft angestrebt, nachdem im Jahre 1713 das englische Parlament einen Preis von 20000 Pfund für die praktische Lösung des Längenproblems ausgesetzt hatte.

Da die Bewegung des Mondes von den anziehenden Kräften der Erde und der Sonne abhängt, war sie weit schwieriger zu ermitteln als diejenige der Planeten. Noch zur Zeit Newtons betrug der Fehler bei der Vorausbestimmung einer Mondfinsternis mitunter eine Stunde und mehr. Auf Grund der Berechnungen Eulers730 und eigener Beobachtungen brachte der Astronom Tobias Mayer731 in Göttingen um die Mitte des 18. Jahrhunderts Mondtafeln zuwege, die für Längenbestimmungen genügten. Die Witwe Mayers, sowie auch Euler erhielten daher einen Teil des Preises.

Ein hinlänglich genau gehendes Chronometer lieferte im Jahre 1758 der Uhrmacher John Harrison. Dieses wies nach einer vier Monate dauernden Fahrt einen Fehler von nur etwa zwei Minuten auf. Durch fortgesetzte Bemühungen wurde dieser Fehler noch weiter herabgemindert, worauf Harrison die Hälfte der vom Parlamente ausgesetzten Summe erhielt. Um die Länge des Pendels dem Einfluß der Temperaturschwankungen zu entziehen, verfertigte Harrison 1725 nach dem Vorgange Grahams Rost- oder Kompensationspendel, indem er Metalle von verschiedenen Ausdehnungskoeffizienten, wie Messing und Eisen, vereinigte. Graham (1675–1751) hatte zu diesem Zwecke die sogenannte Quecksilberkompensation erfunden.

Verwickelte, nur mit Hilfe der höheren Analysis zu lösende Probleme boten die Schallerscheinungen dar. Euler untersuchte nicht nur die Schwingungen von Saiten und Stäben732, sondern er bestimmte auch die Grenzen der Hörbarkeit. Seinen Versuchen gemäß fallen sie etwa mit den Schwingungszahlen 20 und 7000 zusammen. Überhaupt erwarb sich Euler große Verdienste um eine wissenschaftliche Behandlung der Musik. Indessen hatte es schon weit früher (um 1700) Sauveur unternommen, aus der Musik ein Objekt der naturwissenschaftlichen Forschung zu machen733. Bei Sauveur begegnet uns die später auch von Euler vertretene Ansicht, daß die Konsonanz auf ein einfaches Schwingungsverhältnis zurückzuführen sei, das vom Gehörorgan leicht aufgefaßt wird. Töne, deren Schwingungszahlen sich wie 5 : 6 verhalten, werden nach Sauveur nicht mehr als konsonierend empfunden. Den Wert 5 : 6 betrachtet er als die Grenze der Konsonanz.

Das Hauptverdienst Sauveurs besteht darin, daß er bestrebt war, in die musikalisch-akustische Untersuchung überall das quantitative Verfahren einzuführen. Sauveur machte auch schon die Beobachtung, daß eine schwingende Saite außer ihrem Grundton zugleich Obertöne erkennen läßt. Dies beruht darauf, daß die Saite entweder ungeteilt schwingt (Abb. 121, I), oder daß sie mehrere Teilschwingungen vollzieht (Abb. 121, II), oder endlich, daß sie gleichzeitig als Ganzes und daneben in ihren Teilen Schwingungen macht (Abb. 121, III). Die so entstehenden höheren Töne nennt man Flageolett- oder Obertöne. Sie lassen sich nur durch besondere Vorkehrungen ausschließen. Gewöhnlich tritt der Schwingungszustand III ein. Das geschilderte Verhalten wurde schon im Jahre 1674734 entdeckt, jedoch von Sauveur unabhängig davon aufgefunden und genauer verfolgt735. Sauveur benutzte für seine Untersuchung ein Monochord. Er rief an einer Saite ihren Grundton hervor. Darauf berührte er sie an gewissen Stellen.

c          b          cʹ
a–––––––––––––––––––––aʹ

Geschah dies in b, so erhielt er die Oktave, geschah es in c, so hörte man die zweite Oktave. Zur Untersuchung des Schwingungszustandes führte Sauveur das noch heute gebräuchliche Verfahren ein. Er setzte z. B. auf b, c, cʹ schwarze Papierreiterchen, und auf die genau dazwischen liegenden Punkte weiße. Brachte er dann die Saite zum Tönen, indem er sie gleichzeitig in c berührte, so blieben die schwarzen Reiter sitzen, während die weißen abflogen. Die Punkte b, c, cʹ, die in Ruhe bleiben, nannte Sauveur Knoten, die dazwischen liegenden schwingenden Teile Bäuche, Bezeichnungen, die bis auf den heutigen Tag üblich geblieben sind.

Wie die Obertöne, deren Bedeutung für das Zustandekommen dessen, was wir Klangfarbe nennen, Helmholtz später untersucht hat, so wurde auch die unter dem Namen der »Schwebung« bekannte Erscheinung durch Sauveur wissenschaftlich erklärt. Es war den Orgelbauern schon längst aufgefallen, daß das Ohr in regelmäßiger Folge eigentümliche Stöße wahrnimmt, wenn zwei Pfeifen angeblasen werden, deren Töne sich nur wenig voneinander unterscheiden. Sauveur hat diese Stöße (er nannte sie battements, Schläge) aus dem Zusammentreffen von Schwingungen erklärt, die sich als ein jedesmaliges Anschwellen des Tones bemerkbar machen. Besteht z. B. ein Ton aus neun Schwingungen für eine gewisse Zeit, während ein gleichzeitig stattfindender Ton durch zehn Schwingungen während derselben Zeit hervorgerufen wird, so werden nach Ablauf dieser Zeit jedesmal die Schwingungen zusammenfallen. In diesem Augenblick wird der Ton am stärksten erscheinen, dann wieder abschwellen, um nach Ablauf derselben Zeit von neuem verstärkt zu sein. Sauveur benutzte dies Verhalten, um die Schwingungszahl eines Tones zu ermitteln, indem er ihn gleichzeitig mit einem Ton von bekannter Schwingungszahl erklingen ließ und die Anzahl der in einer Sekunde stattfindenden Schwebungen feststellte736.

Eulers Äthertheorie.

Infolge der Zurückführung der akustischen Vorgänge auf die Schwingungen elastischer Körper und Medien mußte sich dem schon von Huygens unternommenen Versuch, die Lichtphänomene aus denselben Prinzipien zu erklären, Aussicht auf Erfolg darbieten. So sehen wir denn Euler eifrig bemüht, die Analogie der Schall- und Lichterscheinungen darzutun. Nachdem er alle Schwächen der Emanationstheorie Newtons, die er für geradezu vernunftwidrig erklärte, nachgewiesen hatte, entwickelte er seine eigenen Ansichten vom Äther und vom Licht. Euler geht, wie vor ihm Huygens, von der Annahme aus, daß der Raum zwischen den Himmelskörpern mit einer äußerst feinen Materie, dem Äther, erfüllt sei. Letzterer sei eine Flüssigkeit wie die Luft, aber unvergleichlich viel feiner und verteilter, da die Himmelskörper ihn durchschneiden, ohne in ihm einen merklichen Widerstand zu finden. Ferner besitze der Äther das Vermögen, sich nach allen Richtungen auszubreiten und jeden leeren Raum auszufüllen. Infolgedessen finde er sich nicht nur in den höheren Regionen, sondern er durchdringe die Atmosphäre und dringe auch in die Zwischenräume aller irdischen Körper ein.

Da die Luft infolge entsprechender Eigenschaften geeignet sei, die Erzitterungen der tönenden Körper aufzunehmen und sie nach allen Richtungen fortzupflanzen, worin ja der Schall bestehe, so sei es natürlich, daß der Äther unter ähnlichen Umständen Erschütterungen empfangen und sie nach allen Richtungen und auf viel größere Entfernungen vermitteln werde. Diese Erzitterungen des Äthers bewirken nach Euler das Licht. In Wirklichkeit komme also nichts Stoffliches von der Sonne zu uns, ebensowenig wie von einer Glocke, wenn ihr Geläut unser Ohr trifft. Man brauche daher auch nicht zu befürchten, daß die Sonne, indem sie Licht spendet, die geringste Einbuße an Substanz erleide. Den scheinbaren Widerspruch, der darin liegt, daß die irdischen Lichtquellen sich doch augenscheinlich verzehren, erklärte Euler ganz richtig daraus, daß diese Lichtquellen nicht nur leuchten, sondern auch Rauch und Ausdünstungen abgeben. Könnte man, sagt Euler, diesen Rauch und diese Ausdünstungen aufheben, so würde das bloße Leuchten keine Verminderung mit sich bringen. Als Beweis dafür gilt ihm die Erscheinung, daß Quecksilber, das man in einer evakuierten Röhre schüttelt, in den leuchtenden Zustand versetzt wird, ohne an Substanz einzubüßen.

Daß sich die Zahl der Ätherschwingungen je werde ermitteln lassen, bezweifelte Euler. Das Sonnenlicht soll deshalb weiß erscheinen, weil es in Ätherschwingungen von jeder Zahl bestehe. Bei der Brechung spalte sich das weiße Licht in Wellen von verschiedener Länge; diese rufen nach ihrer Trennung die einfachen Farben hervor. Um die Körperfarben zu erklären, vergleicht Euler die Teilchen der Körper mit gespannten Saiten. Wie diese durch Töne, die ihrem Grundton entsprechen, in Schwingungen versetzt werden, ebenso verhalten sich die Körperteilchen, je nach dem Grade ihrer Elastizität, gegenüber den Schwingungen des Äthers. Ein Körper erscheint uns rot, wenn seine Teilchen eine bestimmte, dem roten Licht entsprechende Zahl von Schwingungen mitmachen. Weiß erscheint der Körper, wenn seine Teilchen vermöge ihres Spannungszustandes auf alle Schwingungen abgestimmt sind, die das Sonnenlicht enthält; schwarz erscheint er, wenn er nicht mitschwingt.

Aus dem Gesagten erkennen wir, daß Euler den Vorstellungen, die sich später aus der Undulationstheorie über das Zustandekommen der Farben entwickelt haben, sehr nahe gekommen ist. Trotz aller Klarheit, mit welcher er seine Anschauungen über die Natur des Lichtes in den Briefen an eine deutsche Prinzessin737 vorträgt, sowie seiner in den Denkschriften der Berliner Akademie gegebenen wissenschaftlichen Begründung dieser Anschauungen, blieb die von Newton herrührende Emanationstheorie unerschüttert. Was dem bloßen, gleichfalls von einem theoretischen Standpunkte aus erfolgenden Bekämpfen einer irrigen Hypothese nicht gelang, hat die spätere Entdeckung neuer Tatsachen sofort herbeigeführt. Solchen gegenüber konnte eine Hypothese, die sich nicht mit ihnen in Einklang bringen ließ, keinen Stand halten.

Auch um die Berichtigung eines anderen Irrtums Newtons machte Euler sich verdient. Ersterer hatte die Beseitigung der chromatischen Abweichung für unmöglich erklärt, da die Brechung des Lichtes stets mit einer Farbenzerstreuung verbunden sei. Infolgedessen hielt man die Vervollkommnung der dioptrischen Fernröhre für ausgeschlossen und wandte sich gleich Newton vorzugsweise der Verfertigung von Spiegelteleskopen zu, die gegen das Ende des 18. Jahrhunderts durch Wilhelm Herschel einen hohen Grad der Vollendung erreichten. Der Ansicht Newtons gegenüber wies nun Euler im Jahre 1747 darauf hin, daß im Baue unseres Auges das von Newton für unlösbar gehaltene Problem doch gelöst sei, da die auf der Netzhaut erzeugten Bilder den Fehler der chromatischen Abweichung nicht besäßen. Da beim Auge in verschiedenem Grade brechende Medien, wie die Substanz der Hornhaut, die Linse und der Glaskörper, bei der Bilderzeugung zusammenwirken, so kam Euler auf den Gedanken, mit dem Glase einen zweiten Stoff in entsprechender Weise zu verbinden und dadurch die Farbenzerstreuung zu beseitigen. Euler suchte dieses zu erreichen, indem er seine Objektivgläser, wie es die nebenstehende Abb. 122 erläutert, aus Glas und Wasser zusammensetzte. Das Verfahren bot zwar in der Ausführung Schwierigkeiten, zeigte aber immerhin die Richtigkeit der Eulerschen Folgerungen, da die Bilder, wenn sie auch nicht die gewünschte Schärfe besaßen, doch frei von dem gedachten Fehler waren.

Angeregt durch diese Untersuchung Eulers kam zehn Jahre später der Optiker Dollond738 auf den Gedanken, anstatt Glas und Wasser zwei Glassorten von ungleichem Brechungsvermögen zu wählen. Zunächst verfertigte er Kron- und Flintglasprismen von verschiedenen Brechungswinkeln. Beim Prüfen dieser Prismen ergaben sich Zusammenstellungen, bei denen der hindurchgegangene Strahl keine Farbenzerstreuung mehr aufwies und doch noch, wenn auch in geringerem Grade, gebrochen wurde. Nachdem sich auf solche Weise der Gedanke als durchführbar erwiesen, ging Dollond zu seiner praktischen Verwertung über. Er setzte Linsen aus zwei Stücken zusammen, von denen das eine aus Kron-, das andere aus Flintglas bestand. Auch hierbei wurde die zweckmäßigste Vereinigung durch Ausprobieren bewerkstelligt. Damit war das achromatische Fernrohr erfunden, das durch Dollonds Sohn und insbesondere im Beginn des 19. Jahrhunderts durch Joseph Fraunhofer einen solchen Grad der Vollendung erhielt, daß der während des 18. Jahrhunderts herrschende Reflektor das Feld räumen mußte739.