14. Die Umlegung und Verschiebung der Grundebene. Unter Benutzung der so definierten festen Elemente wollen wir jetzt Körper darstellen. Wir beginnen aber mit dem Einfachsten, indem wir zunächst von Figuren, die in der Grundebene gelegen sind, die Bilder zeichnen. Es ist dann aber notwendig, daß wir uns diese Figuren auch selbst geben, sowohl ihrer wahren Gestalt nach als in ihrer Lage in der Grundebene. Zu diesem Zwecke müssen wir die Grundebene in unsere Zeichenebene irgendwie hereinbringen. Eine Möglichkeit, dies zu erreichen, ist folgende: wir drehen die Grundebene um die Grundlinie nach aufwärts im Sinne der beiden Pfeile (Fig. 17, 18) so lange, bis sie mit der Tafel sich deckt. Dann liegt die Grundebene allerdings in unserem Zeichenblatt, aber wir haben die Unannehmlichkeit, daß die Figuren der Grundebene sich dort befinden, wo das Bild entworfen werden soll. Deswegen schieben wir die (gedrehte) Grundebene in der Tafel parallel zu sich selbst noch um ein beliebiges Stück herunter, bis die Grundlinie die neue Lage (g)(g) annimmt (Fig. 19); irgendein Punkt a der Grundlinie beschreibt dabei die lotrechte Linie a(a), wenn wir mit (a) die Lage des Punktes a nach Ausführung der Verschiebung bezeichnen. Die Entfernung a(a) zwischen gg und (g)(g) ist ganz willkürlich und richtet sich nach der Größe der in der Grundebene gegebenen Figur.

Nach diesen Vorbereitungen behandeln wir folgende

Die Lage des gegebenen Quadrates abcd veranschaulicht Fig. 18. In der wirklichen Ausführung (Fig. 19) geben wir uns den Horizont hh mit dem Augenpunkt A und den beiden Distanzpunkten, D₁ und D₂, dazu parallel die Grundlinie gg mit den beiden Ecken a und b des Quadrates.

Um auf Grund dieser Stücke das Bild des Quadrates zu zeichnen, ziehen wir in beliebigem Abstand die Parallele (g)(g) und bestimmen vermittels der Vertikalen durch a und b die Lage (a)(b)(c)(d) des Quadrates nach der Verschiebung. Nun sind die Quadratseiten ad und bd Tiefenlinien, ihre Bilder müssen also nach Satz 11 durch A gehen; die Punkte a und b sind aber die Spuren dieser Geraden. Folglich erhalten wir in aA und bA die Bilder der beiden Geraden, auf denen die Quadratseiten ad und bc liegen, und die Bilder d' und c' müssen bzw. auf aA und bA gelegen sein. Denken wir uns aber noch die Diagonale db konstruiert, welche in unserer Verschiebung als (d)(b) zu zeichnen ist, so ist das eine Linie, welche einen Winkel von 45° mit der Grundlinie bildet. Nach Satz 13 ist also D₁ der Fluchtpunkt dieser Geraden, b aber ist ihre Spur; mithin wird das Bild der Geraden db die Verbindungslinie bD₁. Das Bild d' muß demnach sowohl auf aA als auch auf bD₁ liegen, kann also nur der Schnittpunkt d' dieser beiden Linien sein. Ebenso finden wir das Bild c' der Ecke c als Schnittpunkt von aD₂ und bA. Das folgt sofort aus der Betrachtung der anderen Diagonale ac. Eine Kontrolle für die Zeichnung ergibt sich daraus, daß c'd' von selbst parallel gg sein muß. Denn die Quadratseite cd ist ja parallel zur Tafel, also nach Satz 10 cd ∥ c'd'.3 Da aber cd ∥ ab, so ist auch c'd' ∥ ab. Man erkennt ferner, daß es für die Konstruktion des Bildes abc'd' gar nicht nötig gewesen wäre, die Verschiebung (a)(b)(c)(d) zu zeichnen. Im übrigen sei nochmals an die Bemerkung auf S. 14 unten erinnert.

Die Quadrate, welche den Fußboden liefern, sind in Fig. 19 in der Verschiebung gezeichnet. An das Quadrat (a)(b)(c)(d) schließt sich die erste Reihe, welche an die Grundlinie angrenzt, daran schließt sich eine zweite Reihe von Quadraten usf. Die Konstruktion Fig. 19 ergibt sich fast von selbst. Die Tiefenlinien, wie z. B. (e)(f), fliehen im Bilde alle nach A. Ferner erkennt man leicht, daß in dem System der Quadrate alle Diagonalen der einen und anderen Richtung sich zu zwei Scharen paralleler Geraden zusammensetzen. Das gilt also auch für das Bild, nur mit dem Unterschied, daß die Bilder aller dieser parallelen Geraden bzw. nach D₁ und D₂ laufen. In der Fig. 19 sind der Tiefe nach 5 Reihen von Quadraten gezeichnet, während in der Verschiebung nur 3 Reihen angegeben wurden. Da alle Diagonalen der Quadratbilder nach D₁ oder D₂ gehen, und außerdem je zwei Seiten eines Quadrats parallel zur Grundlinie laufen, so bietet die Figur zahllose Kontrollen.

15. Anwendungen dieser Aufgabe. Man würde aber irren, wollte man diese Figur bloß für eine mathematische Spielerei halten: wir können vielmehr von derselben eine ganze Anzahl praktischer Anwendungen machen. Zunächst ist es möglich, daß bei der bildlichen Wiedergabe eines Interieurs, z. B. eines Zimmers, an und für sich ein solcher Parkettboden zu zeichnen ist. Derselbe bietet dann aber auch weiter die Möglichkeit, Figuren, Einrichtungsgegenstände usf. einigermaßen richtig im Raume zu verteilen, indem man diesen Objekten eine durch die Schätzung der Quadrate zu beurteilende Bodenfläche zuweist. Jedenfalls kann man sich vor ganz groben Irrtümern dadurch schützen. Als Beispiel geben wir in Abbildung 3 das Abendmahl des Altniederländers Dirk Bouts (1410(?)–1472) wieder, das sich in der Peterskirche in Löwen befand und von den Deutschen im Kriege von 1914 gerettet wurde. Auf gewisse Unrichtigkeiten der Konstruktion gehen wir hier nicht ein. Der primitiven Kunst lag eine solche Rücksicht auf richtige Verteilung der Objekte im Raume überhaupt gänzlich fern. Sie zeichnet die Köpfe einer Anzahl von Menschen einfach neben- und übereinander, ohne sich zu fragen, ob die zugehörigen Körper auch wirklich den ihnen entsprechenden Platz im Raume haben.

Unter Umständen kann es auch bequem sein, ein solches Quadratnetz in die Figur einzuzeichnen, wenn z. B. ein ziemlich unregelmäßig gestalteter Grundriß, ein ganzer Stadtplan oder eine Gartenanlage, in Perspektive gesetzt werden soll (Fig. 20). Wir legen über die Figur ein derartiges Netz und zeichnen dessen Bild. Nachdem dies geschehen, übertragen wir nach dem Augenmaß Quadrat für Quadrat die Linien in das Bild. Es wird die Genauigkeit erhöhen, wenn wir einzelne charakteristische Punkte genau zeichnen, wobei die folgende Aufgabe zu benutzen ist.

Diese rein mathematische Aufgabe führen wir auf die Aufgabe 1 zurück, indem wir uns ein Quadrat gezeichnet denken, von dem eine Ecke in p liegt, während eine Seite auf die Grundlinie fällt. Man kann sich in Fig. 18 und 19 etwa die Ecke d als den gegebenen Punkt denken. Wir wollen jetzt die Zeichnung durchführen, ohne das ganze Quadrat zu zeichnen.

Der Punkt p ist in Fig. 21 a in der Verschiebung (p) gegeben, Wir zeichnen durch (p) die lotrechte Tiefenlinie (T), welche die durch p gehende Tiefenlinie gibt; ihre Spur ist t, ihr Fluchtpunkt A, so daß also ihr Bild T' diese beiden Punkte verbindet; auf T' muß jedenfalls das gesuchte Bild p' gelegen sein.

Um einen zweiten Ort für p' zu erhalten, ziehen wir durch (p) eine Linie (D) nach rechts, welche unter 45° gegen die Grundlinie (g)(g) geneigt ist (Quadratdiagonale). Diese Linie (D) schneidet (g)(g) in (s), und senkrecht über diesem Punkt erhalten wir in s die Spur der Hilfslinie D. Da ferner D₁ ihr Fluchtpunkt ist, so wird D' den Punkt s mit D₁ verbinden. Das gesuchte Bild p' muß also auch auf D' liegen, kann folglich nur der Schnittpunkt von T' und D' sein.

Wir hätten durch (p) noch eine zweite Linie nach links ziehen können, welche auch einen Winkel von 45° mit (g)(g) einschließt. Dann hätten wir einfach den auf der rechten Seite von A gelegenen Distanzpunkt D₂ als Fluchtpunkt für diese Linie benutzen müssen und wären zu dem gleichen Punkte p' gelangt. Die Konstruktion ist ebenfalls in Figur 21 a eingetragen.

Wir können aber noch eine Vereinfachung in dieser Zeichnung anbringen. Da

(p)(t) = (s)(t) = st,

so ergibt sich folgende einfache Konstruktion (Fig. 21 b): Man trägt von der Spur t aus den Abstand des Punktes der Grundlinie etwa nach rechts als ts auf der Grundlinie an und verbindet den Punkt s mit dem linken Distanzpunkt. Dann schneidet diese Verbindungslinie auf der Hauptlinie T' den gesuchten Punkt p' aus.

Trägt man den Abstand nach links auf der Grundlinie auf, so ist der rechte Distanzpunkt zu benutzen. Die vorliegende Aufgabe läßt sich dann auch in folgender Weise formulieren:

Es soll auf einer im Bilde gegebenen Tiefenlinie ein Punkt bestimmt werden, der von der Grundlinie einen durch eine Strecke oder durch eine Zahl gegebenen Abstand hat.

Denken wir uns in der Grundebene eine Tiefenlinie gegeben und auf derselben die gleiche Strecke beliebig oft angetragen, wobei wir in der Spur der Geraden beginnen. Diese gleich großen Strecken werden sich selbstverständlich verschieden groß abbilden, eben um so kleiner, je weiter sie sich vom Auge entfernen. Die in Fig. 21 b durchgeführte Konstruktion gibt sofort die Lösung. Wir tragen (Fig. 22) die geg. Teilung von der Spur t der geg. Tiefenlinie T aus nach rechts auf der Grundlinie ab, so daß also 0.1 = 1.2 = 2.3 = 3.4 je = der geg. Maßeinheit. Verbinden wir diese Punkte dann mit dem linken Distanzpunkt D₁, so schneiden diese Linien auf T' die gesuchten Bilder 1', 2', 3' usf. aus. Wir haben damit die Konstruktion eines sog. Tiefenmaßstabes gewonnen.

Das Verfahren bleibt ganz das nämliche, wenn nicht lauter gleiche Strecken auf der Tiefenlinie angetragen werden sollen, sondern verschiedene Strecken. Man trägt die Strecken in ihrer Reihenfolge auf der Grundlinie an; dann liefern sie, aus D₁ projiziert, die richtigen Bilder.

§ 7. Darstellung beliebiger, geradliniger Figuren der Grundebene.

16. Bild einer beliebigen Geraden. Um nun eine irgendwie aus Geraden zusammengesetzte Figur der Grundebene abbilden zu können, müssen wir uns zuerst damit beschäftigen, wie man das Bild einer beliebigen Geraden zeichnen kann. Das führt uns unmittelbar zur

Die Flucht der Geraden ergibt sich nach Satz 7, indem wir durch das Auge einen Parallelstrahl zur Geraden zeichnen und diesen mit der Tafel zum Schnitt bringen. Ist f_a dieser Schnittpunkt, so ist (Fig. 23) Of_a ∥ A und f_a liegt natürlich auf dem Horizont hh. Wir ziehen noch durch das Auge O eine Parallele ii zum Horizont. Die Gerade A wird mit der Grundlinie gg einen gewissen Winkel α einschließen. Leicht erkennt man dann, daß der Parallelstrahl Of_a mit der Linie ii den gleichen Winkel α bildet. Um diese Eigenschaft für wirkliche Konstruktion auszunutzen, klappen wir die Horizontebene durch O nach unten in die Bildebene Π. Wir drehen also diese Ebene um die Horizontlinie so lange nach abwärts, bis sie mit der Bildtafel zusammenfällt. Der Pfeil in der Figur 23 deutet diese Drehung an. Die Linie OA bleibt bei dieser Drehung immer senkrecht zum Horizont; sie hat also auch am Schlusse der Drehung noch diese Eigenschaft. Zeichnen wir demnach in der Bildebene Π eine lotrechte Linie durch A, so gibt diese die Lage, welche der Strahl OA nach Ausführung der Drehung annimmt. Der Punkt O endlich geht nach Beendigung der Drehung in einen Punkt D₃ über, der auf dieser lotrechten Linie durch A so liegt, daß die Strecke AD₃ = OA = der Distanz. Die Parallele ii geht über in die Linie ll, welche durch D₃ parallel zum Horizont gezogen werden kann. Die Linie D₃f_a bildet mit der Linie ll wieder den Winkel α. Das Weitere verfolgen wir an Fig. 24, welche die wirkliche Ausführung gibt. Die Gerade A ist in der Verschiebung durch (A) gegeben. Im Augpunkte A errichten wir die Senkrechte zum Horizont und schneiden auf ihr die Distanz ab, wodurch wir D₃ erhalten. Es ist also

AD₁ = AD₂ = AD₃.

Durch D₃ ziehen wir die Parallele ll zum Horizont. Tragen wir an diese Parallele den Winkel α an, so schneidet dessen 2. Schenkel den Fluchtpunkt f_a auf dem Horizont aus. Einfacher ist es aber, die Eigenschaft der Figur zu benutzen, daß offenbar

D₃f_a ∥ (A)

ist. Denn dann haben wir nur nötig, durch D₃ eine Parallele zu (A) zu zeichnen, diese schneidet auf dem Horizont den Fluchtpunkt f_a von A aus. Die Verbindungslinie der Spur a mit f_a gibt das Bild A' der Geraden A.

Nennen wir D₃ die Umlegung des Auges nach unten oder das nach unten »umgelegte« Auge, so ergibt sich folgende einfache Regel:

Ist eine Gerade in der Verschiebung gegeben, so bestimmt die durch das umgelegte Auge D₃ zu ihr gezogene Parallele auf den Horizont den Fluchtpunkt der Geraden.

Die Figur 24 liefert uns brauchbare Eigenschaften aber auch für den Fall, daß die Gerade nicht in der Verschiebung, sondern auf andere Weise bestimmt ist. Es handle sich etwa um folgende

Tragen wir (Fig. 25) an die Horizontale durch D₃ einen Winkel von 60° an, so schneidet dessen zweiter Schenkel auf dem Horizont den Fluchtpunkt f der gesuchten Geraden aus. Verbinden wir den gegebenen Punkt p' mit f, so ist diese Linie das verlangte Bild.

Selbstverständlich gibt es zwei solche Gerade, da man den Winkel auch von der linken Seite der Parallelen ll aus antragen kann. Zu jedem Punkte des Horizontes gehört demgemäß eine gewisse Richtung von Geraden; speziell entsprechen den Distanzpunkten, wie wir ja schon wissen, die Geraden, welche unter 45° gegen die Grundlinie geneigt wird. In der Figur sind auf der linken Seite noch bei einigen weiteren Punkten des Horizontes die Winkel hinzugeschrieben, zu denen sie gehören.

17. Winkel zweier Geraden. Sind zwei Gerade A und B der Grundebene gegeben, so zeichnen wir ihre Fluchtpunkte f_a und f_b, so daß also (Fig. 26)

Of_a ∥ A und Of_b ∥ B.

Bezeichnen wir den Winkel, den A und B einschließen, mit γ, so erkennt man sofort, daß auch ∢ f_aOf_b = γ ist.

Klappen wir wiederum die durch das Auge O gehende Horizontebene nach unten in die Bildebene Π herunter, wobei der Punkt O nach D₃ kommt, so tritt der Winkel γ auch hier auf, indem

∢ f_aD₃f_b = γ

oder in Worten ausgedrückt:

Dieser Satz gehört zu den allerwichtigsten in der Perspektive wegen der vielen Anwendungen, die von ihm gemacht werden. Wir veranschaulichen ihn noch durch die Fig. 27, welche die wirkliche Konstruktion gibt. Hier sind die beiden Geraden A und B in der Verschiebung (A) und (B) gegeben. Im Hauptpunkte A ist eine Senkrechte zum Horizont angetragen und auf ihr die Umlegung D₃ des Auges ermittelt, in dem

AD₃ = AD₁ = AD₂

gemacht werde. Dann folgt aus der unmittelbar vorhergehenden Betrachtung, daß

D₃f_a ∥ (A)

und

D₃f_b ∥ (B).

Daraus ergibt sich wiederum, daß ∢ f_aD₃f_b = γ.

Die Praktiker drücken dies so aus:

»Am Punkte D₃ kann jeder Winkel in seiner wahren Größe angetragen werden.«

In der Figur wurden noch die Spuren a und b der beiden Geraden konstruiert, so daß dann A' und B' sich je als die Verbindungslinie von Flucht und Spur ergeben. Der Schnittpunkt von A' und B' ist das Bild des Scheitels p. Man beachte, daß der schraffierte Teil zwischen (A) und (B) sich in den schraffierten Teil zwischen A' und B' abbildet. Eine zweite Anwendung gibt

Das Rechteck enthält zwei Paare paralleler Seiten (A) und (A₁), sowie (B) und (B₁) (Fig. 28). Wir zeichnen zunächst die Fluchtpunkte dieser beiden Richtungen Zu diesem Zwecke ziehen wir durch die Umlegung D₃ des Auges die Parallelen zu (A) und (B); diese schneiden die Fluchtpunkte f_a und f_b auf dem Horizonte aus. Es ist also

D₃f_a ∥ (A) ∥ (A₁)

und

D₃f_b ∥ (B) ∥ (B₁).

Jetzt zeichnen wir die Bilder q' und s' der beiden Ecken q und s nach Aufgabe 4, indem wir je eine Tiefenlinie und eine unter 45° geneigte Linie benutzen. q' liefert mit f_a und f_b verbunden die Bilder A' und B', s' mit f_a und f_b verbunden A₁' und B₁'. Die letzten Ecken r' und p' ergeben sich als die Schnittpunkte von A₁' mit B' und A' mit B₁'.

Das Bild p'q'r's' hat die charakteristische Eigenschaft, daß sich die gegenüberliegenden Seiten A' und A₁' sowie B' und B₁' verlängert je in f_a und f_b auf dem Horizont schneiden. Kontrollen bieten sich zahlreiche, wenn man die Tiefenlinien durch r und p zieht oder die Spuren der Rechtecksseiten benutzt, wie das in der Figur für die Seite rq angegeben ist.

18. Umlegung der Horizontebene nach oben. Unter Umständen kann es bequem sein, die Horizontebene statt nach unten nach oben in die Bildtafel Π hereinzuklappen (Fig. 26). Dann fällt der Punkt O auf die Verlängerung der Linie AD₃ über A hinaus nach einem Punkte D₄, wenn wieder AD₄ = der Distanz gemacht wird. In Fig. 27 ist auch diese Umlegung oben gezeichnet. Natürlich gibt der Winkel f_aD₄f_b auch jetzt wieder den Winkel der beiden gegebenen Geraden A und B, so daß

∢ f_aD₄f_b = γ,

und auch an dem Punkte D₄ dürfen alle Winkel in wahrer Größe angetragen werden.

Ein Unterschied ist aber insofern vorhanden, als jetzt nicht mehr (A) ∥ D₄f_a und nicht mehr (B) ∥ D₄f_b. Diese Eigenschaft der parallelen Lage ist nur erfüllt bei der Drehung nach unten. Das hängt damit zusammen, daß wir auch die Grundebene im gleichen Sinne gedreht haben.

Wenn aber z. B. die Verschiebung überhaupt nicht gezeichnet ist, so kann man sehr wohl die Horizontebene auch nach oben drehen, zumal wenn man oben in der Zeichnung mehr Raum zur Verfügung hat. Die folgende Aufgabe gibt davon eine Anwendung.

Bringen wir das gegebene Bild A' mit dem Horizont zum Schnitt (Fig. 29), so ist der Schnittpunkt f_a der Fluchtpunkt der Geraden A. Im Augpunkt A errichten wir eine Senkrechte zum Horizont hh und machen diese = der Distanz, so daß also

AD₄ = AD₁ = AD₂.

D₄ ist die Umlegung des Auges nach oben. Verbinden wir D₄ mit f_a und errichten in D₄ zu f_aD₄ ein Lot, so schneidet dieses aus dem Horizont einen Punkt f_b aus, der der Fluchtpunkt aller auf der Geraden A senkrechten Geraden ist. Die gesuchte Senkrechte soll aber durch p gehen, ihr Bild B' ist demnach die Verbindungslinie von p' mit f_b. f_ap'f_b ist also das Bild eines horizontalen rechten Winkels.

19. Getrennte Lage des Grundrisses. Wir haben bisher immer angenommen, daß die Grundebene mitsamt den abzubildenden Figuren in der Verschiebung gegeben sei. Natürlich kann sie auch, getrennt von der Bildtafel, gegeben und die Lage der Bildebene durch ihre Spur, d. h. durch die Grundlinie, bestimmt sein. Beispielsweise sei in Fig. 30 a ein Rechteck 1 2 3 4 gezeichnet, außerdem sind die Risse A₁ und O₁ von A und O bekannt. In der zweiten Figur 30 b ist der Horizont hh mit A sowie die Grundlinie gg gegeben. Verlangt wird das Bild des Rechteckes zu zeichnen.

Die für die Lösung in Betracht kommende geometrische Eigenschaft liefert ein Blick auf Fig. 26. Der durch das Auge O zur Geraden A der Grundebene gezogene Parallelstrahl, welcher den Fluchtpunkt f_a auf dem Horizont ausschneidet, hat in der Grundebene einen Riß, der durch O₁ gehen muß, sowie durch die Projektion f_a1 des Fluchtpunktes f_a, und weiter muß dieser Riß parallel zu A sein, also O₁f_a1 ∥ A.

Zieht man demnach umgekehrt durch O₁ Parallele zu den Seiten des Rechteckes, so schneiden diese auf der Grundlinie gg die Projektionen f_a1 und f_b1 der Fluchtpunkte f_a und f_b aus. Da nun die Grundlinie mit ihren Punkten in den beiden Figuren vorkommt, so haben wir nur die Strecken A₁f_a1 und A₁f_b1 auch in Fig. 30 b anzutragen. Dann liefern die in f_a1 und f_b1 errichteten Lote zu gg auf dem Horizont die Fluchtpunkte f_a und f_b. Überträgt man noch weiter die Spuren der Rechtecksseiten in die Fig. 30 b, so ist das Bild 1'2'3'4' des Rechtecks leicht fertig zu stellen.

20. Horizontale Gerade. Die bisherigen Ausführungen genügen vollständig, um jede in der Grundebene gegebene Figur in Perspektive zu setzen. Bevor wir aber dazu übergehen, Körper abzubilden, wollen wir vorher noch eine sehr wesentliche Verallgemeinerung der oben durchgeführten Betrachtungen besprechen.

Ziehen wir zu irgendeiner Geraden der Grundebene im Raume eine Parallele, so nennen wir diese neue Gerade eine horizontale Gerade. In genauer Fassung werden wir sagen:

»Jede Gerade, welche zur Grundebene parallel läuft, soll eine horizontale Gerade heißen.« Wollen wir nun den Fluchtpunkt einer horizontalen Geraden bestimmen, so haben wir durch das Auge eine Parallele zu der Geraden zu zeichnen. Diese Parallele ist dann aber auch parallel zur Grundebene, liegt mithin in der Horizontebene, und der Fluchtpunkt muß dem Horizont hh angehören.

Was die Lage einer horizontalen Geraden im Raume betrifft, so kann sie entweder oberhalb oder unterhalb der Horizontebene liegen oder in der Horizontebene. Der letztere Fall ist sofort erledigt. Denn jede Gerade der Horizontebene bildet sich in den Horizont ab.

Liegt eine horizontale Gerade oberhalb der Horizontebene, wie z. B. die Gerade A in Fig. 31, so muß ihre Spur a oberhalb des Horizonts hh gelegen sein; eine horizontale Gerade B dagegen, welche unter der Horizontebene sich befindet, liefert eine Spur b unter dem Horizont.

Die Bilder zweier solchen Geraden verhalten sich nun verschieden. In Fig. 31 ist noch speziell angenommen, daß die beiden Geraden A und B in der gleichen Vertikalebene liegen, so daß der Riß A₁ von A mit dem Riß B₁ von B sich deckt und die Spuren a und b auf einer lotrechten Linie sich befinden. Durchläuft ein Punkt die Gerade A, indem er von der Spur a ausgeht, im Sinne des Pfeiles, also in der Richtung von der Bildtafel weg, so bewegt sich sein Bild auf A' gegen den Fluchtpunkt f_a hin. Die Linie A' geht demnach, in der Richtung von a nach f_a durchlaufen, abwärts, oder sie »fällt«. Ebenso »steigt« die Linie B', wenn sie in der Richtung gegen den Fluchtpunkt hin durchlaufen wird. Damit haben wir eine sehr brauchbare Malerregel abgeleitet, die sich wie folgt ausdrücken läßt:

Die gleiche Eigenschaft zeigen natürlich auch die Bilder der Tiefenlinien, da die letzteren ja auch nur horizontale Gerade von besonderer Art sind.

Die in 16 und 17 für Gerade der Grundebene durchgeführten Betrachtungen gelten, wir wir jetzt einsehen, für jede horizontale Gerade; speziell gilt Satz 15 für zwei Gerade, die in irgendeiner zur Grundebene parallelen Ebene liegen.