8. Konstruktion eines perspektivischen Bildes aus Grund- und Aufriß. Soll von einem Gegenstande ein perspektivisches Bild gezeichnet werden, so muß der Gegenstand selbst bekannt sein und außerdem die Lage des Projektionszentrums (Auges) gegen die Bildebene. Es ist zunächst am einfachsten, sich alle diese Stücke je durch Grund- und Aufriß zu geben, so daß wir also folgende Elemente erhalten: a) die Bildtafel (Zeichenebene); b) das Auge O; c) den Gegenstand. Wir behandeln wieder ein einfaches Beispiel.

Die Bildebene Π gehe durch den Punkt Z der Kante (Fig. 12) und enthalte die beiden Linien ZX und ZY, welche in der Π₁ und in der Π₂ je senkrecht zur Kante K gezogen werden können. Gleichzeitig ist ZX der erste und ZY der zweite Riß der Bildebene Π. Das Auge O habe die Risse O₁ und O₂. Der abzubildende Würfel abcdefgh liegt mit der Fläche abcd auf der Grundrißebene. Wir haben nun den in 2. beschriebenen Vorgang wirklich durchzuführen, also die einzelnen Ecken des Würfels in die Ebene Π zu projizieren. Führen wir dies etwa für die Ecke e durch.2 Wir verbinden O mit e, dann ist O₁e₁ der erste Riß, O₂e₂ der zweite Riß dieser Verbindungslinie. Der Schnittpunkt von Oe mit Π sei e'; der erste Riß von e' kann nichts anderes sein als der Schnittpunkt von O₁e₁ mit ZX. Diesen Punkt bezeichnen wir also mit e₁'. Ebenso ist der zweite Riß des Punktes e' der Schnittpunkt e₂' von O₂e₂ mit der Linie ZY. Natürlich fallen alle ersten Risse unseres Bildes auf die Gerade ZX, alle zweiten auf ZY.

Nun wollen wir aber doch das Bild selbst in seiner wahrer Gestalt auf unserem Zeichenblatte vor uns sehen. Um dieses zu erreichen, müssen wir die Ebene Π herausheben und in die Zeichenebene legen. Das kann man etwa in folgender Weise durchführen. Wir verschieben die Ebene Π parallel zu sich selbst, bis sie durch den beliebigen Punkt (Z) der Kante geht. Sie schneidet dann die Tafeln in den Loten (Z)(X) und (Z)(Y). Nachdem dies geschehen, drehen wir die Ebene um die in der Π₂ gelegene Senkrechte (Z)(Y) so lange, bis sie mit der Π₂ sich deckt.

Verfolgen wir den Punkt e' bei diesen verschiedenen Schritten. Bei der Verschiebung der Ebene Π in die Lage (Y)(Z)(X) wird e₁' eine Parallele zur Kante beschreiben. Ziehen wir also durch e₁' eine Parallele zur Kante K, so schneidet diese die Linie (Z)(X) in (e₁'). Bei der Drehung der Ebene beschreibt (e₁') einen Viertelskreis um (Z) und gelangt nach e₁^*. Dann liegt aber der Punkt e' auf der Senkrechten, welche in e₁^* zur Kante gezeichnet werden kann. Die Höhe, in welcher e' über der Π₁ liegt, ist jedoch bei allen diesen Vorgängen die gleiche geblieben, und sie ist durch Ze₂' gegeben. Tragen wir also auf der in e₁^* errichteten Senkrechten diese Höhe an oder, was das gleiche ist, ziehen wir durch e₂' eine Parallele zur Kante, so schneidet diese auf der Senkrechten in e₁^* den Punkt e' aus.

Bequemer ist es, einfach (Z)e₁^* = Ze₁' mit dem Zirkel auf der Kante anzutragen und auf der Senkrechten in e₁^* dann weiter e₁^*e' = Ze₂' abzuschneiden. Man kann dazu auch noch Fig. 1 vergleichen. Dort ist die erste Tafel Π₁ angegeben als eine horizontale Ebene, die zweite Tafel ginge durch K und AY. Vom Punkte e' sind die Risse e₁ und e₂ eingetragen.

Ganz in entsprechender Weise konstruiert man die Bilder der übrigen Ecken und erhält so das Bild a'b'c'd'e'f'g'h' des Würfels. Um die Bildwirkung zu erhöhen, denkt man sich den Würfel aus einem undurchsichtigen Material (Holz, Gips) und zeichnet die Kanten, welche man nicht sehen würde, bloß punktiert. In unserer Figur liegen dem Auge zunächst die Kanten bc, cg, gf, fb ferner gh, he, ef. Diese müssen also ausgezogen werden. Die übrigen Kanten cd, da, ab, dh, he, ea werden dem in O befindlichen Auge durch den Würfel verdeckt; man hätte sie also streng genommen ganz wegzulassen. Es ist aber nützlich, diese Kanten wenigstens punktiert anzudeuten, um die mathematische Form besser zu übersehen. Man nennt die Berücksichtigung dieser Verhältnisse die »Sichtbarkeit bzw. Unsichtbarkeit«.

Nun ist ein perspektivisches Bild für ein gewisses Projektionszentrum konstruiert und muß von diesem aus betrachtet werden. Wir werden deswegen verlangen, den Punkt im Raume anzugeben, von dem aus unser Bild b'c'g'h'e'f' zu betrachten ist. Zu diesem Zwecke fällen wir von dem Zentrum O aus auf die Bildebene Π die Senkrechte. Ihr erster Riß ist eine Parallele durch O₁ zur Kante, ihr zweiter Riß eine Parallele durch O₂ zur Kante. Der Fußpunkt dieser Senkrechten, die auch in Fig. 1 eingetragen ist, heiße A. Die Risse A₁ und A₂ desselben sind die Schnittpunkte der eben genannten Parallelen mit ZX bzw. ZY. Daraus finden wir die Lage von A wiederum, indem wir zunächst die Parallele durch A₁ und (Z)(X) zum Schnitt bringen in (A₁), dann durch einen Viertelskreis (Z)A₁^* = (Z)(A₁) machen. Auf der in A₁^* errichteten Senkrechten schneidet die Parallele durch A₂ wieder den Punkt A aus. Jetzt wissen wir also, daß unser Projektionszentrum auf der Senkrechten liegt, die in A zur Zeichenebene gedacht werden kann.

Weiter gibt nun aber die Strecke O₁A₁ oder auch O₂A₂ die Entfernung, in der wir auf der genannten Senkrechten in A zur Ebene des Blattes uns das Auge O denken müssen. Bringen wir unser Auge an die dadurch bestimmte Stelle im Raume, so wird das Bild des Würfels den besten Eindruck machen. Allerdings hat man die Figur viel größer, vielleicht drei- oder viermal so groß zu zeichnen, da wir bei normalen Augen das Zeichenblatt wenigstens 25 cm von unserem Auge entfernt halten müssen.

Man nennt den Punkt A den »Haupt«- oder »Augpunkt«, und er ist wohl zu unterscheiden von dem Projektionszentrum oder dem »Auge« O; die Entfernung OA des Projektionszentrums O von der Bildebene, also die Strecke O₁A₁ oder O₂A₂ heißt die »Distanz«.

9. Apparat zur Konstruktion einer Perspektive. Geht man vom Grundriß des gegebenen Gegenstandes aus, so beruht das soeben durchgeführte Verfahren wesentlich darauf, daß man die Höhe ermittelt, in der das Bild eines Punktes über der Grundrißebene lag. Statt der Grundrißebene kann man auch die Ebene benutzen, welche man durch das Auge O parallel zur Grundrißebene legt. Diese Ebene heiße die »Horizontebene« und sie schneidet die Bildebene Π in einer Geraden hh, welche durch den Hauptpunkt A geht und der »Horizont« genannt wird (Fig. 13). Es sei nun ein Punkt a gegeben, der von O aus gerechnet vor der Bildebene Π liegt, welch letztere die Grundrißebene Π₁ in der Geraden gg schneidet. Dann können wir das Bild a' wieder in folgender Weise bestimmen. Die von a auf Π₁ gefällte Senkrechte trifft Π₁ im Risse a₁, die Horizontebene dagegen im Punkte (a₁). Verbinden wir O₁ mit a₁, so ist dies der Riß des Sehstrahles Oa. O₁a₁ trifft die Gerade (gg) in a₁', und auf der in a₁' gelegenen Senkrechten liegt das Bild a'. Schneidet diese Senkrechte den Horizont in (a'), so ist die Linie O(a') parallel zu O₁a₁', und zur Berechnung der Höhe a'(a') kann die Proportion dienen:

^a'(a')/_a(a1) = ^O(a')/_O(a1).

Das Verhältnis auf der rechten Seite darf zunächst durch O₁a₁' : O₁a₁ ersetzt werden. Zieht man ferner durch a₁ eine Parallele zu gg, welche O₁A₁ in X trifft, so wird dies Verhältnis auch durch O₁A₁ : O₁X gegeben, so daß man schließlich erhält

(1) ^a'(a')/_a(a1) = ^O₁A₁/_O1X.

Die Strecke a(a₁) kann aus dem Aufriß entnommen werden und ist gleich der Höhe des Aufrisses über dem Horizont.

Ist nun (Abbildung 2) der Grundriß in Fig. I, der Aufriß in Fig. II gegeben und ist die Bildebene um gg in die Grundrißebene umgeklappt, so läßt sich aus der Proportion (1) in folgender Weise die Höhe a'(a') ermitteln. Man zieht durch den Riß a₁ eine Parallele zu hh, welche auf O₁A₁ den Punkt X liefert. Auf dieser Parallelen trägt man ferner die Höhe ab, in der der Aufriß von a über dem Horizont liegt, macht also XY = a₂a_h, wo a₂a_h aus Fig. II zu entnehmen. Verbindet man diesen Punkt Y mit O₁, so schneidet diese Linie aus gg den Punkt B₁ aus, und es gilt nun die Proportion:

(2) ^B₁A₁/_XY = ^O₁A₁/_O1X.

Vergleicht man (1) und (2), so müssen also auch die linken Seiten einander gleich sein, und da XY = a₂a_h = a(a₁), so ist B₁A₁ = a'(a').

In B₁A₁ ist mithin die Höhe des Bildes von a über dem Horizont ermittelt. Verbindet man demnach noch a₁ mit O₁, so liefert diese Linie auf gg den Punkt a₁'. Auf dem in a₁' errichteten Lote liegt a' und wird erhalten, wenn man vom Horizont aus B₁A₁ anträgt, also (a')a' = B₁A₁ macht.

Herr Kunstmaler Adolf Reile in Stuttgart hat in der Zeitschrift für gewerblichen Unterricht, Jahrg. XXX, 1915 Nr. 43 einen einfachen Apparat angegeben, der diese von ihm abgeleitete Beziehung mechanisch zu konstruieren gestattet. Zwei Reißschienen L und R sind durch ein Gelenk miteinander verkuppelt. Der Gelenkmittelpunkt wird stets auf der Geraden gg geführt, indem die Reißschiene R an der oberen Kante AD des Reißbrettes ABCD hingleitet. Die Reißschiene L geht immer durch O₁ hindurch, was dadurch erreicht wird, daß eine Hülse durch eine Stecknadel in O₁ festgehalten ist, während die Schiene L durch die Hülse hindurchgleitet.

Um die obige Konstruktion auszuführen, legt man zunächst eine gewöhnliche Reißschiene R' durch a₁, bestimmt durch Abgreifen mit dem Zirkel Y und verschiebt sodann L so lange, bis es durch Y geht. Die Kuppelung befindet sich nun in B₁, und die Schiene R bestimmt auf dem Horizont die gesuchte Strecke AB = A₁B₁. Legt man endlich L durch a₁, so gibt die Schiene R das Lot in a₁', und längs derselben kann AB angetragen werden. Da das Objekt bei der in Abb. 2 gemachten Annahme vor der Bildebene liegt, so wird es durch die Perspektive vergrößert.

Es gibt Vorrichtungen (sog. Perspektographen), welche überhaupt Perspektiven mechanisch herstellen; so haben G. Hauck und E. Brauer einen allerdings komplizierten und teueren Apparat konstruiert, bei dem ein freier Stift die Perspektive beschreibt, wenn man mit zwei anderen Stiften den Grund- und Aufriß nachfährt. Man vgl. Zeitschrift des Vereins deutscher Ingenieure, Bd. 35, 1891 Nr. 28, S. 782.

Wesentlich ist, daß das in 8. erörterte Verfahren, das man auch als die »Schnittmethode« bezeichnet, uns zwar die Möglichkeit gibt, das perspektivische Bild Punkt für Punkt zu zeichnen, daß es uns aber keinen Einblick in die Natur dieser Bilder gewährt und uns keine Eigenschaften solcher Bilder liefert. So gehen beispielsweise in Fig. 12 die vier Linien b'a', c'd', g'h', f'e' hinreichend verlängert durch einen Punkt, nämlich durch A, und es leuchtet ohne weiteres ein, daß dies für die Zeichnung mit Vorteil verwendet werden kann. Deswegen gehen wir jetzt dazu über, denjenigen Satz zu beweisen, der die wichtigste Eigenschaft aller perspektivischen Bilder liefert.

§ 4. Der Satz vom Fluchtpunkt.

10. Der Fluchtpunkt einer Geraden. Wir erinnern zunächst an folgenden, auch der Anschauung leicht zugänglichen Satz: »Irgend zwei parallele Gerade im Raume bestimmen eine Ebene, und jede Gerade, welche diese beiden parallelen Geraden schneidet, liegt ebenfalls ganz in dieser Ebene.«

Dieser grundlegenden Behauptung der Geometrie kann man auch folgende andere Fassung geben:

»Ist eine Gerade G gegeben und ein Punkt O (Fig. 14) und verbindet man den Punkt O mit beliebigen Punkten a, b, … von G, so liegen alle diese Verbindungslinien in einer Ebene, und dieser Ebene gehört auch die Gerade J an, welche durch O parallel zu G gezogen werden kann.«

Es sei nun weiter die Bildtafel Π gegeben sowie das Auge O; es soll das perspektivische Bild der Geraden G gezeichnet werden. Dieses Bild G' erhält man, wenn man die Bilder der einzelnen Punkte a, b, c, … von G aufsucht. Man hat also die Projektionsstrahlen Oa, Ob, Oc, … mit Π zum Schnitt zu bringen. Alle diese Punkte a', b', c' … liegen dann aber auf der Geraden G', in welcher die Ebene der Projektionsstrahlen Oa, Ob, Oc, … die Tafel Π durchsetzt. In der Ebene dieser Projektionsstrahlen liegt nun nach dem obigen Satze auch der Strahl J, der durch O parallel zu G gezogen werden kann. Trifft er in f die Tafel, so muß also G' auch durch f gehen.

Die Gerade G schneidet ferner die Tafel Π in einem Punkte s; er heißt die »Spur« der Geraden, und er muß selbstverständlich auch auf G' gelegen sein.

Der Punkt f dagegen heißt der »Fluchtpunkt« oder die »Flucht« oder auch der »Verschwindungspunkt der Geraden G«. Diese sehr treffende Bezeichnung erklärt sich in folgender Weise. Lassen wir einen Punkt sich auf der Geraden G von der Spur s aus nach links immer weiter und weiter fortbewegen, so daß er die Lagen a, b, c, … annimmt, so werden sich die Bilder a', b', c' … dem Fluchtpunkt f mehr und mehr nähern. Ist der Punkt auf der Geraden G schon sehr weit hinausgerückt, so wird das Bild des Punktes ziemlich nahe an f liegen. Aber allerdings gibt es keinen erreichbaren Punkt auf G, dessen Bild wirklich nach f fiele. Denkt man sich die Gerade G als eine materiell hergestellte, sehr lange, dünne Stange aus Draht oder Holz und Π wieder als Glastafel und visiert ein in O angebrachtes Auge die Stange ein, so wird ihr Ende nahezu in f erscheinen, die Gerade »verschwindet« in f. Das Bild G' läuft verlängert durch den Fluchtpunkt, oder es »flieht« nach f.

Wir geben nochmals an, wie der Fluchtpunkt einer Geraden zu konstruieren ist:

Das Bild G' wird man zeichnen können, wenn man 2 Punkte desselben bestimmt hat. Als solche bieten sich ganz von selbst die Spur s und die Flucht f dar. Man kann also sagen:

Um ein Beispiel zu haben, betrachten wir Fig. 12. Wählen wir die Kante ab des Würfels. Der Fluchtpunkt dieser Geraden ergibt sich, wenn wir durch O die Parallele zeichnen. Da die Kante auf der Tafel ZXY senkrecht steht, so ist diese Parallele die Linie OA und A ist der Fluchtpunkt. Es geht also in dem perspektivischen Bilde rechts oben a'b' verlängert durch A.

11. Der Satz vom Fluchtpunkt. Denken wir uns nun (Fig. 14) eine zweite Gerade H gegeben, welche zu G parallel sein soll. Die Spur von H sei der Punkt s'. Dann weiß man, daß die Linie J oder Of auch parallel zu H, und dies besagt doch nichts anderes, als daß f auch der Fluchtpunkt der Geraden H sein muß. Das perspektivische Bild H' der Geraden H läuft folglich durch f und durch s'. Ebenso wäre für jede andere Gerade, welche zu G parallel ist, f der Fluchtpunkt. Die Bilder G' und H' der parallelen Geraden G und H laufen also im gemeinsamen Fluchtpunkt f zusammen. Damit erhalten wir den die ganze Lehre von der perspektivischen Zeichnung beherrschenden

Man beachte, daß im Gegensatze dazu bei der orthogonalen Projektion nach Satz 3 (S. 7) parallele Gerade im Raume auch stets Bilder haben, die wieder parallel sind. Die Figur 12 liefert uns auch sofort ein Beispiel für die Anwendung dieses Fluchtpunktsatzes. Betrachten wir an dem dort dargestellten Würfel die 4 Kanten ba, cd, gh, fe, so erkennt man leicht, daß dieses 4 parallele Gerade sind. A ist offenbar der gemeinsame Fluchtpunkt derselben, und die Bilder b'a', c'd', g'h', f'e' laufen demnach verlängert durch A.

Eine aufmerksame Betrachtung der Fig. 12 kann uns übrigens darüber belehren, daß es doch parallele Gerade gibt, deren Bilder auch wieder parallel sind. So sind die vier Geraden bc, ad, eh, fg offenbar im Raume parallel, und ihre Bilder b'c', a'd', e'h', f'g' sind ebenfalls parallel. Die gleiche Eigenschaft zeigen die vier Kanten ae, bf, cg, dh. Betrachten wir nun, um dies klar zu übersehen, eine Gerade G, welche zur Bildebene Π parallel ist (Fig. 15). Das Bild G' derselben ergibt sich wieder, wenn wir nach allen möglichen Punkten von G die Projektionsstrahlen legen und diese mit der Tafel zum Schnitt bringen. Alle diese Strahlen bilden aber eine Ebene, und diese projizierende Ebene schneidet aus Π das Bild G' aus. Wenn wir nun angenommen haben, daß die Gerade G zur Bildtafel Π parallel ist, so heißt das, daß sie die Bildtafel nicht schneidet. Die Gerade G kann also auch G' nicht schneiden oder mit anderen Worten: es ist G parallel G'.

Ist nun H eine zweite zu G parallele Gerade, so folgt ganz in der gleichen Weise, daß auch H parallel zu H' ist, und daraus folgert man sofort, daß auch G' parallel H' ist. Diese beiden parallelen Geraden G und H haben also parallele Bilder G' und H'. Allgemein kann man diesen besonderen Fall des Fluchtpunktsatzes aussprechen als

12. Das Fluchtpunktgesetz in der Erscheinungswelt. Der Begriff der Zentralprojektion war abgeleitet aus dem Vorgang des Sehens, den wir jetzt etwas genauer untersuchen müssen. Das menschliche Auge entwirft von beleuchteten Gegenständen, die sich vor ihm befinden, auf der im Hintergrunde des Auges befindlichen Netzhaut kleine Bildchen, die dadurch entstehen, daß man die Punkte des Gegenstandes aus einem bestimmten, im Auge gelegenen Punkte o auf die Netzhaut projiziert. In Fig. 16 ist das allerdings in ganz unrichtigen Größenverhältnissen wiedergegeben. Als Objekte sind die beiden parallelen Pfeile ab und cd gewählt. o ist das Zentrum, und die von o nach den Punkten a, b, c, d gehenden Strahlen schneiden die Netzhaut in den Punkten a', b', c', d'. So entstehen die Bildchen a'b' und c'd'. In zweierlei Hinsicht unterscheidet sich freilich die hier zur Verwertung kommende Perspektive von der von uns betrachteten. Erstens tritt an Stelle der ebenen Bildtafel die kugelförmig gewölbte Netzhaut, und zweitens befinden sich Gegenstand und auffangende Fläche auf verschiedenen Seiten des Zentrums o. Das letztere äußert sich dadurch, daß die Bildchen auf der Netzhaut verkehrt sich ausbilden. So sind z. B. die Pfeilspitzen a', c' unten gelegen. Mit dem Augenspiegel kann man das direkt beobachten. Denkt man sich weiter durch o die Parallele zu ab gezogen, so schneidet diese die Netzhaut in einem Punkte f, den wir als den Fluchtpunkt aller zu ab parallelen Linien bezeichnen müssen. Je länger der Pfeil ab ist, desto mehr strebt das Bildchen a'b' dem Punkte f zu. Die beiden Bilder a'b' und c'd' laufen verlängert durch f, und diese Tatsache drückt sich auch in unserem Wahrnehmungsbild aus, indem sich die beiden Pfeile zu nähern scheinen. In der Tat kann man das auf Schritt und Tritt beobachten. Wenn eine Straße auf eine lange Strecke geradlinig verläuft, so scheinen die Häuser am Ende derselben zusammenzurücken, ebenso die Trambahnschienen und die Gesimslinien ihrer Gebäude. Eine geradlinige Allee schließt sich scheinbar in der Ferne, in gleicher Weise ein sehr langer Korridor. Am großartigsten zeigt sich die Erscheinung, wenn die Sonnenstrahlen durch eine Wolkenlücke brechen. Sie werden dann in ihrem geradlinigen Verlauf sichtbar, indem sie die Wolken oder andere Teile der Landschaft beleuchten. Die Strahlen, die durch die Lücke hindurchgehen, sind nun parallel, da wir Strahlen, die von einem Punkte der Sonne ausgehen, als parallel betrachten müssen. Für unser Auge aber scheinen diese Strahlen von einem Punkte auszugehen, eben dem Fluchtpunkte derselben. So bringt uns unser Auge den Satz vom Fluchtpunkte fast in jedem Moment zum Bewußtsein und wir können nicht über die Straße gehen, ohne ihn zu erleben. Das ganze Weltbild, das wir beständig vor Augen haben, wird durch dieses Gesetz wesentlich beeinflußt.

§ 5. Andere Bestimmung eines perspektivischen Bildes.

13. Die festen Elemente. Wir wollen nun einen anderen Weg einschlagen, um perspektivische Bilder von Körpern zu zeichnen, indem wir den Satz vom Fluchtpunkt jetzt so viel als möglich heranziehen. Es ist dann zunächst nötig, eine Anzahl fester Elemente einzuführen, auf die wir die Darstellung beziehen. Die Bildebene oder Tafel denken wir uns wieder als eine lotrechte Ebene. Die darzustellenden Gegenstände werden sich nun in den meisten Fällen auf einer horizontalen Bodenfläche befinden; wir führen dementsprechend eine zur Tafel senkrechte, wagrechte Ebene ein, die wir kurz die »Grundebene« nennen. Die Figuren 17 und 18 geben wieder eine Ansicht aller zu benutzenden Gebilde. Die Grundebene Π₁ wird die Tafel Π in einer Geraden gg schneiden, welche »Grundlinie« heißen soll. Von dem im Raume gegebenen Auge O fällen wir eine Senkrechte auf die Tafel, deren Fußpunkt der schon erwähnte »Haupt«- oder »Aug«-Punkt A ist. Da die Linie OA demnach parallel zur Grundebene verläuft, so kann man durch OA eine Ebene legen, welche parallel zur Grundebene ist. Diese Parallelebene schneidet aus der Tafel eine Linie hh aus, welche parallel zur Grundlinie gg sein muß und bereits als der »Horizont« bezeichnet wurde. Die Parallelebene selbst hieß die »Horizontebene«. Der Abstand des Horizonts von der Grundlinie oder, was das gleiche ist, der Abstand der Horizontebene von der Grundebene wird die »Augenhöhe« genannt. Endlich tragen wir noch die Distanz OA vom Augpunkt aus nach beiden Seiten auf dem Horizont ab, wodurch wir die Punkte D₁ und D₂ erhalten. Diese heißen die »Distanzpunkte«. Da also AD₁ = AO = AD₂, so sind die Dreiecke D₁OA und D₂OA beide gleichschenklig rechtwinklig, und es ist ∢ AD₁O = ∢ AD₂O = 45°.

In der Zeichenebene geben wir uns also (Fig. 19) zwei parallele Linien hh und gg und auf der oberen den Punkt A sowie im gleichen Abstande rechts und links die Punkte D₁ und D₂. Die Lage des Auges im Raume ist damit festgelegt: es liegt auf der Senkrechten, die wir uns im Punkte A zur Zeichenebene errichtet denken, und zwar in einem Abstande von A, der gleich AD₁ oder AD₂ ist.

Durch die Annahme dieser Elemente ist nun bereits eine ganze Anzahl von Richtungen bestimmt. Eine auf der Zeichenebene senkrechte Gerade T liefert uns die Ausdehnung des Gegenstandes nach der »Tiefe« zu, wie wir ja auch von der Tiefe eines Kastens oder einer Bühne sprechen und darunter die Abmessung verstehen, die lotrecht zur Vorderfläche erfolgt. Wir nennen aus diesem Grunde jede auf der Bildebene senkrechte Gerade T eine »Tiefenlinie« (Fig. 18 oben). Die durch das Auge O zu einer solchen Tiefenlinie gelegte Parallele wird dann aber immer der Strahl OA, und folglich ist nach Satz 7 A ihr Fluchtpunkt. Damit haben wir aber bewiesen:

Der Augpunkt beherrscht deswegen die ganze Darstellung und legt die im Bilde fehlende dritte Dimension fest.

Um die Bedeutung des Horizontes zu erkennen, erinnern wir zunächst an folgenden Satz aus der Stereometrie: »Ist eine Ebene Π₁ gegeben und außerhalb derselben ein Punkt O, so gibt es durch O nur eine Ebene, welche zu Π₁ parallel ist.«

Diese Behauptung kann man auch durch folgende andere ersetzen: »Zieht man in der Ebene Π₁ irgendwelche Gerade und zeichnet durch O die Parallelen zu derselben, so liegen alle diese Parallelen in einer Ebene, eben in der Parallelebene durch O zu Π₁.« Ist also G irgendeine Gerade der Grundebene (Fig. 17) und ziehen wir zu ihr durch O die Parallele, so liegt diese in der Horizontebene, der Schnittpunkt f der Parallelen mit der Tafel muß demnach auf hh gelegen sein; er ist aber der Fluchtpunkt der Geraden G; mit anderen Worten:

A ist im besonderen der Fluchtpunkt aller zur Grundlinie gg senkrechten Geraden der Grundebene, was wir ja schon wissen. Zeichnen wir ferner in der Grundebene ein Quadrat abcd (Fig. 18), das mit einer Seite ab in der Grundlinie liegt. Dann schließen die Linien ac und bd, die sog. Diagonalen des Quadrates, mit der Grundlinie Winkel von 45° ein. Man vgl. auch Fig. 19, in welcher unten das Quadrat (a)(b)(c)(d) in seiner wahren Gestalt zu sehen ist. Es ist aber klar, daß die Linie OD₁ parallel zu bd und OD₂ parallel zu ac; D₁ und D₂ sind die Fluchtpunkte der Diagonalen des Quadrates und aller zu diesen beiden Geraden parallelen Geraden der Grundebene d. h.

Endlich wollen wir noch eine andere Eigenschaft des Horizontes kennen lernen. Ist d ein Punkt in der Grundebene, d' sein Bild, also der Schnittpunkt des Sehstrahles Od mit Π (Fig. 18), so wollen wir uns vorstellen, daß der Punkt d weiter und weiter nach links in der Grundebene hinausrückt. Dann wird das Bild d' offenbar immer höher in der Bildtafel hinaufrücken, da sich der Strahl Od mehr und mehr aufrichtet. Ist d sehr weit entfernt in der Grundebene angenommen, so wird das Bild d' dem Horizont hh schon sehr nahe liegen. Wir gewinnen daraus folgende Deutung für den Horizont:

Ein schönes Beispiel dafür liefert die Darstellung des offenen Meeres. Denn seine Oberfläche müssen wir uns als eine weit ausgedehnte Ebene denken. Ist also in einem Gemälde das freie Meer überhaupt oder eine weit ausgedehnte Wasserfläche dargestellt, so gibt die Grenzlinie gegen den Himmel praktisch hinreichend genau den Horizont des Bildes (vgl. Fig. 50). Unsere Überlegung gibt auch die Erklärung dafür, warum sich die Meeresfläche scheinbar so hoch erhebt, daß sie wie eine Mauer sich aufzutürmen scheint. In der Tat muß das Bild jeder sehr weit ausgedehnten horizontalen Ebene bis fast in Augenhöhe reichen.