An diese Tatsachen knüpft Carnot folgende Überlegung, die man ein Gedankenexperiment nennen kann481, weil sich die Durchführung in der Wirklichkeit nur annäherungsweise bewerkstelligen läßt. A sei ein Körper von der Temperatur t₁. Die Temperatur eines zweiten Körpers B, der von A durch einen nichtleitenden Stoff getrennt ist, sei niedriger und zwar gleich t₂. In dem Zylinder abgh befinde sich eine elastische Flüssigkeit, z. B. Luft und ein beweglicher Kolben cd. Man stelle sich nun mit Carnot folgende Reihe von Veränderungen vor:

1. Der Zylinder, dessen Wand ab die Wärme leicht durchlassen soll, befinde sich auf dem wärmeren Körper A. Das eingeschlossene Gas nimmt infolgedessen die Temperatur t₁ an, die wir A zugeschrieben haben, und der Kolben erhebt sich aus seiner Anfangsstellung cd bis zur Stellung ef. Infolge der Wärmezufuhr, welche das Gas dabei von A empfängt, behält dieses trotz der Ausdehnung die Temperatur t₁.

2. Der Zylinder wird jetzt von A entfernt, so daß ihm keine Wärme mehr zugeführt wird. Dehnt sich das Gas nun weiter aus, so sinkt bei dieser Volumverminderung seine Temperatur. Sie möge auf t₂, d. i. die Temperatur des kälteren Körpers B, gesunken sein, wenn der Kolben die Stellung gh einnimmt.

3. Der Zylinder wird auf B gebracht und das Gas, das ja bei der Kolbenstellung gh die Temperatur von B besitzt, zusammengedrückt. Die so erzeugte Wärme wird dabei sofort von B, dessen Temperatur konstant t₂ bleiben soll, aufgenommen. Voraussetzung ist, wenn sich die Temperatur von A und B trotz Abgabe und Zufuhr von Wärme nicht ändern soll, daß beide Körper eine ungeheure Wärmekapazität haben.

4. Hat der Kolben die Stellung cd erreicht, so entfernt man den Zylinder von B und komprimiert ohne Wärmeabgabe weiter. Die Temperatur der eingeschlossenen Luft wird jetzt steigen und es möge der Kolben die Stellung ik angenommen haben, wenn die Temperatur des Gases wieder gleich derjenigen von A, nämlich gleich t₁, ist.

Damit ist der Kreislauf abgeschlossen. Denn bringen wir jetzt den Zylinder auf A, so können die beschriebenen Vorgänge in vollkommen gleicher Weise sich, so oft wir wollen, wiederholen. Der beschriebene Kreisprozeß kann aber auch umgekehrt werden, indem man auf d zunächst c, dann b und endlich wieder a folgen läßt. Bei dieser Umkehrung wird aber eben soviel »bewegende Kraft« (Arbeit) verbraucht, als bei dem Ablauf der Vorgänge in der zuerst geschilderten Folge (a, b, c, d) gewonnen wurde.

Fast zur selben Zeit, als Rumford und Davy ihre über die Natur der Körperwärme entscheidenden Versuche anstellten, wurde auch die Lehre von der strahlenden Wärme, die man schon länger von der körperlichen unterschieden hatte482, um eine wichtige Entdeckung bereichert. Wilhelm Herschel bediente sich bei der Beobachtung der Sonne verschiedenartig gefärbter Gläser. Dabei fiel ihm auf, daß hinter gewissen Gläsern, die weniger Licht durchlassen, mitunter eine stärkere Wärmeempfindung stattfand, als hinter anderen helleren483, so daß die erwärmende Kraft durchaus nicht von der Stärke des Lichtes abzuhängen schien. Um die Frage zu entscheiden, ob die Wärme etwa ungleichmäßig über die verschiedenen Strahlengattungen verteilt sei, erzeugte Herschel das Sonnenspektrum und brachte ein Thermometer mit geschwärzter Kugel in die verschiedenen Farben, die er nacheinander durch eine Öffnung fallen ließ. Ein zweites, etwas entferntes Thermometer zeigte die Wärme der umgebenden Luft an484. Herschel verglich dann die Temperaturerhöhung, welche das Thermometer in gleichen Zeiträumen in den verschiedenen Teilen des Spektrums erfuhr. In derselben Zeit, in der es unter im übrigen gleichen Verhältnissen im violetten Teil des Spektrums um 2° stieg, betrug die Zunahme im Grün 3¼° und im Rot, wo sie am größten war, 6-7/8°. Herschel setzte diese Untersuchung fort und konnte schon einen Monat später485 das merkwürdige Ergebnis mitteilen, daß ein ultraroter Teil des Spektrums bestehe, der aus unsichtbaren, Wärme spendenden Strahlen zusammengesetzt ist. Ja, es ergab sich, daß das Maximum der Wärmewirkung innerhalb dieser unsichtbaren Region liegt.

19. Die Chemie und die Physik treten in engere Wechselbeziehungen.

Sehr viele von den Errungenschaften, die auf chemischem und physikalischem Gebiete zu Beginn der neueren Zeit gewonnen wurden, knüpfen sich an den Namen Gay-Lussacs, so daß es gerechtfertigt erscheint, diese Forschergestalt unter den vielen, die sich um den Ausbau und die Verknüpfung der genannten Wissenszweige verdient gemacht haben, besonders hervortreten zu lassen.

Louis Joseph Gay-Lussac wurde am 6. September 1778 in einer kleinen Stadt486 des mittleren Frankreichs geboren. Da er zu den ausgezeichnetsten Schülern der École polytechnique gehörte, wählte ihn der Chemiker Berthollet zu seinem Gehilfen. Die ersten Lorbeeren, die sich Gay-Lussac auf dem Felde der Wissenschaft verdiente, hatte er einem eigentümlichen Umstande zu verdanken. Durch die alltägliche Beobachtung, daß der Rauch unter dem Einfluß warmer Luft im Kamin emporsteigt, waren die Gebrüder Montgolfier auf den Gedanken gekommen, eine Papierhülle durch ein darunter befindliches Feuer zum Emporsteigen zu bringen. Ihrem berühmt gewordenen Versuch vom Jahre 1783, bei dem sich eine derartige Hülle von 22000 Kubikfuß Rauminhalt durch ein darunter befindliches Strohfeuer auf eine Höhe von etwa 2000 Metern erhob, waren zahlreiche, von mehr oder weniger Erfolg begleitete Aufstiege gefolgt. Der Physiker Charles war noch in demselben Jahre zur Füllung der Ballons mit Wasserstoff übergegangen. Trotzdem blieb eine Luftreise bei dem Fehlen der heutigen Sicherheitsvorrichtungen zunächst ein sehr gewagtes Unternehmen. Als sich die Pariser Akademie im Anfang des 19. Jahrhunderts entschloß, Aufstiege zu wissenschaftlichen Zwecken zu veranstalten, galt es daher, einige jüngere, beherzte Forscher zu gewinnen. Die Wahl fiel auf Gay-Lussac und Biot, die im Sommer des Jahres 1804 einen gemeinschaftlichen Aufstieg unternahmen, dem bald darauf eine von Gay-Lussac allein ausgeführte Luftreise folgte. In der von dem letzteren erreichten Höhe von 7000 Metern betrug die Temperatur -9,5°, während zur selben Zeit in Paris ein im Schatten befindliches Thermometer +27,5° zeigte. Die atmosphärische Luft war nach den Analysen Gay-Lussacs in den oberen Schichten der Atmosphäre von derselben Zusammensetzung wie in der Nähe der Erdoberfläche. Auch wies Gay-Lussac nach, daß die Luft nicht etwa in größeren Höhen einen Gehalt von dem so leichten Wasserstoffgas besitze, wie einige Physiker zur Erklärung des Gewitters, das in Knallgasexplosionen bestehen sollte, angenommen hatten. Insbesondere war die Aufmerksamkeit Gay-Lussacs auf das Verhalten gerichtet, welches die Magnetnadel in größerer Entfernung vom Erdboden zeigt. Die angestellten Schwingungsbeobachtungen ergaben, daß ein Höhenunterschied von mehreren tausend Metern die magnetische Kraft nicht merklich beeinflußt. »Biots und Gay-Lussacs Luftfahrten«, schrieb später Arago487, »werden im Andenken der Menschen fortleben als die ersten derartigen Unternehmungen, die behufs Lösung wissenschaftlicher Aufgaben mit entschiedenem Erfolge ausgeführt wurden«.

Die Analyse der atmosphärischen Luft und die Zuverlässigkeit der hierfür benutzten Mittel waren zu der Zeit, als Gay-Lussac seine Tätigkeit begann, viel umstritten. Insbesondere war der Glaube verbreitet, daß der Gehalt an Sauerstoff schwankend und für die Güte der Luft bestimmend sei. Die zur Ermittlung des Sauerstoffgehaltes ersonnenen Apparate wurden daher Eudiometer (Luftgütemesser) genannt. Das erste Eudiometer rührt von Priestley her. Es beruhte auf dem Verhalten von Stickoxyd gegen Sauerstoff488 und wurde von Fontana (1774) verbessert. Weit bessere Ergebnisse erhielt man bei dem von Lavoisier in Vorschlag gebrachten Verfahren489. Es besteht darin, daß eine gemessene Luftmenge über Quecksilber abgesperrt und mit Phosphor in Berührung gebracht wird. Durch die langsame Oxydation dieser Substanz wird der Sauerstoff völlig gebunden, und die Luft erleidet eine entsprechende Volumverminderung. Aber selbst Lavoisiers Versuchsfehler waren noch so groß, daß er für den Sauerstoffgehalt Schwankungen von 18 auf 25% annahm. Im wesentlichen auf dem gleichen Prinzip beruht das von Volta vorgeschlagene Eudiometer. Die zu untersuchende Luft wird mit Wasserstoff zusammengebracht. Ist dieses Gas in hinreichender Menge vorhanden, so reißt es bei der durch einen elektrischen Funken bewirkten Explosion des Gasgemisches den gesamten Sauerstoff der Luft an sich und verbindet sich damit zu Wasser.

Auch Alexander von Humboldt beschäftigte sich mit eudiometrischen Bestimmungen. Nachdem er in Paris mit Gay-Lussac bekannt geworden war, schlossen beide, ihrer außerordentlichen Leistungen wegen gefeierten Männer ein enges Freundschaftsbündnis. Die schönste Frucht desselben war eine gemeinsame, im Jahre 1805 veröffentlichte Arbeit über die eudiometrischen Mittel und über das Verhältnis der Bestandteile der Atmosphäre490. Diese Arbeit ergab, daß Voltas Eudiometer das schätzbarste Instrument für die Analyse der Luft ist. Ein wichtiges Nebenergebnis war der Nachweis, daß sich der Sauerstoff mit dem Wasserstoff nach dem unveränderlichen und einfachen Volumverhältnis 1 : 2 verbindet. Nach den früheren Versuchen von Cavendish schien dies Verhältnis kein einfaches zu sein.

Während sich der vielseitige von Humboldt neuen Aufgaben zuwandte, vertiefte sich Gay-Lussac in das Studium der Gase, über deren chemisches und physikalisches Verhalten wir ihm eine Fülle von Entdeckungen verdanken. Seine erste Arbeit über diesen Gegenstand war im Jahre 1802 auf Berthollets Anregung entstanden. Diese Arbeit handelte von der Ausdehnung gas- und dampfförmiger Körper491 und lieferte den nicht nur in praktischer Hinsicht, sondern auch für die Theorie sehr wichtigen Nachweis, daß »alle Gasarten und Dämpfe bei derselben Temperaturerhöhung, unter im übrigen gleichen Umständen, in gleichem Grade ausgedehnt werden.« Gay-Lussacs Untersuchung erstreckte sich auf Sauerstoff, Wasserstoff, Stickstoff, Ammoniak, Schwefeldioxyd Kohlendioxyd und Ätherdampf. Nach seinen Messungen beträgt die Volumzunahme dieser Gase bei einer Temperaturerhöhung von 0 auf 100 Grad 0,375 des ursprünglichen Volumens. Durch spätere Bestimmungen ist dieser Ausdehnungskoeffizient zu 0,366 (oder für eine Temperatursteigerung von 0° auf 1° zu 0,00366 = 1/273) ermittelt worden.

Gay-Lussacs Untersuchung über die Ausdehnung der Gase war älteren Untersuchungen gegenüber besonders deshalb ein großer Fortschritt, weil er die gasförmigen Körper, an denen er Messungen anstellen wollte, vorher vermittelst Chlorkalzium trocknete und damit eine wesentliche Fehlerquelle beseitigte. Daß Gay-Lussacs Bestimmung dennoch mit einem nicht unerheblichen Fehler behaftet blieb, ist darauf zurückzuführen, daß das Trocknen der Gefäße und der Gase noch in nicht genügendem Maße stattfand.

Das von Gay-Lussac beim Messen des Ausdehnungskoeffizienten eingeschlagene Verfahren wird aus der beistehenden, seiner Abhandlung entnommenen Abbildung ersichtlich. Der Ballon D wird über Quecksilber mit dem zu untersuchenden Gase gefüllt. Der ganze, in Abb. 57 dargestellte Apparat wird in ein Wasserbad getaucht und auf 100° erhitzt. Dabei entweicht ein Teil des Gases durch das zweimal gebogene Rohr B, dessen Öffnung durch Quecksilber gesperrt ist. Hat der Ballon die Temperatur des siedenden Wassers angenommen, so wird die Glasröhre B entfernt und das Wasserbad auf die Temperatur des schmelzenden Eises abgekühlt. Das Quecksilber steigt dann, entsprechend der Zusammenziehung des Gases, den graduierten Hals des Ballons hinauf. Man erhält so die Größe des Luftvolumens, das durch die Erwärmung aus dem Ballon von bekanntem Inhalt entwichen ist.

Bei den Versuchen Gay-Lussacs dehnten sich die nachstehend aufgeführten vier Gase beim Erhitzen von 0° auf 100° in folgender Weise aus:

Um zu untersuchen, ob der Ausdehnungskoeffizient der Dämpfe derselbe sei, erwärmte Gay-Lussac Ätherdampf von 60° auf 100°. Er hatte die Genugtuung wahrzunehmen, daß sowohl beim Expandieren als auch bei der Raumverminderung durch Abkühlung der Ätherdampf gleichen Schritt mit der atmosphärischen Luft hielt, die er in einem zweiten Apparate denselben Bedingungen ausgesetzt hatte.

Aus seinen Versuchen schloß Gay-Lussac, daß die Ausdehnung der Gase und der Dämpfe nicht auf der besonderen Natur der Stoffe, sondern lediglich darauf beruht, daß diese Körper sich im elastisch-flüssigen Zustande befinden492.

In dieser Untersuchung Gay-Lussacs findet sich keine Angabe darüber, ob auch die Ausdehnung des Glasgefäßes bei der Berechnung der Ergebnisse berücksichtigt wurde. In einer zweiten Untersuchung ist dies geschehen. Trotzdem weicht der gefundene Koeffizient (0,375) für die Erwärmung von 0° auf 100°, der fast vierzig Jahre in Geltung blieb, nicht unerheblich von dem wahren Werte (0,365) ab493.

Das Freundschaftsbündnis zwischen Gay-Lussac und Alexander von Humboldt wurde zu einem besonders vertrauten durch eine gemeinsame, im Jahre 1805 unternommene Reise nach Italien. Von Rom, für dessen Kunstschätze sich ihnen im Verkehr mit einem Rauch und einem Thorwaldsen der Sinn erschloß, machten die Freunde in Begleitung des Geologen Leopold von Buch einen Abstecher nach Neapel, wo sie Zeugen eines großartigen, von einem furchtbaren Erdbeben begleiteten Ausbruch des Vesuvs wurden. Auch in chemischer Hinsicht war diese Reise nicht ohne Ausbeute. So machte Gay-Lussac in Neapel die Beobachtung, daß die im Wasser gelöste Luft einen weit größeren Sauerstoffgehalt (etwa 30%) als die atmosphärische Luft (21%) besitzt494. Nachdem die Reisenden vor dem Verlassen des italienischen Bodens noch Volta aufgesucht hatten, trafen sie in Berlin ein, wo beide im Hause von Humboldts den Winter verlebten. Nach Paris zurückgekehrt, beschäftigte sich Gay-Lussac zunächst mit der Frage, ob seine Vermutung zutreffend sei, daß nicht nur Wasserstoff und Sauerstoff, sondern auch die übrigen Gasarten sich nach einfachen Raumverhältnissen miteinander verbinden.

Gay-Lussac wählte zunächst salzsaures Gas und verband es mit Ammoniakgas. Es sättigten 100 Maß salzsaures Gas genau 100 Maß Ammoniakgas, und das entstehende Salz war vollkommen neutral495. Brachte er kohlensaures Gas mit Ammoniak zusammen, so verbanden sich mit 100 Maß kohlensaurem Gas genau 200 Maß Ammoniakgas. Es ergab sich ferner, daß Schwefelsäureanhydrid auf 100 Maß schwefligsaures Gas 50 Maß Sauerstoffgas enthält, daß somit auch die beiden zuletzt genannten Gase sich nach einem einfachen Verhältnis verbinden496.

Bei einem anderen Versuch vereinigten sich 50 Maß Sauerstoffgas mit 100 Maß gasförmigem Kohlenstoffoxyd. Beide Gasarten verschwanden völlig, und es fanden sich an ihrer Stelle 100 Maß kohlensaures Gas. Schon vor Gay-Lussac hatte Berthollet gezeigt, daß im Ammoniak auf 100 Maß Stickstoff genau 300 Maß Wasserstoff kommen.

Nach diesen Beweisen war es offenbar, daß zwei Gasarten, die auf einander chemisch einwirken, sich in den allereinfachsten Verhältnissen verbinden. In den untersuchten Fällen geschieht dies nach den Verhältnissen 1 : 1 oder 1 : 2 oder 1 : 3, während sich kein einfaches Verhältnis zwischen den Elementen einer Verbindung zeigt, wenn man auf die Gewichte sieht.

Weitere Versuche ließen erkennen, daß die Gasarten sich nicht bloß mit einander nach sehr einfachen Verhältnissen verbinden, sondern daß die Raumverminderung, die sie bei der Vereinigung erleiden, auch immer in einem sehr einfachen Verhältnisse zu dem Volumen steht, das die Gase vor ihrer Vereinigung einnahmen497. So hatte schon Berthollet gefunden, daß 100 Maß gasförmiges Kohlenstoffoxyd, wenn sie sich mit 50 Maß Sauerstoff verbinden, dabei 100 Maß kohlensaures Gas geben498. Beide Gasarten ziehen sich also bei ihrer Verbindung um einen Raum zusammen, der gerade so groß ist wie derjenige, den das hinzugefügte Sauerstoffgas vorher besaß. Auch der Wasserdampf, der sich durch das Zusammentreten von zwei Raumteilen Wasserstoff und einem Raumteil Sauerstoff bildete, nahm unter gleichen Druck- und Temperaturbedingungen 2 Volumina ein, so daß bei seiner Entstehung eine Verdichtung von 3 auf 2 stattfindet, während sich bei der Bildung von Ammoniak eine Zusammenziehung von 2 auf 1 nachweisen läßt. Dieses von Gay-Lussac entdeckte Volumgesetz ist die Grundlage für die Avogadrosche Hypothese und damit für die weitere Entwicklung der theoretischen Chemie geworden499.

Wir kommen jetzt zu den hervorragenden Untersuchungen, durch welche Gay-Lussac die anorganische, die technische und die organische Chemie gefördert hat.

Als die Kunde von der Entdeckung der Alkalimetalle nach Frankreich gekommen war, stellte Napoleon der polytechnischen Schule die Mittel zur Beschaffung einer gewaltigen Voltaschen Säule zur Verfügung. Noch bevor diese Säule in Tätigkeit gesetzt werden konnte, gelang es Gay-Lussac in Gemeinschaft mit Thenard, Kalium und Natrium durch Erhitzen von Kali und von Natron mit Eisen, also auf rein chemischem Wege, ohne Zuhilfenahme der Elektrizität darzustellen500. Beide Forscher veröffentlichten ihr Verfahren im Mai des Jahres 1808. Anstatt des Eisens nahmen sie auch Kohle, erzielten damit aber ein weniger günstiges Ergebnis. Besser gelang die Darstellung von Kalium und Natrium mittelst Kohle, als man kohlensaures Alkali mit Kohle und Leinöl mischte und dies Gemenge der Glühhitze aussetzte501.

Als eine der besten Monographien, die je über ein Element geschrieben wurden, gilt Gay-Lussacs mustergültige Abhandlung über das Jod und die Jodide. Gay-Lussac stellte in dieser Abhandlung den Begriff der Hydrosäure im Gegensatz zur Sauerstoffsäure auf. Das Jod lieferte nämlich, wie er nachwies, zwei Säuren, die eine in Verbindung mit Sauerstoff, die zweite in Verbindung mit Wasserstoff. Da die Säuren, welche das Chlor, das Jod und der Schwefel mit dem Wasserstoff bilden502, die Eigenschaften der sauerstoffhaltigen Säuren besitzen, so mußten beide Arten von Verbindungen in eine Klasse gestellt werden. Um die Wasserstoffsäuren von den eigentlichen Säuren zu unterscheiden, bediente sich Gay-Lussac der Vorsilbe Hydro. Die sauren Verbindungen des Wasserstoffs mit dem Chlor und dem Jod erhielten also die Namen Hydrochlorsäure und Hydrojodsäure. Den sauren Verbindungen des Sauerstoffs mit denselben Elementen blieb dagegen die Bezeichnung Chlorsäure und Jodsäure503 vorbehalten.

Unter den zahlreichen Verbindungen, die Gay-Lussac in seiner Abhandlung über das Jod kennen lehrte, ist besonders das Jodäthyl hervorzuheben, ein Stoff, der vermöge seiner großen Reaktionsfähigkeit von großer Bedeutung für die organische Chemie geworden ist.

Von wichtigen Reaktionen, zu denen das Studium des Jods Gay-Lussac geführt hat, verdienen noch folgende erwähnt zu werden. Jod wurde mit Phosphor zu Jodphosphor verbunden. Letzterer zerfiel unter der Einwirkung von Wasser in Jodwasserstoff und phosphorige Säure:

PJ₃ + 3H₂O = H₃PO₃ + 3HJ.

Durch Berührung mit Quecksilber wurde Jodwasserstoff unter Bildung von Jodquecksilber und Freiwerden von Wasserstoff zersetzt. Dabei ergab sich die volumetrische Gesetzmäßigkeit, daß der Wasserstoff genau die Hälfte des Raumes einnahm, den vorher der Jodwasserstoff ausgefüllt hatte.

Wurde Jodwasserstoff der Rotglühhitze ausgesetzt, so fand eine teilweise Zersetzung in Jod und Wasserstoff statt. Andererseits gelang die Synthese von Jodwasserstoff, wenn Gay-Lussac das Gemenge von Jod und Wasserstoff auf Rotglut erhitzte. Diese Beobachtung war eine der ersten, welche über die Umkehrung einer Reaktion gemacht wurde. Indessen legte ihr Gay-Lussac weiter keine Bedeutung bei.

Die Ähnlichkeit des Jodwasserstoffs mit der Salzsäure ergab sich auch aus dem Verhalten gegen Metalle. Letztere machten aus beiden Verbindungen unter Bildung salzartiger Körper Wasserstoff frei. Mit Ammoniak verband sich Jodwasserstoff unter Entstehung eines dem Salmiak ähnlichen Stoffes. Die Vereinigung erfolgte nach gleichen Raummengen, so daß sich nach jeder Richtung eine so weit gehende Analogie zwischen dem neu entdeckten Jod und dem schon länger bekannten Chlor zeigte, wie sie bis dahin zwischen zwei Elementen noch nicht nachgewiesen war. Diese Analogie wurde später auf das 1826 von Balard in der Mutterlauge des Meerwassers aufgefundene Brom ausgedehnt. Der Vergleich von Chlor, Brom und Jod führte Döbereiner später zur Aufstellung seiner Theorie von den Triaden, d. h. zu der Annahme, daß das System der Elemente sich in Gruppen von je drei sehr ähnlichen Grundstoffen gliedern lasse, ein Gedanke, durch den Döbereiner zum Begründer einer Systematik der Elemente und damit zum Vorläufer eines Mendelejeff und Lothar Meyer geworden ist504.

Die Aufdeckung der Analogie zwischen Chlor und Jod hat dahin mitgewirkt, daß die lange geltende Annahme, das Chlor sei eine Sauerstoffverbindung505, allgemein aufgegeben wurde.

Waren ferner die Reaktionen, welche das Jod zu anderen Elementen und Verbindungen äußerte, zwar denen des Chlors sehr ähnlich, so ging doch aus der ganzen Untersuchung Gay-Lussacs hervor, daß letzteres Element »mächtiger ist als das Jod«. Um die Dichte des Joddampfes zu bestimmen, ging Gay-Lussac von der Dichte des Jodwasserstoffes aus. Er ermittelte, indem er das von ihm entdeckte Volumgesetz zugrunde legte, daß der Dampf des Jods 117mal dichter als Wasserstoff ist, also von allen Dämpfen, die größte Dichtigkeit besitzt506.

Gay-Lussacs Arbeiten über die Schwefelsäure, um deren fabrikmäßige Darstellung er sich durch die Einführung des sogenannten Gay-Lussac-Turmes sehr verdient gemacht hat, sowie die durch ihn erfolgte Begründung des Titrierverfahrens sind auf die Entwicklung der chemischen Technik von größtem Einfluß gewesen.

Auch die Chemie der organischen Verbindungen erfuhr durch Gay-Lussac eine bedeutende Förderung. Für die Analyse dieser Stoffe, die vor ihm in den Kinderschuhen stak, brachte er das Kupferoxyd als Verbrennungsmittel in Anwendung, während seine Arbeit über die Cyanverbindungen ein Muster für spätere Untersuchungen organischer Körper gewesen ist507. Gay-Lussac lieferte in dieser Arbeit den Nachweis, daß die von Scheele aus dem gelben Blutlaugensalz gewonnene Blausäure (HCN) eine dem Chlorwasserstoff (HCl) entsprechende Hydrosäure ist, in welcher ein aus Kohlenstoff und Stickstoff bestehendes Radikal CN, das den Namen Cyan erhielt, an die Stelle von Chlor tritt. Indem er weiter zeigte, daß dieses Radikal auch in anderen Verbindungen die Stelle eines Elements vertritt, eröffnete er die Reihe jener Untersuchungen, die darauf hinausliefen, sämtliche organischen Verbindungen auf Atomgruppen zurückzuführen. Dieses Bestreben hat dann später seinen Höhepunkt in der Forschertätigkeit Liebigs erreicht, welcher die organische Chemie als die Chemie der zusammengesetzten Radikale bezeichnete508.

Auch der Vorgang der Gärung, auf den die Untersuchungen Lavoisiers das erste Licht geworfen hatten509, zog Gay-Lussac in den Bereich seiner Forschungen. Er wies nach, daß neben Kohlendioxyd und Alkohol als wesentliche Produkte der Gärung Glyzerin und Bernsteinsäure auftreten. Auch versuchte er diesen Vorgang, der später als ein physiologischer aufgefaßt wurde, in eine chemische Gleichung einzukleiden.

Wie erwähnt, war Gay-Lussac aus der École polytechnique hervorgegangen, an der er zunächst als Repetent, später (1809) als Professor der Chemie angestellt wurde. Gleichzeitig bekleidete er an der Sorbonne die Professur für Physik. Auch im öffentlichen Leben Frankreichs nahm Gay-Lussac eine hervorragende Stelle ein. Er wirkte in zahlreichen, für gewerbliche oder Verwaltungszwecke ernannten Kommissionen, in denen er seiner chemischen und physikalischen Kenntnisse wegen das größte Ansehen genoß, wurde wiederholt zum Abgeordneten gewählt und endlich zum Pair ernannt. Ein nicht vollendetes, die Philosophie der Chemie betiteltes Werk ließ er vor seinem Tode verbrennen.

Am 9. Mai des Jahres 1850 starb Gay-Lussac. Sein Leben ist reich an wissenschaftlichen, durch stete Arbeit erzielten Erfolgen gewesen. Es konnte aber auch in jeder anderen Hinsicht als vorbildlich gelten. Arago, der in der Akademie Gay-Lussac einen Nachruf widmete, schloß mit dem schönen Lobe: »Er ehrte Frankreich durch seine moralischen Eigenschaften und diese Akademie durch seine Entdeckungen. Sein Name wird mit Bewunderung und Hochachtung in allen Ländern genannt werden, in denen man die Wissenschaften pflegt«510.

Die Physik der gasförmigen Körper wurde vor allem durch Untersuchungen über die Absorption der Gase durch Flüssigkeiten gefördert. Zunächst fand der englische Chemiker Henry511, daß die von einer Flüssigkeit absorbierte Gasmenge proportional dem Drucke ist, unter dem die Absorption erfolgt. Voraussetzung ist dabei, daß die Umstände im übrigen gleich sind und vor allem, daß die Gase und die Flüssigkeiten nicht chemisch aufeinander wirken512.

Eine Erweiterung der Untersuchung Henrys lieferte Dalton mit seiner Abhandlung »Über die Absorption der Gasarten durch Wasser und andere Flüssigkeiten«513. Diese Schrift ist auch dadurch geschichtlich interessant, daß sie die erste Atomgewichtstabelle enthält. Dalton suchte nämlich die verschiedene Löslichkeit der Gase aus der von ihm begründeten Atomtheorie514 abzuleiten.

Als Kennzeichen, daß ein Gas von einer Flüssigkeit nur absorbiert und nicht gebunden wird, galt Dalton der Umstand, daß es im ersteren Fall, wenn man den Druck unter Anwendung der Luftpumpe aufhebt, aus der Flüssigkeit wieder entweicht.

Dalton ergänzte Henrys Untersuchung dahin, daß er sie auf Gasgemenge ausdehnte. Wurde z. B. Wasser, das von Luft befreit war, mit einer Mischung von zwei oder mehr Gasarten geschüttelt, so verschluckte es von jeder dieser Gasarten soviel, als es von ihnen einzeln bei derselben Dichtigkeit der Gasart aufgenommen haben würde. Bei den von Dalton behaupteten Gesetzmäßigkeiten handelt es sich jedoch mitunter um bloße Annäherungen, zum Teil auch um Unrichtigkeiten.

Zum Schluß erhebt Dalton die Frage nach der Ursache der für die verschiedenen Gase so verschiedenen Löslichkeit. Es ist von hohem Interesse zu sehen, wie Dalton diese Frage aus seiner Atomtheorie zu beantworten sucht. Er habe gefunden, daß das relative Gewicht der kleinsten Teilchen der Körper sehr verschieden sei. Und nun zeige sich, daß diejenigen Gasarten, die leichtere Teilchen besäßen, weniger leicht absorbiert würden. Beides mache es wahrscheinlich, daß die Löslichkeit mit dem Atomgewicht in einem ursächlichen Zusammenhange stehe.

Dalton war auch einer der ersten, der Messungen über die Spannkraft der Gase und der Dämpfe anstellte. So fand er, daß die Spannkraft der feuchten Luft gleich derjenigen der trockenen vermehrt um die Spannkraft des beigemengten Wasserdampfes ist. Auch diese Untersuchung dehnte Dalton auf Gasgemenge aus. Er bemerkte, daß Gase sich miteinander vollkommen mischen, auch wenn ein leichtes Gas sich über einem schwereren befindet (Diffusion). Dann zeigte er, daß der Druck eines Gasgemisches, auf das gleiche Volumen bezogen, der Summe der von den einzelnen Bestandteilen ausgeübten Spannungen gleich ist. Voraussetzung ist auch hier wieder, daß nur eine physikalische Mischung und keine chemische Verbindung stattgefunden hat.

Endlich suchte Dalton zu bestimmen, wie die Spannkraft gesättigter Dämpfe von der Temperatur abhängt. Sein Verfahren ist noch heute im Gebrauch. Er brachte die in Dampf zu verwandelnde Flüssigkeit in den leeren Raum über dem Quecksilber eines Barometers. Dann wurde das Barometer in eine Glasröhre eingeschlossen und darin durch erwärmtes Wasser auf den gewünschten Wärmegrad gebracht. Die Spannung der entwickelten Dämpfe wurde durch das Herabsinken der Quecksilbersäule gemessen. Überstieg die Spannung den Druck einer Atmosphäre, so benutzte Dalton eine Röhre mit einem kürzeren geschlossenen und einem längeren offenen Schenkel, wie sie Mariotte zum Nachweis des von ihm und Boyle entdeckten Gesetzes gebraucht hatte. Die Flüssigkeit, deren Dampfspannung gemessen werden sollte, wurde in dem kürzeren geschlossenen Schenkel erhitzt, während in dem längeren die Spannung durch die von dem Dampf getragene Quecksilbersäule gemessen wurde. Auf große Genauigkeit konnten die ersten auf diesem Gebiete unternommenen Untersuchungen zwar keinen Anspruch machen. Sie verdienen aber doch Erwähnung, weil sie die Grundgedanken aufweisen, die später zu exakteren Messungen geführt haben.

Am genauesten hat Dalton die Beziehung zwischen der Temperatur und der Spannung des gesättigten Wasserdampfes ermittelt. Er stellte seine Messungen innerhalb der weiten Grenzen von -40° bis +325° Fahrenheit an und glaubte auch den Zusammenhang von Temperatur und Spannung auf eine geometrische Reihe zurückführen zu können. Es hat sich jedoch ergeben, daß ein einfacher mathematischer Ausdruck für die hier obwaltende Beziehung nicht vorhanden ist.

Lavoisier hatte den Satz aufgestellt, daß der Sauerstoff das Säure bildende Prinzip sei und daß in den Salzen wie in den Säuren dieses Element nie fehle. Lavoisiers Theorie der Sauerstoffsäuren fand zu Beginn des 19. Jahrhunderts besonders in Berzelius einen Verteidiger. Durch ihn wurde das dualistische, auf die Ergebnisse der Elektrolyse sich stützende System der chemischen Verbindungen ins Leben gerufen. Nach dieser Auffassung erhielt z. B. schwefelsaures Zink die Formel ZnO + . SO3 –

welche andeuten sollte, daß diese Verbindung aus der Basis ZnO als positivem und der Schwefelsäure SO3 als negativem Bestandteil zusammengesetzt sei. Was wir heute als Säure bezeichnen und als einheitliche Verbindung betrachten, wurde als Säurehydrat aufgefaßt, z. B. galt die Schwefelsäure (H2SO4) als die Vereinigung des negativen Bestandteils SO3 mit dem schwach elektropositiven Wasser (SO3 – . H2O) +  . Letzterem wurde eine Doppelnatur beigelegt, da es den stark positiven Metalloxyden gegenüber in die Bildung von basischen Hydraten als negativer Bestandteil eingeht (CuO + H2O =   CuO + . H2O). –

Der erste, der Lavoisiers Lehre erschütterte, war sein großer Zeitgenosse Berthollet. Er entdeckte, daß die Blausäure (HCN) und auch der Schwefelwasserstoff (H₂S) ausgesprochen die Eigenschaften von Säuren besitzen und dennoch keinen Sauerstoff enthalten. Berthollet hätte diesen Verbindungen die Salzsäure (HCl) hinzufügen können, wenn er nicht das Chlor als eine Sauerstoffverbindung betrachtet hätte515. Für diesen die Chemie Jahrzehnte beherrschenden Irrtum brachte er sogar eine vermeintliche Stütze in der von ihm unrichtig gedeuteten Beobachtung bei, daß sich aus einer Chlorlösung im Lichte Sauerstoff entwickelt. Berthollet schloß nämlich daraus, daß das Chlor als höhere Oxydationsstufe dabei in die vermeintlich weniger Sauerstoff enthaltende Salzsäure und Sauerstoff zerfallen sei, während doch der Vorgang sich tatsächlich als eine Zerlegung des Wassers darstellt (2 Cl + H₂O = 2 HCl + O). Als dritte Oxydationsstufe betrachtete man die sehr sauerstoffhaltige Verbindung, die wir heute als Chlorsäure bezeichnen.

Die erste große Umgestaltung, welche das System Lavoisiers erfuhr, ging von Davy aus. Dieser hatte gefunden, daß das Salzsäuregas durch das von ihm entdeckte Kalium unter Entwicklung von Wasserstoff zersetzt wird. Dabei entstand Chlorkalium. Weiter zeigte Davy, daß aus Chlor nicht Salzsäure durch Entziehung von Sauerstoff entsteht, sondern daß sich die Salzsäure aus Chlor nur bildet, wenn dieses Element auf Wasserstoff oder auf eine Wasserstoff enthaltende Verbindung wirkt. Diese Tatsachen führten Davy zu der Annahme, daß das Chlor ein Element sei und die Salzsäure in einer Verbindung von Chlor mit Wasserstoff, die Salze der Salzsäure aber in einer Verbindung von Chlor mit den betreffenden Metallen bestehen. Bald darauf wies Gay-Lussac ein völlig analoges Verhalten für das Jod und den Jodwasserstoff nach. Gay-Lussac führte, nachdem er auch für die Blausäure dargetan hatte, daß der Sauerstoff an ihrer Zusammensetzung nicht beteiligt ist, für die der Salzsäure entsprechend zusammengesetzten Säuren die Bezeichnung Wasserstoffsäuren ein. Hartnäckig wurde an der alten Lehre von einem Teile der Chemiker, an deren Spitze Berzelius stand, festgehalten. Endlich um 1820 gab dieser seinen Widerstand auf, weil die Annahme, daß in den Halogenen und ihren Salzen doch ein, wenn auch experimentell nicht nachweisbarer Sauerstoffgehalt vorhanden sei, doch zu willkürlich und gekünstelt schien.

Gay-Lussac hatte dem Chlor als analoges Element das Jod zur Seite gestellt. Im Jahre 1826 entdeckte Balard das Brom in der Mutterlauge des Meerwassers. Er stellte sofort eine ausgedehnte Untersuchung dieses Elementes an und erkannte, daß es dem Chlor und Jod vollkommen analog sei. Daß auch das Fluor in diese Gruppe gehört und Fluorwasserstoff (Flußsäure) dem Chlorwasserstoff entsprechend zusammengesetzt ist, sprach zuerst Ampère aus. Die Bemühungen, das Fluor zu isolieren, hatten der außerordentlichen Affinität dieses Elementes wegen zunächst keinen Erfolg. Dieser Versuch, um den sich sowohl Davy als Gay-Lussac vergeblich abmühten, gelang erst Moissan durch eine passend ausgeführte elektrolytische Zersetzung der Flußsäure. Immerhin ist die Erkenntnis der vier Halogene als einer scharf charakterisierten Gruppe von Elementen schon während der ersten Jahrzehnte des 19. Jahrhunderts erfolgt. Die Erforschung ihrer Glieder ist für die weitere Entwicklung der theoretischen nicht minder als der technischen Chemie von großer Bedeutung gewesen.

20. Fortschritte in der Anwendung der Mathematik auf die Naturwissenschaften.

Eine ähnliche Förderung und Durchdringung, wie sie die Physik und die Chemie vor allem durch Gay-Lussac erfuhr, vollzog sich zwischen der Physik und der Mathematik besonders durch Gauß.

Carl Friedrich Gauß wurde am 30. April 1777 in Braunschweig geboren. Sein Vater war Baumeister und Kassenverwalter. Er wird als ein sehr tätiger und willensstarker Mann geschildert. Die Mutter war fleißig und sorgsam. Sie entstammte gleich dem Vater einer einfachen Handwerkerfamilie. Trotz aller vortrefflichen Eigenschaften gelang es den Eltern des frühreifen Knaben nicht, zu einigem Wohlstand zu gelangen. Gauß hätte daher nicht die Gelehrtenlaufbahn einschlagen können, wenn ihm nicht von seinem 14. Lebensjahre ab die Unterstützung seines Landesfürsten, des Herzogs Ferdinand von Braunschweig, zu Teil geworden wäre. Nachdem er das Gymnasium seiner Vaterstadt und das dortige Collegium Carolinum besucht hatte, bezog er im Jahre 1795 die Universität Göttingen. Ihr ist Gauß trotz aller aus Berlin und Petersburg an ihn herantretenden Verlockungen bis an sein Lebensende treugeblieben.

Seine Lehrmeister waren vor allem die Werke von Newton, Euler und Lagrange. In seine von 1795 bis 1798 dauernde Studienzeit fallen schon einige hervorragende mathematische Entdeckungen. So fand er bei seiner Beschäftigung mit der Kreisteilung, kaum 18 Jahre alt, die Konstruktion des regelmäßigen Siebzehnecks. Er löste damit ein Problem, das den Mathematikern seit den Zeiten Euklids Schwierigkeiten bereitet hatte. Eine ähnliche Bereicherung erfuhr die Algebra durch seine 1799 erschienene Abhandlung über »die Zerlegung ganzer algebraischer Funktionen in reelle Faktoren ersten oder zweiten Grades«516. Es handelte sich um den Beweis, daß jede Gleichung m ten Grades, also ein Ausdruck von der Form:

X^m + Ax^m-1 + Bx^m-2 + .... + M = 0

stets m Wurzeln besitzt, oder daß sie, was dasselbe bedeutet, in m Faktoren (x - α), (x - β), (x - γ) usw. zerlegt werden kann, deren Produkt der linken Seite des obigen Ausdrucks gleich ist. Dieser wichtigste Satz der Theorie der algebraischen Gleichungen, auf dem die ganze höhere Algebra beruht, hatte zwar schon d'Alembert, Euler und andere Mathematiker beschäftigt. Der vollkommen strenge Beweis gelang indes erst Gauß.

Zwei Jahre später folgte das arithmetische Hauptwerk des großen Mathematikers, die Disquisitiones arithmeticae (1801). Dies Werk, das er seinem hohen Gönner, dem Herzog Ferdinand von Braunschweig widmete, besitzt für die Zahlentheorie eine geradezu grundlegende Bedeutung. Einige Abschnitte der Disquisitiones wurden neuerdings in deutscher Übersetzung herausgegeben517.

In demselben Jahre, in welchem die Disquisitiones erschienen, wurde das unvergleichliche Genie eines Gauß auf das astronomische Gebiet gelenkt. Am 1. Januar 1801 hatte Piazzi den ersten Planetoiden entdeckt, den er Ceres nannte. Piazzi verfolgte das neue Gestirn durch einen Bogen von 9 Graden. Dann verschwand es in der Abenddämmerung, und es war sehr fraglich, ob man es bei der mangelhaften Kenntnis seiner Bahnelemente wieder auffinden werde. Gauß hörte von dem Problem, und da er sich gerade mit theoretisch-astronomischen Untersuchungen befaßte, so berechnete er die Bahn des neuen Planeten nach einer von ihm herrührenden Methode und sandte sein Ergebnis an eine astronomische Zeitschrift, welche als Sammelstelle518 alle ihr eingesandten, die Ceres betreffenden Berechnungen veröffentlichte. Es war nämlich sehr wichtig, die Ephemeride dieses Planeten für den Zeitpunkt zu kennen, wenn man seinen Wiederhervortritt aus den Strahlen der Sonne erwarten durfte. Die Ephemeride von Gauß wurde mit dem wenig schmeichelhaften Zusatz veröffentlicht, daß die Redaktion auch ihren Abdruck für geboten halte, weil man eben nicht wissen könne, welche Berechnung die richtige sei.

Man kann sich die Überraschung ausmalen, als die Ceres gerade auf Grund der Ephemeride von Gauß, der den Astronomen noch ganz unbekannt war, wieder aufgefunden wurde. Jetzt galt es, die Bahnelemente dieses Planeten zu berichtigen. Und wieder war es Gauß, der nach jedem Bekanntwerden neuer Daten verbesserte Bahnelemente an jene astronomische Zeitschrift einsandte. Gewiß nicht ohne das Gefühl einer gewissen Beschämung bemerkte die Redaktion schließlich, Gauß müsse eine völlig neue Methode besitzen, die ihm dasjenige, wozu sonst eine umfangreiche Rechnung nötig sei, in wenigen Zügen liefere. Diesmal hatte man das Richtige getroffen. Einmal befand sich Gauß schon damals im Besitze seiner Methode der kleinsten Quadrate, die es ihm ermöglichte, in einer Reihe von Beobachtungen den der Wahrheit am nächsten kommenden Wert zu berechnen. Ferner hatte er auch neue astronomische Methoden gefunden, die es ihm gestatteten, innerhalb einer Stunde eine Bahnberechnung auszuführen, zu welcher Euler noch drei Tage gebraucht hatte519. Zur Veröffentlichung dieser neuen Methoden schritt Gauß erst, nachdem er (1807) zum Professor der Mathematik und zum Leiter der Sternwarte in Göttingen ernannt war. Die Veröffentlichung erfolgte unter dem Titel: Theoria motus corporum coelestium in sectionibus conicis Solem ambientium. Eine deutsche Bearbeitung dieses Fundamentalwerkes, das Gauß übrigens ursprünglich in deutscher Sprache abgefaßt hat, erschien erst 1865520. Mit der Veröffentlichung der »Theoria motus« begann für die rechnende Astronomie ein neues Zeitalter. Man verließ allgemein die älteren Methoden, um diejenigen von Gauß in Gebrauch zu nehmen. In der »Theoria motus« gab Gauß auch seine Methode der kleinsten Quadrate bekannt, in deren Besitz er sich schon, wie er selbst angab, seit 1795 befand. Inzwischen war auch Légendre auf die gleiche Methode gekommen. Er hat sie 1806 in den Worten ausgesprochen521: »Sind durch Beobachtungen mehr Gleichungen gegeben, als Unbekannte zu bestimmen sind, so sind die richtigsten Werte der letzteren diejenigen, für welche die Summe der Fehlerquadrate ein Minimum ist.« Von französischer Seite wurden deshalb Prioritätsansprüche hinsichtlich dieser Methode erhoben und, wenn das Datum der Veröffentlichung allein darüber zu entscheiden hätte, gewiß mit Recht. Gauß gebührt indessen außer der selbständigen und seinen eigenen Angaben nach viel früheren Entdeckung das Verdienst, daß er es war, der diese Methode in einem fundamentalen Werke522 wissenschaftlich begründete und die Begriffe schuf, auf denen alle neueren Arbeiten über diese Methode beruhen.

Von hervorragender Wichtigkeit sind die Abschnitte der Disquisitiones, welche die Rechnung mit Determinanten betreffen523. Die ersten Anfänge dieses wichtigen Hilfsmittels der neueren Mathematik finden sich schon bei Leibniz. Leibniz machte zuerst darauf aufmerksam, daß die Kombinationslehre der Algebra bei der Auflösung von Gleichungen wertvolle Dienste zu leisten vermöge. Der eigentliche Begründer der Determinantenlehre war Cramer. Er veröffentlichte 1750 eine neue Methode, um mit Hilfe der Permutationsrechnung n Gleichungen ersten Grades mit n Unbekannten aufzulösen. Laplace, sowie Lagrange knüpften an diese Arbeit weitere Untersuchungen an. Der bedeutendste Fortschritt auf dem neu erschlossenen Gebiete erfolgte jedoch durch Gauß. Von ihm rührt auch der Ausdruck Determinante her. Die neueste Entwicklung der Determinantenlehre knüpft an Jacobi an, doch müssen wir uns auf die bloße Erwähnung seiner Abhandlungen über diesen Gegenstand beschränken524.

Unter den späteren mathematischen Arbeiten von Gauß sind besonders zwei, wenn auch in aller Kürze, zu berücksichtigen, weil sie sich mit physikalischen Problemen befassen. Es sind dies eine Abhandlung über die Gestalt von Flüssigkeiten und ein grundlegender Beitrag zur Entwicklung der für die neuere mathematische Physik so wichtigen Potentialtheorie.

Die Theorie der Flüssigkeiten hatte Laplace in einem Anhange zu seiner »Mécanique céleste« behandelt. Er hatte angenommen, daß zwischen den Flüssigkeitsteilen außer der gewöhnlichen Anziehung, welche dem Quadrate des Abstandes umgekehrt proportional ist, noch andere anziehende Kräfte wirken. Dieser zweite Teil der Anziehung sei ganz unmerklich, sobald es sich um meßbare, wenn auch sehr kleine Abstände handele. Dagegen könne diese zweite, Molekularanziehung genannte Kraft in unmeßbar kleinen Entfernungen die gewöhnliche Anziehung bei weitem übertreffen.

Laplace hatte unter dieser Voraussetzung die Eigenschaften der Molekularkräfte der Rechnung unterworfen und war auf diesem Wege zu einer Erklärung der Kapillarität, sowie der Oberflächenform der Flüssigkeiten gelangt. Diese Untersuchungen525, welche Gauß zu den »schönsten Bereicherungen« zählte, welche die Naturwissenschaften dem großen französischen Mathematiker zu verdanken hätten, waren jedoch in wesentlichen Punkten unzureichend und unvollständig geblieben. Gauß suchte deshalb von neuem, welche Gleichgewichtsform Flüssigkeiten annehmen, wenn sie unter dem Einfluß der Schwere und dem Einfluß der von ihnen selbst und dem Gefäße ausgeübten Molekularkräfte stehen526. Er verfuhr dabei wesentlich anders als Laplace, indem er sich, ausgehend von den Grundlagen der Dynamik, des Prinzips der virtuellen Bewegungen bediente. Aus der auf diesem Wege abgeleiteten Formel vermochte Gauß mit Leichtigkeit das Grundphänomen der Kapillarität abzuleiten, daß nämlich in zylindrischen Kapillarröhren die Senkung oder Hebung einer Flüssigkeit dem Durchmesser des Rohres umgekehrt proportional ist. Das zweite der erwähnten mathematischen Werke zeigt Gauß in engster Beziehung zu einer Theorie, die für die neuere mathematische Physik mehr wie jede andere grundlegend geworden ist, Es ist die in ihren Anfängen bis in die siebziger Jahre des 18. Jahrhunderts zurückreichende Potentialtheorie. Damit der hervorragende Anteil, den Gauß an der Schöpfung dieser Theorie genommen, gewürdigt werden kann, ist es nötig, in aller Kürze auf die Arbeiten seiner Vorgänger zurückzugreifen.

Der Ausgangspunkt für die Entwicklung der erwähnten neuen mathematischen Disziplin ist Newtons Gravitationsgesetz. Mit der Auffindung dieses Gesetzes war nämlich eine Reihe von Problemen gegeben, die für die Weiterentwicklung der Mathematik eine treibende Kraft bedeuteten. Das Gravitationsgesetz, nach welchem die Anziehung durch den Ausdruck (m · m')/r² bestimmt ist, galt zunächst für zwei materielle Punkte oder für zwei materielle Systeme, deren Ausdehnung gegenüber der sie trennenden Entfernung nicht in Betracht kommt. Solche Systeme ließen sich so betrachten, als ob ihre Massen in den beiden Schwerpunkten vereinigt wären und von diesen Punkten in der Richtung der Verbindungslinie wirkten. Sobald man aber die Körper als materielle Systeme auffaßte, bei denen jeder der unendlich vielen Teile dem Newtonschen Gesetze gemäß auf andere materielle Systeme oder, um den einfacheren Fall vorwegzunehmen, auf einen materiellen Punkt wirkt, so war damit eine Fülle von Problemen, im wesentlichen mathematischer Art, gegeben, die mit den bisherigen Hilfsmitteln nicht gelöst werden konnten. Es bedurfte der Einführung einer für die Attraktionsrechnung charakteristischen Funktion, die sich auf die Summe oder das Integral sämtlicher wirkenden Massenteilchen beziehen mußte und die man später als das Potential der Massen bezeichnet hat. Vor allem galt es, die Anziehung von Ellipsoiden – denn mit solchen und nicht mit Kugeln hatte es die Astronomie zu tun – auf einen materiellen Punkt zu bestimmen. Newton beharrte auch hier bei seinem synthetisch-geometrischen Verfahren und fand z. B., daß eine von zwei ähnlichen, konzentrischen Ellipsoiden begrenzte homogene Schale auf einen beliebigen, in ihrem Innern befindlichen Punkt keine Anziehung ausübt.

Ein Fortschritt in der Lösung derartiger Probleme527 erfolgte indessen erst, als Lagrange das analytische Verfahren auf die zahlreichen, aus dem Attraktionsgesetz entspringenden Aufgaben anwandte. Lagrange suchte einen allgemeinen Ausdruck für die Kraft, mit der ein beliebig gestalteter Körper einen beliebig gelegenen Punkt anzieht. Er zeigte, daß die Anziehung, die ein aus einzelnen materiellen Punkten bestehendes System ausübt, sich in Komponenten zerlegen läßt, die sich als die partiellen Differentialquotienten einer Funktion darstellen lassen528. Gleichzeitig führte er, um die Lösung der Attraktionsaufgaben zu erleichtern, nach dem Vorgange Bernoullis, Polarkoordinaten ein. Das Ergebnis dieser Bemühungen war, daß Lagrange die meisten der bis dahin bekannt gewordenen Sätze über die Attraktion analytisch zu beweisen vermochte. Auf Lagrange folgt Laplace. Er wandte die von Lagrange aufgestellte Funktion zuerst auf zusammenhängende Massen an und löste in seiner Théorie des attractions des sphéroides et de la figure des planètes529 das vielumworbene Ellipsenproblem, indem er die Anziehung dreiachsiger Ellipsoide auf einen außerhalb gelegenen Punkt bestimmte. Laplace gelangte zu einer Gleichung für die zweiten partiellen Derivierten der von Lagrange entdeckten und von Laplace mit dem noch jetzt üblichen Buchstaben V bezeichneten Funktion. Dieser noch heute als Laplacesche Gleichung bezeichnete Ausdruck lautet:

δ²V/δx² + δ²V/δy² + δ²V/δz² = 0.

In ungeahntem Maße wuchs die Bedeutung des von Lagrange und Laplace geschaffenen Algorithmus, als Coulomb nachgewiesen hatte, daß auch die magnetischen und die elektrischen Anziehungen dem Newtonschen Gravitationsgesetz entsprechend vor sich gehen. Ein Versuch, die Analyse unter Anwendung des Potentialbegriffes auf die Elektrizität und den Magnetismus anzuwenden, rührt von dem Engländer Green (1793-1841) her530. Dieser Versuch datiert vom Jahre 1828. Vorangegangen war nur Poisson, der in einer analytischen Untersuchung die Verteilung der Elektrizität an der Oberfläche leitender Körper bestimmt und die Herrschaft der Analysis auch auf das Gebiet des Magnetismus auszudehnen versucht hatte. An diese Arbeiten Poissons und an die von Laplace gewonnene Differentialgleichung zweiter Ordnung, deren Wichtigkeit für alle nach dem Newtonschen Gesetze wirkenden Kräfte er erkannte, knüpfte Green an. Ihn beseelte der Wunsch, eine Kraft von solch allgemeiner Wirksamkeit wie die Elektrizität, soweit wie möglich, der Rechnung zu unterwerfen. Dazu bediente er sich der Analysis, einmal, um die »außerordentliche Macht dieses wunderbaren Gedankenwerkzeugs« zu offenbaren; dann aber auch, um diese Macht zu vergrößern.

Green gebrauchte den Ausdruck Potentialfunktion für jene Funktion, die Laplace mit V bezeichnete und die Gauß später Potential genannt hat. Fast alle anziehenden und abstoßenden Kräfte sind nach Green so geartet, daß folgende Beziehung stattfindet: Wirkt ein Körper auf einen materiellen Punkt, so kann die auf diesen Punkt in einer gewissen Richtung wirkende Kraft durch einen partiellen Differentialquotienten einer gewissen Funktion der Koordinaten, welche die Lage des Punktes im Raume darstellen, ausgedrückt werden. Die Betrachtung dieser Funktion ist für viele Untersuchungen von großer Bedeutung, deshalb wurde sie von Green mit einem besonderen Namen bezeichnet531.

Green geht von der Laplaceschen Gleichung

δ²V/δx² + δ²V/δy² + δ²V/δz² = 0

aus. Sie gilt für jeden außerhalb des Körpers liegenden Punkt, dessen Koordinaten x, y, z sind. Green führt für diese Gleichung das kürzere Symbol δV = 0 ein und zeigt zunächst, daß für einen Punkt im Innern des Körpers die Gleichung δV + 4πρ = 0 besteht, δV somit den Wert -4πρ annimmt. Dabei ist unter ρ die elektrische Dichtigkeit im Punkte p zu verstehen. Die Laplacesche Gleichung für einen äußeren Punkt stellte sich danach nur als einen speziellen Fall der neuen Gleichung δV + 4πρ = 0 dar, da ρ für einen äußeren Punkt = 0 wird. Beim Durchgange durch die Oberfläche macht somit die Potentialfunktion einen Sprung um 4πρ. Das Ergebnis der Greenschen Untersuchung gipfelt darin, daß sich die elektrische Dichtigkeit aus der Potentialfunktion und letztere aus jener berechnen läßt. Nachdem Green die allgemeinsten Grundlehren der Elektrizitätstheorie und im Zusammenhange damit wichtige funktionstheoretische Sätze532 entwickelt hatte, ging er zu einigen besonderen Fällen über. Die erste Anwendung betraf die Leydener Flasche. Es ergab sich folgendes: Grenzt man durch eine geschlossene Kurve ein Stück der inneren Belegung ab, und schneidet man ferner ein korrespondierendes Stück aus der äußeren Belegung heraus, indem man längs der ganzen Kurve Normalen errichtet, so ist die Summe der Ladungen auf diesen korrespondierenden Flächenstücken gleich Null. Die Flächenstücke haben nämlich gleiche und entgegengesetzte Ladungen, die sich gegenseitig genau neutralisieren533.

Mit den experimentell gefundenen Tatsachen vollkommen übereinstimmende Ergebnisse erhielt Green ferner, als er seine Theorie auf die Influenzerscheinungen anwandte. Green betrachtet zunächst den Fall, daß eine vollkommen leitende, hohle Schale von irgend welcher Form und Dicke der Wirkung beliebiger, außerhalb befindlicher, elektrischer Körper ausgesetzt ist. In der Schale wird dann ein elektrischer Zustand induziert, dessen Wirkung auf einen im Innern befindlichen, mit Elektrizität geladenen Punkt, wie Green berechnet, gleich Null ist534.

Green betrachtet dann den Fall, daß zwei Kugeln von verschiedenem Radius durch einen dünnen langen Draht verbunden werden. Er untersucht das Verhältnis ihrer Ladungen beim Gleichgewicht. Die Rechnung ergibt, daß sich die mittleren elektrischen Dichtigkeiten umgekehrt wie die Radien der Kugeln verhalten. Läßt man den Radius der einen Kugel darauf unendlich klein werden, so hat man den besonderen Fall der Spitzenwirkung535.

Greens Arbeit hatte ein merkwürdiges Schicksal. Da Green in ländlicher Abgeschiedenheit das Geschäft seines Vaters verwaltete und der gelehrten Welt unbekannt blieb, so wurden seine Abhandlungen weder in England noch auf dem Festlande beachtet. Sie gerieten in Vergessenheit, bis die in ihnen enthaltenen wichtigen Ergebnisse durch Gauß von neuem entdeckt wurden. Erst dann lenkte der Physiker W. Thomson, um seinem Lande die Priorität zu wahren, die Aufmerksamkeit auf Greens Abhandlungen und veröffentlichte die wichtigste von neuem536. Eine deutsche Übersetzung erschien in Ostwalds Klassikern537.

Die neueste Entwicklung der Potentialtheorie als einer selbständigen mathematischen Disziplin beginnt im Jahre 1849 mit dem Erscheinen der grundlegenden Abhandlung von Gauß538. Dem großen Deutschen gelang es, nicht nur die wichtigsten von ihm gefundenen Sätze zum ersten Male streng zu beweisen, sondern die Theorie durch neue wichtige Sätze in solchem Grade zu bereichern, daß sie für die Physik und für die Funktionenlehre fortan die größte Bedeutung besaß.

Gauß entwickelte in jener Abhandlung allgemeine Sätze, die sowohl für die Gravitation als auch für die wichtigsten elektrischen und magnetischen Erscheinungen gelten. In dem Ausdruck (mm')/r² bedeuten also m und m' entweder ponderable Materie oder die Mengen einer magnetischen oder drittens die Mengen einer elektrischen Flüssigkeit, die aufeinander eine, sei es anziehende, sei es abstoßende Kraft ausüben. Ausgeschlossen blieb die Wirkung des galvanischen Stromes auf das magnetische Fluidum, weil hier die Kraft nicht in der verbindenden Geraden wirkt und weil ihre Stärke nicht allein von der Entfernung, sondern auch von einem Winkel abhängt. Ausgeschlossen blieb auch die Wirkung, welche zwei Stromelemente aufeinander ausüben. Und zwar geschah dies wegen der Abhängigkeit der Erscheinungen von der Richtung der Stromelemente, die im übrigen in der verbindenden Geraden und dem Quadrate der Entfernung umgekehrt proportional aufeinander einwirken. Gauß beschränkt sich also auf die drei zuerst genannten Fälle und versteht unter Masse nichts weiter als dasjenige, wovon Anziehung oder Abstoßung ausgeht.

Wirken solche anziehenden oder abstoßenden Kräfte m⁰, m', m'' usw. auf denselben Punkt aus den Entfernungen r⁰, r', r'' usw., so existiert eine Funktion V, die gleich der Summe aller m/r ist. Diese Funktion nennt Gauß das Potential der Massen. Es ist, in Worten ausgedrückt, die Summe aller wirkenden Massenteilchen, jedes durch seine Entfernung von jenem Punkte dividiert. Aus ihr lassen sich die Komponenten der ganzen auf den Punkt wirkenden Kraft ableiten. Diese Kraft p ist gegeben durch den Ausdruck:

p = √ ((δdV/δx)² + (δV/δy)² + (δV/δz)²).

Gauß führte darauf einen Begriff ein, der in seinen und den späteren Untersuchungen für die Potentialtheorie von der größten Bedeutung wurde. Er dachte sich durch alle Punkte, in denen das Potential ein und denselben Wert hat, eine Fläche gelegt. Eine solche Fläche scheidet den Raum, in welchem das Potential kleiner ist von demjenigen, wo es größer ist als der in jener Fläche herrschende Wert. Die Richtung der Kraft wird ferner in jedem Punkte einer solchen »Gleichgewichtsfläche« gegen die Fläche selbst normal sein. Die von Gauß als Gleichgewichtsflächen bezeichneten Flächen konstanten Potentials werden heute als »Niveauflächen« und die senkrecht zu einer Folge solcher Flächen stehenden Linien (die orthogonalen Trajektorien) als »Kraftlinien« bezeichnet.

Gauß zeigte auch, daß für alle Punkte des Raumes, die außerhalb der wirkenden Massen liegen, die Laplacesche Gleichung gilt. Liegt ein Punkt von der Dichte k im Innern des Körpers, so ergab sich in Übereinstimmung mit Green, daß der Laplacesche Ausdruck die Form -4πk annimmt. Bis dahin bietet Gauß also wenig Neues, doch sind seine Ableitungen bekannter Sätze einfacher und strenger als die früheren.

Unter den vielen neuen Sätzen, die Gauß entdeckte, ist einer der wichtigsten derjenige, den man den Satz von der äquivalenten Massentransportation genannt hat. Er lautet: Anstatt einer beliebigen gegebenen Massenverteilung D, die entweder bloß auf den inneren von einer geschlossenen Fläche S begrenzten Raum beschränkt ist oder bloß auf den äußeren Raum, läßt sich eine Massenverteilung E bloß auf die Fläche selbst substituieren. Dies hat zur Folge, daß die Wirkung von E der Wirkung von D gleich wird in allen Punkten des äußeren Raumes für den ersten Fall oder in allen Punkten des inneren Raumes für den zweiten. Von diesem Satze hat Gauß, wie wir sogleich des näheren sehen werden, in seiner berühmten Abhandlung über die Intensität des Erdmagnetismus eine Anwendung gemacht.

Wir gelangen damit zu einer neuen Phase in der wissenschaftlichen Entwicklung des großen Forschers. Durch Alexander von Humboldt war Gauß mit dem Physiker Wilhelm Weber bekannt geworden. Nachdem Gauß bewirkt hatte, daß Weber nach Göttingen berufen wurde, entstand zwischen beiden Männern ein ähnliches Verhältnis, wie es später zwischen Kirchhoff und Bunsen geherrscht hat.